淺談構造法在高中數學解題中的應用

甘肅省禮縣實驗中學(742200)

馮旭明●

淺談構造法在高中數學解題中的應用

甘肅省禮縣實驗中學(742200)

馮旭明●

構造法是數學中一種創造性和技巧性的思維方法，在數學解題中有著重要的作用，尤其是形式復雜，難以解決的問題，需要認真的觀察，深入分析，從問題的不同側面，不同角度，分析條件和結論之間的聯系，恰當地構造輔助元素(構造輔助元素可以是圖形、函數、方程、數列等)，改變問題的形式，使解題另辟蹊徑.下面通過舉例說明構造法在數學解題中的應用

一、構造圖形

分析 左端形式可看作點到原點的距離公式，右端可以看成兩點間的距離，根據式子特點可構造三角形.

例2 已知a、b、c、a1、b1、c1∈(0,+∞)，且a+a1=b+b1=c+c1=k.求證:ab1+bc1+ca1

分析 此題可把ab1、bc1、ca1看成三個矩形的面積,k2可以看成邊長為k的正方形的面積,利用面積關系進行證明.

證明 如圖2所示 ,正方形ABCD的邊長為k.

∵S1=ab1,S2=bc1,S3=ca1，

S1+S2+S3+S4=k2，

∴S1+S2+S3

即ab1+bc1+ca1

二、構造函數

分析 已知條件中給出了三個數的范圍，而求的是ab+bc+ac的范圍，可將它看成單元函數.

證明 設f(a)=ab+bc+ca=(b+c)a+bc.

當(b+c)=0時，f(a)=bc=-b2.

三、構造方程

例5 已知實數a、b、c滿足a=6-b,c2=ab-9，求解a,b,c的值.

分析 由于題目條件中有a+b與ab，聯想到一元二次方程根與系數的關系，因此構造方程求解.

解 ∵a=6-b,c2=ab-9,∴a+b=6,ab=c2+9.所以構造方程x2-6x+c2+9=0.其中a、b是該方程的兩個根.x2-6x+c2+9=(x-3)2+c2=0得x=3,c=0,因此a=b=3,c=0.

四、構造數列

分析 對于某些關于自然數n的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時也可構造數列加以解決.

五、構造抽屜

從以上各例可以看出，構造法需要豐富的知識經驗為基礎，較強的觀察能力和創造能力.體現了數學中發現、類比、化歸的思想.運用構造法解解決數學問題從中感受數學的樂趣，更重要的是還可以開拓思維空間，啟迪智慧，對培養學生多元化思維和創新精神有很大的幫助.

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1008-0333(2017)07-0037-01