探索橢圓周長和橢球表面積的近似初等公式

四川省西昌市第一中學(615000)

周園鈔●

探索橢圓周長和橢球表面積的近似初等公式

四川省西昌市第一中學(615000)

周園鈔●

以信息技術、多媒體為手段，用初等數學方法探索橢圓周長和橢球表面積的近似初等公式.

函數;極限;橢圓周長;橢球表面積.

橢圓周長和橢球表面積的計算，由于其積分式的原函數不是初等函數，因而在中學數學中成了一塊盲區.

本文以信息技術、多媒體為手段，應用初等數學的研究方法，推導、檢驗和應用橢圓周長和橢球表面積的近似初等公式.

一、橢圓周長近似初等公式的推導

根據微積分基本定理，通過定積分運算得到橢圓面積公式：S橢圓=π·ab……(1)

在(2)式中，我們設：

三、橢球表面積初等公式的類推

橢球的體積可以由定積分求出，其公式為：

式中a,b,c分別為橢球的三個半軸長.

于是，用待定系數法，可設橢球表面積為(x，y為待定系數)：

又，當a,b,c三者趨近相等時，橢球表面積為一個球的表面積，即4πa2.

令a=b=c=1

得：S=4π，

故4π=6π(9+3x)/(9+3y).

解得：y=(3x+3)/2.

這個對稱、美麗的橢球表面積初等公式，與橢圓周長一樣簡便好記：a,b,c齊次對稱，且當a,b,c之一，例如c→0時，橢球表面積S→2πab；當c→b→a時，S→4πa2.為驗證其精度，現用旋轉橢球體的表面積的精確值加以對比：

表1 旋轉橢球表面積分布表

表1雖然是用旋轉橢球的表面積驗證公式(5)，但由于公式(5)關于三半軸長完全對稱，由排序不等式和橢球表面積的有關知識可知，任意三軸橢球表面積的誤差低于表中相應位置的誤差.

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1008-0333(2017)07-0014-02