數學史對民族數學及其教育發展的啟示

寧 銳，張 紅

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數學史對民族數學及其教育發展的啟示

寧 銳1，2，張 紅2

（1．華東師范大學數學系，上海 200241；2．四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都 610066）

民族數學的多元文化背景與學校數學標準化之間存在固有的矛盾，這種矛盾造成了民族數學及其教育中的一些現實困境．首先對民族數學與民族數學教育兩個概念的涵義進行了辨析，然后基于歷史相似性的視角分析了造成民族數學及其教育困境的現實背景和根源，分析了早期數學發展的經驗性以及數學發展3個層面的超越性，并以古埃及數學發展為例討論了數學發展在超越性方面的一些局限，最后提出了民族數學及其教育在3個超越性層面上發展的要求和路徑．

民族數學（民俗數學）；民族數學教育；民族文化；數學史；超越性

“民族數學”是20世紀80年代數學教育界興起的新興研究課題．1984年在第五屆國際數學教育大會（ICME-5）上，出現了“民族數學”這個新詞匯，英文原文是Ethnomathe- matics，1985年4月，“民俗數學國際研究小組”正式成立[1]．中國是多民族國家，民族數學及其教育的研究顯得尤為重要．自21世紀以來，中國對該課題的相關研究呈上升趨勢[2]，研究課題的范圍也比較廣泛，如：從跨文化的角度對不同民族學生的數學學習進行比較研究[3~4]，專門針對少數民族學生數學學習的調查分析[5]，較多研究是從民族文化的角度來探討對民族數學教育的課程、教學和學習的影響[6~8]，等等．這些研究反映了一個基本事實，那就是不同民族學生的數學學習存在較大的差異，這些差異背后的原因各異，解決的方法也就多種多樣．從目前的研究主題來看，較少從數學自身發展的角度來分析對民族數學教育的影響．這里試圖從這一角度展開分析，指出民族數學教育存在的一些現實困境及其根源，并提出一些民族數學及其教育發展的一些思路．

1 民族數學與民族數學教育的涵義及關系

“民族數學”（對民族數學與民族數學教育這兩個概念的區分是基于香港大學梁貫成教授在學術報告中的分法）更一般的意義是“民俗數學”，基本含義是特定文化系統和具有特定生活背景的人群所產生和擁有的數學表現形式，包括3個方面的內容：相對于希臘傳統意義下西方數學的非西方數學，比如中國傳統數學；相對于主流文化數學的本土數學，比如西藏天文學中的數學；相對于學校標準數學的通俗數學，比如菜販的數學知識．“民族數學”是指中國多元民族背景下少數民族文化背景中的“民俗數學”，既指少數民族文化中的“民族數學”，又包括他們的“本土數學”和“通俗數學”．“民族數學教育”有兩層含義：一是“民族數學”的教育；二是民族的“數學教育”．前者突出了“民族數學”作為一種特殊的數學形態，后者突出的是相對于主流地區或文化下的少數民族在一般意義上的數學教育．這里的民族數學教育的意義主旨是后者，但是這又是基于民族數學發展起來的數學教育，因而民族數學的教育也就成為其重要目標．

因此，“民族數學”與“民族數學教育”相互影響又相互交織．“民族數學”因其融合于獨特的民族文化而廣泛影響著少數民族的生產實踐，也必然滲透在民族的“數學教育”中，并且在一定程度上成為其中的一個部分．同時，由于文化影響的深刻性，“民族數學”也在一定程度上影響著它的數學教育的方式和路徑．但是，另一方面，民族的“數學教育”由于受到主流數學的強勢影響，人們在民族的“數學教育”中所見的數學主要是主流數學，加之“民族數學”在民族文化的潛在性，因此“民族數學”很容易式微而在數學教育實踐中看不到蹤影．這實際上造成了一種矛盾的現實，一方面希望“民族數學”得以發展，以保持數學形態的多元性和豐富性，并對民族的“數學教育”產生積極的影響，另一方面實際所見的是“民族數學”越來越向歷史的幕后褪去，成為真正的歷史．怎樣解決這個矛盾呢？研究者把視角投向數學發展的歷史，在歷史宏大的視角中尋求這一矛盾的解決之道．

