運用三次函數零點個數的判定定理快捷解決高考綜合題

湖北省襄州一中(441104)

高群安●

運用三次函數零點個數的判定定理快捷解決高考綜合題

湖北省襄州一中(441104)

高群安●

設有三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4(b2-3ac).

①當Δ≤0時,若a>0,則f′(x)≥0;若a<0,則f′(x)≤0,所以f(x)在(-∞,+∞)是單調函數.由圖象直觀可知函數f(x)有唯一零點.

(其中Δ=4(b2-3ac),x1,x2是f′(x)=3ax2+2bx+c=0的兩根)

本文以2014年，2015年高考的三道壓軸題為例，說明定理在解題中的應用.

例1 (2014年高考課標2文科21壓軸題)已知函數f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.

(1)求a；

(2)證明：當k<1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

解 (1)因為曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.所以f′(0)=1?a=1.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,“曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點” 等價于“ 函數g(x)=f(x)-kx+2即g(x)=x3-3x2+(1-k)x+4只有一個零點”.k<1,設1-k=3m，則m>0,只須證明“ 函數g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個零點”即可.g′(x)=3x2-6x+3m，Δ=36-4×3×3m=36(1-m).

當m≥1時，Δ≤0，由“定理”知：函數g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個零點；

當00，設g′(x)=3(x2-2x+m)=0的兩根為x1,x2則x1+x2=2,x1x2=m.因為g(x)=x3-3x2+3mx+4=(x-1)(x2-2x+m)+2(m-1)x+m+4，

g(x1)g(x2)=[2(m-1)x1+m+4][2(m-1)x2+m+4]

=4(m-1)2x1x2+2(m-1)(m+4)(x1+x2)+(m+4)2=4(m-1)2m+4(m-1)(m+4)+(m+4)2

=m(4m2-3m+24)>0.由“定理”知：函數g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個零點.

綜上知當k<1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

評注 本題難度很大，主要考查導數的幾何意義，導數的計算；考查推理論證能力和創新意識；考查數形結合的思想，轉化化歸的思想，函數與方程的思想、分類討論的思想.

在證明過程中，等價轉化，構造函數，利用判定定理就參數的范圍分類討論，巧設參數，簡化運算，體現了明確的目標意識.

例2 (2014年高考北京卷文科壓軸題) 已知函數f(x)=2x3-3x.

(1)求f(x)在區間[-2,1]上的最大值；

(2)若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍；

(3)問過點A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切？(只需寫出結論)

(3)過點A(-1,2)存在三條直線與曲線y=f(x)相切；過點B(2,10)存在兩條直線與曲線y=f(x)相切；過點C(0,2)存在一條直線與曲線y=f(x)相切.

評注 能夠快速解答第(2)問的關鍵是運用了轉化的數學思想和三次函數有三個零點的判定定理；第(3)問運用函數圖象的對稱性及(2)的結論得“過點A(-1,2)存在三條直線與曲線y=f(x)相切”；畫草圖，利用直覺思維得“過點B(2,10)存在兩條直線與曲線y=f(x)相切；過點C(0,2)存在一條直線與曲線y=f(x)相切”.

本題難度較大，主要考查了導數的幾何意義，利用導數研究函數的極值、最值的方法；考查了運算求解能力和推理論證能力.

例3 (2015年高考江蘇卷)已知函數f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)試討論f(x)的單調性；

思路 (1)可利用導數分類討論解決；

(2)可利用必要條件求出c的值再做充分性驗證或利用充要條件解決.

利用導函數的圖象(如圖)可得：

a=0時，f′(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)單調遞增；

評注 本解法根據題設，運用“定理”，等價轉化，比較系數得答案.

可見，運用“定理”解決有關問題，能優化解題過程，精簡解題程序，提高解題效率！

設圓C半徑為R，則PT2=PC2-R2,∴PC2-R2=2MN2.

G632

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1008-0333(2017)07-0019-02