一道題的錯解剖析與正解

陜西省府谷中學(719499)

張 升●

一道題的錯解剖析與正解

陜西省府谷中學(719499)

張 升●

對于帶有附加條件的代數式的取值范圍問題，往往由于考慮不周，忽視隱含條件而得出一些貌似正確而實質是錯誤的解法.對于這些錯誤不易發現，以至以后不斷再犯同樣的錯誤.本文試通過一道題的各種錯解，剖析其錯誤之處，然后加以改正，以增強同學們的思辯能力，準確掌握數學知識，進而提高數學素養.

題目 設x、y是實數，x2+xy+y2=1,求p=-x2+xy-y2的取值范圍.

剖析 用x2+y2≥2xy只能求得最大值或只能求得最小值，而不能同時求得最大值又求得最小值.應注意基本不等式的其它形式.

剖析 非負數的表達形式是多種多樣的，以上的(x+y)2≥0只是非負數的一種形式，非負數還有其它形式.

錯解4 (泛用判別式)

(p+1)x2+(p-1)xy+(p+1)y2=0.

剖析 上述結果雖然與正確答案相同，但解題過程中有不嚴謹之處.如：y是否可能為零？p是否可能為-1？

正解 同上得(p+1)x2+(p-1)xy+(p+1)y2=0.

由x2+xy+y2=1知x、y不同時為零.又由x、y的對稱性，不妨設y≠0.上式兩邊同時除以y2，得

(1)當p+1=0時，p=-1,x=0，此時y=±1.

在進行專題復習時，應避免題海戰術，而選擇那些典型題目，引導學生對常見的各種錯解加以剖析，深入挖掘，探索出多種新穎而富于創造性的解法.這對活躍課堂教學，提高復習效果，培養學生嚴謹的數學思維，提升學生的數學素質具有重要作用，這完全符合新課標所倡導的教學理論.

G632

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1008-0333(2017)07-0036-01