例說巧解方程的根與函數的零點問題

黑龍江省大慶市第二十八中學 (163000)

黃海燕●

例說巧解方程的根與函數的零點問題

黑龍江省大慶市第二十八中學 (163000)

黃海燕●

隨著新課標的不斷發展和深化，高考對學生綜合素質的考察越來越重視，一些高等數學的概念也逐漸融入到高中數學課程中，而方程的根與函數的零點問題便是其中之一.本文采用函數與方程、轉化與化歸和數形結合的數學思想詳細闡述了解決函數零點分布、零點個數和兩個函數交點的問題.

方程的根;函數的零點

隨著新課標的不斷發展和深化，高考對學生綜合素質的考察越來越重視，一些高等數學的概念也逐漸融入到高中數學課程中，而方程的根與函數的零點問題便是其中之一.方程的根與函數的零點是數學必修一第三章的內容，是在學生學習完基本初等函數后引入的概念.雖然函數與方程是兩個不同的概念,但它們之間有著十分密切的聯系.很多函數問題可以通過方程的知識與方法來化解；很多方程的問題,可以用函數的知識與方法去解決.函數與方程思想得本質是實現函數與方程的相互轉化.同時方程的根與函數的零點問題還會應用到轉化、化歸和數形結合的數學思想.

一、知識回顧

定義：對于函數y=f(x)，把使函數f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點(zeropoint).值得注意的是函數的零點并非是一個點，而是使得函數f(x)=0的實數x的值.即：方程f(x)=0有實根?函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標?函數y=f(x)有零點.

零點存在性定理：若函數y=f(x)在閉區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)至少有一個零點.

二、典型例題

類型一 函數零點的分布

例1 (10天津理)函數f(x)=2x+3x的零點所在區間是( ).

A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

解析 解決零點分布問題，主要依據零點存在性定理.

∵y1=2x在定義域內是單調遞增函數，y2=3x在定義域內是單調增函數， ∴f(x)=2x+3x在定義域內是單調遞增函數∵f(-2)=2-2-6<0；f(-1)=2-1-3<0；f(0)=20+0>0；f(1)=21+3>0；f(2)=22+6>0根據零點存在性定理：f(-1)·f(0)<0；所以函數f(x)=2x+3x的零點所在區間是B(-1,0) .

注：使用零點存在性定律時，應先判斷函數在給定區間[a,b]是否一條連續曲線，如果是再使用f(a)·f(b)<0判斷零點的存在.

類型二 函數的零點個數

A.0 B.1 C.2 D.3

注：本題用到了函數與方程的數學思想.

例3 若函數f(x)=logax-2x+2a(a>0且a≠1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是____.

解析 根據函數的零點、函數的圖象和方程的根三者之間的關系：函數y=f(x)有零點?函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標?方程f(x)=0有實根.可將此題轉化為函數f(x)=logax-2x+2a(a>0且a≠1)有兩個零點 ?logax=2x-2a(a>0且a≠1)有兩個解?函數y=logax與函數y=2x-2a(a>0且a≠1)的圖象有兩個交點.當a>1時兩函數圖象如圖1所示，當0

由圖可知當a>1時，函數f(x)=logax-2x+2a(a>0且a≠1)有兩個零點.

注：本題用到了數形結合的數學思想.

步驟1.構造函數(最好為基本初等函數，能夠畫出其圖象);2.畫圖(通過題意繪制圖象，將代數表達轉化為圖形表達);3.依圖得條件(將圖形表達轉化為代數表達).

類型三 兩個函數圖象的交點問題

解析 根據函數的零點、函數的圖象和方程的根三者之間的關系，此題轉化為函數y=f(x)與y=k兩函數的交點問題.圖1所示為函數y=f(x)的圖象.

由圖可知k的取值范圍是(0,1).

注：本題用到了轉化、化歸和數形結合的數學思想.首先將方程問題轉化成函數圖象的交點問題，再畫圖解出此題.

綜上所述，對于方程的根與函數的零點問題，我們除了熟練掌握定義和函數零點存在性定理外，還要在做題過程中熟練應用方程與函數的思想，轉化與化歸思想和數形結合的數學思想.

[1]新課改下高中函數教學研究[D]張久鵬.蘇州大學.2010

[2]函數零點在解題中的應用[J]. 韓鋒.中學生數理化(高一版). 2008(09)

[3]“方程的根與函數的零點”的教學[J]. 章建躍.中國數學教育. 2012(Z2)

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