2 民族數學及其教育的困境與根源

在民族數學教育的研究中，人們常常從社會文化學的角度，強調了民族文化傳統和背景對“民族數學”的制約作用，突出“民族數學”作為一種文化形態的獨特性．正如懷爾德所說：“數學是一種文化，各個不同的文化體系會產生不同的數學．”[1]著名的民族數學活動家巴西圣保羅大學數學教授達布羅西奧（D’ambrosio）進一步把“民族數學”解釋為，“人們為了生存，去解釋、理解、超越和處理現實中數和形的一種活動．這種活動是隨著社會的發展而變化著的．”[1]因此，“民族數學教育”就應該強調“從學生的傳統觀念、文化意識、社會背景出發，讓學生在學習活動、日常生活、社會實踐中學習數學”[1]．可見，突出民族數學或者民族文化傳統對民族數學教育的影響與作用，無疑是學者們的共識．

但是，在今天民族數學教育的現實中，常常突顯出一種矛盾困境：一方面，作為少數民族文化背景的學生，他們有著獨特的文化傳統和民族生活方式，這種多元的民族文化背景可能為學生提供非標準的數學知識或者與主流數學完全不一樣的認知方式．另一方面，學生在學校里可能學習統一的標準數學．這種標準數學，就全世界范圍來說，更多是指今天在古希臘傳統意義下的西方數學．“民族數學”與標準數學之間的差異造成了這種矛盾的困境，也是很多民族數學教育中學生數學學習困難的原因之一．因此，面臨這種困境時，人們很自然可以提出這樣的問題“為什么處于不同文化環境的孩子，要學習統一的數學呢？”

為了解決這種困境，民族數學教育常常簡單化為“民族化的數學教育”，即特別強調標準數學向“民族數學”還原．然而，由于各個“民族數學”相對主流的學校標準數學之間的不同層次的差異，在將標準數學向“民族數學”的還原過程中，很容易遇到很多現實的困難，比如“（在苗族、侗族的母語中）很多簡單的數學概念很難（甚至不能）用民族語言準確地加以表達”[7]，有些漢語數學術語翻譯成少數民族語言而失去了原有內含的數學涵義（如“正方體”翻譯成維吾爾族語后只是一個抽象的數學符號而已[9]）．很顯然，“還原”不是根本的解決之道．如果不辯證地看文化背景和數學發展的關系，就盲目地排斥“標準數學”，這樣的結果常常就將民族數學教育置于比較狹隘的境地，而“民族數學”也不能得到發展．

事實上，上述矛盾就數學本身發展來說，也是存在的．數學一方面具有統一性，另一方面又具有文化背景的多元性．從柏拉圖開始，數學家們就在追求超越現實與經驗的數學的統一性，數學被作為理念世界里的對象．即使當代數學面臨被越來越多的分支所分解的時候，大數學家希爾伯特在他那著名演講——《數學問題》中仍然強調“數學科學是一個不可分割的整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯系”[10]．數學的這種統一性，是人們理解數學的基礎．今天的數學家們似乎理解著同樣的數學，甚至用同樣的數學語言來表達數學．語言是思維的載體，因此在一定程度上甚至可以說，今天的數學家是以同樣的思維方式在思考數學、發展數學．但是，數學的發展又是根植于多元化的文化背景，數學中有著多元的文化基因．這一點至少可以基于以下兩個方面的事實：第一，數學是在不同的文化系統中發展起來的，在漫長的發展歷史中，不同的文化傳統仍然深深融于當代數學，比如即使今天數學被人們普遍認為是希臘傳統意義下的數學，然而中國傳統數學的算法精神仍然深深影響現代數學．吳文俊先生的“機器證明”就是中國傳統的算法精神在當代數學發展中成功的典范．第二，今日社會數學家們仍然處在不同的文化傳統中，他們理解數學的方式和思維方式常常與自己的文化傳統密切聯系．

今天所討論的民族數學教育中的矛盾，大概可以看成是數學統一性與其生存和發展的文化背景的多元性之間的矛盾投射到數學教育中的情形．因此，在研究民族數學教育時，不僅要注意到民族數學教育向“民族數學”還原的經驗性一面，從而奠定民族數學的根基，但另一面也要注意“民族數學”與“標準數學”之間的互動，從而實現民族數學及其教育的超越．對于前一點，似乎已經成為“民族數學”及其教育研究的主要特點與趨勢，正如文[11]中總結了民族數學研究的特點和趨勢：強調“民族數學”的田野研究；課堂教學中“民族數學”的運用突出教學內容的現實化、生活化，縮小與學生的生活之間的差距；在教師培訓中也要突出“民族數學”的應用．而對于后一點，似乎人們較少關注到，而這里則從數學發展的歷史角度來尋求對民族數學超越性方面的啟示．

