多學科設計優化算法研究綜述

楊 磊，韋喜忠，趙 峰，李勝忠

(中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082)

多學科設計優化算法研究綜述

楊 磊，韋喜忠，趙 峰，李勝忠

(中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082)

隨著多學科設計優化（Multidisciplinary Design Optimization，MDO）技術的發展，它將成為優化設計的大趨勢。為了能夠更好地運用 MDO 來解決船舶設計優化問題，本文對近年來發展的 MDO 算法進行系統梳理和分類，對發展已較成熟的幾種算法進行簡要介紹，對新發展的幾種特殊算法應用環境、性能特點進行重點介紹；最后，對 MDO 算法研究存在的不足和今后發展趨勢提出了若干建議。

多學科設計優化；多學科設計優化算法；算法分類

0 引 言

現代工程系統規模越來越大、系統之間的交互作用越來越精細、復雜，已很難應用傳統優化方法，并通過經驗來協調系統內部的耦合效應。在此背景下，MDO 技術應運而生。MDO 是 Sobieski 等[1]在研究大型結構設計優化問題時提出的一種耦合系統設計優化方法，其基本思想是通過充分探索和利用系統中相互作用的協同機制來設計復雜系統和子系統[2]。MDO 方法最先在航空航天領域獲得研究和應用，已初見成效[3-6]，隨后迅速擴展至武器、汽車、機械、船舶等諸多領域。自 20 世紀 80 年代末以來，MDO 技術得到美國、俄羅斯、歐洲等國家政府機構、企業界和學術機構的支持和研究，MDO 作為一門正在崛起的新的工程學科，必將成為優化設計的大趨勢[7]。

MDO 從理論層面解決了多系統的協同設計問題，

MDO 算法則是這一理論的具體實現方法。顯然，由于設計問題的不同，所要求的實現方法也就不同，從而發展了各種各具特點的 MDO 算法。這就要求設計研究人員對各不同 MDO 算法有一定的了解，為此，本文根據相關文獻，對近年來發展的 MDO 算法進行總結，并重點介紹幾種特殊 MDO 算法應用目的、分解方法及性能特點，為實際應用提供參考。最后，討論了當前 MDO 算法研究中存在的問題，并提出了若干建議。

1 MDO 算法概述

MDO 算法又稱為 MDO 過程、MDO 體系結構（MDO Architecture），區別于傳統最優化方法，MDO算法關注優化過程的組織方式、耦合信息的傳遞和協同策略，而不是搜索策略本身。為便于闡述 MDO 算法原理及不同 MDO 算法的特點，首先給出 MDO 算法的一般數學表達形式，如式（1）所示，該式又被稱為同時優化算法（All-at-once，AAO）[8]。

AAO 算法對所有變量，包括設計變量、狀態變量、輸入/輸出耦合變量，進行同時優化，問題規模大、收斂速度慢，實際應用少，但是，通過對約束條件的不同處理可得到更高效的 MDO 算法。

消除 AAO 的一致性約束后，得到同時分析和設計算法（Simulation Analysis and Design，SAND），優化問題規模明顯減小，但學科分析控制方程求解依然困難；消除 SAND 中的 Ri= 0 學約束可得到的多學科可行法（Multidisciplinary Discipline Feasible，MDF），該算法僅需對設計變量進行優化，每一步迭代都能夠得到多學科可行解，但計算過程比較復雜，優化效率不高；消除 AAO 的 Ri= 0 約束可得到單學科可行法（Individual Discipline Feasible，IDF），該算法的各子學科分析計算可并行執行，優化過程收斂能得到多學科可行解，應用梯度優化算法時，計算量大，收斂困難。

上述 4 種 MDO 算法均只有一個優化器，所有優化一次完成，稱之為單級整體式 MDO 算法。這類算法結構簡單，容易建模實現，但各子學科只有“分析”沒有“優化”，子學科缺乏優化自主權，而實際工程系統總是希望各子學科的設計優化由學科專家來主導完成?；谶@一需求，多級分布式 MDO 算法得到發展和實際應用，其最典型的結構是擁有一個系統級優化問題和多個子系統優化問題，系統層與各子系統對整個系統的設計具有不同程度的自由度，這種架構與工程設計過程相吻合。對于多級 MDO 算法，按照協同策略又可以將其分為基于 IDF 策略和 MDF 策略的多級分布式 MDO 算法兩大類，前者主要通過在系統層設置關于耦合變量的一致性約束進行協同；后者則通過多學科分析來滿足耦合變量的一致性。