3 數學歷史發展的經驗性及其超越性

回溯數學早期發展的廣闊歷史，可以看到數學最早從人們生產、生活以及文化中發展的線索，比如：狩獵中產生數量，結繩記事中產生了數，宗教圖騰崇拜中產生了各種圖形的建構，從測量中產生了早期的計量數學，以及器皿制作、建筑、繪畫裝飾等都可以看到數學元素的產生．這些數學的原始形成與今天“民俗數學”研究中所考察的一些少數民族藝術品中所蘊含的“數學”知識一樣，具有不同地區的、濃厚的本土文化和生活藝術化的特點，比如：非洲一些民族的門板、座椅、面具中所展現出的通過幾何變換所揭示出的圖形[12]；中國苗族、侗族等少數民族的服飾、鼓樓、建筑等以及生活、生產實踐中蘊含著大量的數學知識[7]，等等．可見，民族數學及其教育的研究突出了民族數學與少數民族獨特的生產實踐文化的聯系，具有突出的實踐性和經驗性，這與人類數學早期發展具有很多的相似之處．因此，民族數學的產生與主流數學的源頭是有共性的，那么其發展的特點和路徑也應該有相似或啟發借鑒之處．

為此，這里聚焦對“河谷文明（主要是指興起于埃及、美索不達米亞、中國和印度等地域的古代文明）”中數學早期發展的歷史的分析．數學首先沿著河谷地區基于農業文明而發展起來的，是與生成實踐緊密結合的數學早期發展的形態．河谷文明不同地區的數學發展具有較大的共同性．這里以埃及為例分析河谷文明中數學發展的特點．

古埃及人依靠廣闊的地理屏障和尼羅河兩岸的沃土創造了燦爛的古埃及文明，古埃及數學是其文明的重要組成部分．古埃及文明以古老的象形文字和金字塔為象征，其中都蘊含著古埃及的數學知識．首先古埃及人用象形文字把數學問題記錄在紙草書中得以保存，通過這些各種各樣的數學問題使人們知道埃及人懂得哪些數學知識，也通過這些問題的背景知道埃及人的數學是用來做什么的．翻開今天的數學史書籍，可以知道古埃及創立了象形文字的十進制記數系統，并且發明了頗有特色的單位分數，以此為基礎，他們發展了復雜的計算系統，并嫻熟地運用于生產生活實踐中，顯示了古代埃及人復雜而高超的計算能力．當然，也有一些問題屬于今天的所謂代數范疇，其方程解法的“假位法”本質上是一種經驗化的，通過代入驗證的方式來求解．幾何成就則主要表現為各種圖形的面積和立體的體積計算公式，這與當時丈量土地、谷堆體積和建筑計算有關．總之，這些數學成就無論是知識背景還是內容似乎一致地指向了埃及農業社會的生產實踐，這與今天很多民族數學與其生產實踐背景的關系很相似．

埃及文明很輝煌，但數學發展總體上是初等的水平，埃及數學知識在埃及文明發展過程中保持了一種“靜止特性”，“（埃及數學）就像傳家寶一樣世代相傳，在數千年漫長的歲月中很少變化”[10]．波耶說：“埃及紙草書中所顯示出的數學知識，大多數是實用性的，而且，計算是這些問題的主要元素，……而不是為了方便理解．”[13]“找不到任何證據說明古埃及人已經了解勾股定理哪怕是其特例．”[10]上述論斷告訴人們：即使有金字塔建筑的輝煌，并且顯示出高超的數學技術（如嘆為觀止的計算精確性），但是仍然可以說埃及數學在超越性方面存在局限，或者說找不到數學超越經驗的證據．在數學發展的歷史過中，應該看到數學發展的超越性本質．

從數學的發展來看，數學有3方面的超越性：第一，對經驗對象的抽象性超越，也就是說，盡管數學對象是從現實中、經驗對象中歸納或者抽象出來，但最終是要脫離于經驗對象的依附，使其成為獨立的數學對象，這樣對數學的理解才能達到抽象的水平．只有在對數學對象抽象理解的水平上，才能夠進一步探討數學對象的形式和關系，這也是數學具有廣泛應用性的根本原因．數學對象的抽象超越性在原始的數學知識中已經表現出來，哪怕是埃及紙草書中的數學問題，已經開始討論數量關系的問題．第二，對經驗活動的純粹化超越，即數學的目的不僅僅是為了生產生活，而且還可以“為了理解”．這是數學為了純粹思想的目的，也就是通過數學關系去理解世界，以數學關系為對象進行純粹的思考，發展人的洞察力．對于這一點，相對于埃及數學來說，畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的觀點正好與之對照，以純粹目的來建立數學的“理念世界”正好是古希臘數學的目的，這或許也蘊含了希臘數學能超越埃及數學的一個重要原因．第三，對思維方式的超越，這是指通過主體思維對數學對象的思考活動，不斷改進數學思考的方法，表現為數學對象的逐級抽象，數學算法的改進以及數學方法的變革，等等，從而促進人自身思維方式的不斷超越，從而表現為人的智力水平的提高．前兩者都是主體對于客體認知上的超越，而這一點卻是對主體自身的超越．人類的科學文明之所以發展到今天如此高的文化，與數學和其他科學帶來人類自身的思維方式不斷變革和提升有著重要的聯系．著名數學史家波耶說：“20世紀的數學，已經發展成為一種高深復雜、頗難定義的智力活動．很多如今認為是數學的課題，最初都是人們集中思考數、量、形等概念所帶來的產物．”[13]這一論斷就揭示了數學智力超越性的數學活動本質．盡管考古學和解剖學告訴人們，古人和今人在生理意義上的智力天賦——大腦結構并沒有多少差異，但是數學和科學給人帶來思維方式的差異，卻使得現代人的智力水平比古代人有了顯著的提高．思維方式對于數學發展的重要性從埃及數學發展的局限性中也可以看出來，埃及數學不僅由于缺乏了對數學經驗活動的純粹性超越，使他們的數學未能像古希臘數學那樣走上嶄新的、理性數學的道路，而且由于諸如帶有單位分數的運算系統，盡管有著令人驚訝的復雜性，但是埃及人卻未能改進算法，超越繁雜的運算系統，從而讓數學為人提供改進思維方式的機會．

4 民族數學及其教育發展的超越性路徑

數學的發展與產生它的文化背景密切聯系，這是研究民族數學的出發點．從數學發展的歷史來看，數學既根植于產生它的文化背景，同時又超越特定的文化背景，成為具有普遍意義的文化新形態．推廣至數學教育來說，一方面，要把數學學習與學生的文化背景聯系起來，另一方面又要實現對“民族數學”的文化超越，在更廣闊的意義上發展民族數學教育．下面就從數學發展的超越性本質來討論民族數學及其教育發展在超越性方面的要求和路徑．

（1）對基于民族文化背景中具有數學特征的對象進行數學抽象，實現數學對象的抽象性超越．

數學對象是從生活與文化背景中建構出來的對象，這是一種數學對象的抽象性超越．今天民族生活和文化背景中有很多具有數學意義的對象，但這些對象與它的現實原型并沒有分離，比如非洲的民族生活中有各種圖案，而這些圖案中蘊含著多種數學變換，并被作為其民俗數學的一個部分[12]．但是，圖案終歸不是變換，只有把這些圖案中所蘊含的數學變換的意義解釋出來，并經過重新建構才能成為民俗數學的一部分，也才能實現數學對象的抽象性超越．在中國“苗族、侗族的母語就不能準確地表達分數、小數、正數、負數等有關數的概念，也不能準確表達垂直、平行、直角三角形、正方形、長方形、平行四邊形等有關幾何概念”[7]，但這些民族文化中也一定有表示這些對象的方式和方法，找到這些具體數學特征的對象或方式方法，經過抽象化重構，變成民俗數學的對象，才能完成民族數學對經驗對象的超越．在重構這些民族數學中的對象時，應該基于民族文化和語言自身特點，才能建構這些具有獨特文化背景的數學對象，這樣，民族數學就可以超越民族文化中數學的經驗水平，使數學對象在少數民族生產實踐活動具有更廣泛的意義和適用性．

（2）對民族生產實踐中經驗活動的超越，實現數學的理性價值．

數學早期的發展，經驗性是數學的一個基本特點，數學的經驗性不僅意味著生產實踐產生著數學，而且也通過它保存和傳播數學知識．數學的經驗性也是今天民族數學的顯著特征．很多研究就是從不同文化系統中發現基于社會生產生活實踐所創造的具有民族文化特色的數學形式．比如，中國關于侗族、苗族文化中的數學[7，14]；南美洲的土著民族有自己的數學，包括記數系統和計算方法，幾何意義和圖形概念等[1]．這些研究揭示了民族數學的形式以及相應的生產、學習和傳播與少數民族中的民族文化和生產實踐的密切聯系，揭示了民族數學產生的根源和動力，無疑這些研究是重要的．但是，硬幣分為兩面，當人們在關注民族數學向民族文化背景的轉移，突出數學文化的本土化的時候，更多體現了民族數學及其教育的實踐性和經驗性，常常缺失了數學對經驗活動超越方面的討論．

怎樣來發展民族數學及其教育對經驗活動的超越呢？民族文化有超越經驗性的基因嗎？文化的本質有超越經驗活動的特性，這就體現在文化更多是關乎人的精神層面的內容．對于數學來說，文化的超越性體現在數學對人所彰顯出的理性精神的價值．如果把數學退回到生活數學、實用數學，那么數學作為精神層面的理性文化價值既不能得到彰顯，又對民族文化不能增添有價值的內涵．數學對經驗活動的超越是指數學作為純粹思想的一面，是為了得到對世界的深入理解．數學如果缺乏為了理解的目的，它也就缺乏了進一步前進的動力．河谷文明時期的數學之所以未能完成對經驗活動的超越（包括中國傳統數學發展也有類似的情形），其文化中缺乏理性精神追求是一個重要的原因．對于今天的民族數學教育來說，有了河谷文明時期數學發展的借鑒，對經驗活動的超越，應該成為民族數學及其發展主動追求的一個目標．

對經驗性的超越的方法來說，應該更多關注民族數學中已有的對數學經驗有超越性的內容．比如，埃及數學中有一個例子就是具有啟發性的，那就是萊因德紙草書中第79題：7座房，49只貓，343只老鼠，2?401棵麥穗，16?807赫卡特（注：古代埃及的容量單位）．顯然，這個題目并不是實際中的問題，而是數字有著規律的、純粹的數學題目．有人認為：“這是帶有純粹游戲性質的幾何級數求和的問題．”[10]這個例子啟發人們，數學最初作為純粹的對象是通過融合在如游戲、詩歌這類民族藝術文化的活動中，而這類活動正好反映了人類的一種純粹化的思想，關注人的精神層面．數學作為純粹的思考對象與人類其他的藝術形式活動一樣，具有精神追求的意義，而這條道路正是數學的理性發展道路．

（3）對民族數學中思維方式的超越，實現數學的智育價值．

數學在一定意義上是人類智力活動的結晶，任何一種形式的數學都在一定程度上承載了某種特征思維方式，并通過這種數學促進人的思維活動方式的發展．對當今的人類來說，無論是哪一個族群，其智力水平和認知能力都沒有多少差異，特別是從解剖學意義上來看，全世界的不同人之間的智力天賦實質上沒有什么太大的差異．但是，另外一方面，不同人之間在智力和認知上都表現出很大的差異和個性化，這種差異原因在哪里呢？這種差異本質上是思維方式上的差異．而數學帶給人或者人類來說重要的價值，就是通過人自身的思維活動，不斷改造人的思維方式，從而實現智力水平的超越．埃及數學中運算系統的復雜性，對于今人來說也不能不說是一個巨大的挑戰，說明古埃及人在思維的復雜程度已經達到很高的地步，但是由于缺乏對算法的反思與改進，因而埃及數學的思維水平仍然是非常初等的．

怎樣在民族數學教育中實現基于民族數學對于思維方式的超越呢？首先要對已有民族數學內容或者新建構的民族數學內容，按照數學一般意義上進行分析，這些內容在思維方式上存在哪些局限，怎樣在一般意義上進行改造或者重建．今天的數學中對于人的思維方式最有價值的是彰顯了諸如“抽象”、“一般化”、“形式化”、“壓縮與逐級抽象”等具有普遍意義的思維方法．作為民族數學或者民族數學教育的研究學者，應該考慮作為現代數學中具有普遍意義的思想方法如何與民族數學整合，甚或改造建構都是必要的．對于民族數學教育來說，就是在民族數學的學習中，最重要的還是一般意義的“數學思想方法”的學習，而不是數學形式的還原．這一點是重要的，在討論“民族數學”和“民族數學教育中，人們可能有意無意地突出后者而忽略前者．在民族數學教育及其研究中，如果注意從一般意義上的數學思維方法的角度來理解、改造和建構民族數學，那么不僅對于學生智力的超越是有意義的，而且有利于民族數學的重建．

5 結 語

正如習近平總書記在“紀念孔子誕辰2?565周年國際學術研討會”上的演講報告中所說：“不忘歷史才能開辟未來，善于繼承才能善于創新．”歷史與現實在一定程度上具有一定的相似性，數學歷史對于今天的民族數學及其教育也一樣，在一定程度上歷史可以給予人們啟示．

[1] 張奠宙．數學教育研究導引[M]．南京：江蘇教育出版社，1998．

[2] 陳婷．近十年我國少數民族數學教育研究的回顧與反思[J]．民族教育研究，2013，（6）：121-127．

[3] 呂世虎，付敏，孫名符，等．藏、漢學生智力因素和非智力因素對數學能力發展影響的跨文化研究[J]．教育研究，1995，（1）：70-74．

[4] 夏小剛．布依族、漢族地區初中數學運算能力的跨文化研究[J]．數學教育學報，2001，10（3）：84-87．

[5] 湯服成，廖克順，葉蓓蓓．廣西巴馬縣壯、瑤族學生數感的比較分析[J]．數學教育學報，2006，15（3）：46-50．

[6] 代欽．多元文化形態下的中國數學教育——對中國少數民族數學教育的一些思考[J]．數學教育學報，2013，22（2）：2-4．

[7] 羅永超，呂傳漢．民族數學文化引入高校數學課堂的實踐與探索——以苗族侗族數學文化為例[J]．數學教育學報，2014，23（1）：70-74．

[8] 呂傳漢，汪秉彝，夏小剛．貴州民族地區基礎教育的跨文化數學教育研究[J]．數學教育學報，2009，18（5）：83-87．

[9] 楊軍，連吉娥，莎吉旦木，等．試論新疆維漢初中雙語數學教材的編寫思路[J]．數學教育學報，2014，23（2）：86-88．

[10] 李文林．數學史概論（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2011．

[11] 楊新榮，宋乃慶．國際民俗數學研究：特點、趨勢及啟示[J]．民族教育研究，2011，（6）：32-35．

[12] 唐恒鈞，張維忠．民俗數學及其教育學轉化——基于非洲民俗數學的討論[J]．民族教育研究，2014，（2）：115-120．

[13] 卡爾·B·波耶．數學史（修訂版）[M]．尤塔·C·梅茲巴赫修訂．秦傳安譯．北京：中央編譯出版社，2013．

[14] 肖紹菊．苗族服飾的數學因素挖掘及其數學美[J]．貴州民族研究，2008，（6）：108-109．

Enlightenments on Ethnomathematics and Its Education Development by the History of Mathematics

NING Rui1, 2, ZHANG Hong2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. School of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610066, China)

There was intrinsic contradiction between cultural diversity of ethnomathematics and standardization of school mathematics. Some realistic difficult situations in ethnomathematics and its education arise from the contradiction. Firstly, this paper discriminated the implication of ethnomathematics and ethnomathematical education. Then it analyzed the realistic background and root cause which result in the difficult situations of ethnomathematics and its education from the perspective of historical similarity. It also analyzed some empirical features in early development of mathematics and three-level transcendence in mathematical development, and discussed some limitations concerning transcendence by taking early mathematical development in Egypt as an example. Finally, it raised the requirements and approaches in three transcendence levels for the development of ethnomathematics and its education.

ethnomathematics; ethnomathematical education; ethnic culture; history of mathematics; transcendence

[責任編校：周學智]

G750

A

1004–9894（2017）04–0087–05

2017–03–03

國家自然科學基金項目——數學符號的演變與傳播研究（11471232）；民國時期中外數學交流與四川數學的發展（11526018）

寧銳（1972—），男，四川儀隴人，講師，博士生，主要從事數學教育與數學史研究．張紅為本文通訊作者．