按照上述分類方法，本文對近年來發展的 MDO算法進行歸類整理，如圖 1 所示。其中，單級 MDO 算法在上文已作簡要介紹，文獻[9-10]中也可以找到詳細的闡述，本文將不再做進一步闡述；多級優化算法中，以 CO，CSSO，BLISS 的研究最多，其發展已較為成熟，本文僅對其基本原理和特性作簡要介紹，重點研究幾種有特殊應用要求的多級 MDO 算法基本原理和特點。

2 多級分布式 MDO 算法

2.1 幾種典型多級分布式 MDO 算法

1）并行子空間算法（Concurrent Subspace Optimization，CSSO）[11-12]是最早提出的多級分布式 MDO 算法之一。其基本思想是將系統優化問題分解為若干個設計變量不相交的子優化問題，各子系統優化的目標函數均為原系統優化問題的目標函數，各子學科只對本學科局部設計變量進行優化，所需的耦合輸入變量用近似模型代替。CSSO 需要進行復雜的多學科分析（Multidisciplinary Analysis，MDA），系統分解要求各子學科設計變量集不相交，在工程上較難滿足，限制了該方法的實際應用。

說與妻聽，妻說：“誰也逃不過，我也開始掉頭發了?！笨刹?！每次拖地都要為了她那些落發掃了又掃，擦了又擦，揀了又揀，累到直不起腰。想當年，妻幾次說要剪成短發，我都大加阻攔；剪是沒剪，她卻悄悄焗過淡黃色，燙過波浪卷，我都不以為然，悄悄告訴她：“就喜歡你那一頭烏黑亮麗、柔順飄逸的長發。”她嘿嘿一樂，沒再動過頭發的心思。

2）協同優化算法（Collaborative Optimization，CO）是目前研究最多、應用研究最為廣泛的 MDO 算法[13]。其基本思想是將系統進行層次分解，各子系統只與父系統進行數據交換，系統層目標函數為原問題目標函數，各子系統以最小化與系統分配的目標方案的差異為目標函數，系統層通過一致性約束協調各子學科進行并行優化。CO 算法，子學科優化自治性高，獲得工程設計師的青睞，但其系統優化問題不滿足KKT 最優化條件，其數學收斂性尚未得到證明[14-15]。

3）增強型協同算法（Enhanced Collaborative Optimization，ECO）[16]的基本思想是將 CO 算法的系統層與子系統層目標函數對調，增強各子學科對目標函數的“影響力”。研究表明[17]，ECO 比 CO 的分析次數更少，但構建及更新子學科模型需要增加額外的時間。

4）兩層綜合集成算法（Bilevel Integrated System Synthesis，BLISS）[18]將設計變量分為全局（系統）設計變量和學科局部設計變量，應用泰勒展開式構造原問題目標函數近似式，利用梯度指導的方法，交替優化全局設計變量和學科局部設計變量，直到獲得系統最優解。這一過程需進行大量的偏導數計算，優化計算成本高，通過采用響應面方法、Kring 方法可得到緩解。

5）目標分流法（Analytical Target Cascading，ATC）[19]的基本思想是將系統設計要求，包括目標函數、約束條件，按照層次系統由上到下逐級傳遞到子系統，各子系統圍繞系統設計要求對各學科局部設計變量進行優化，直到獲得滿足目標的設計方案，若無法完全滿足目標值，則返回最接近目標的設計方案，ATC 與 CO 算法思想相似。目前，關于ATC算法的性能研究，目前尚不多，但已在汽車、橋梁、飛機、船舶等領域開展應用研究。

2.2 幾種特殊的多級分布式 MDO 算法

2.2.1 精確和非精確懲罰分解算法

若 MDO 問題中沒有系統約束 c0或系統目標函數f0，可以應用 EPD 或 IPD 算法[20]，其子學科 i 優化問題定義如下式所示：

其中：Φi為關于學科 i 與系統層之間不一致性的懲罰函數。在 EPD 中，Φi為關于耦合變量的線性懲罰函數；在 IPD 中，Φi為關于耦合變量的、帶權重因子的二次非線性懲罰函數。

EPD 和 IPD 的系統優化問題相同，它是以最小化各子系統懲罰函數 Φi之和為目標的無約束優化問題，如下式所示：

其中：ωi為懲罰函數的權重因子，它由系統優化器進行更新，當 ωi趨于無窮大，而系統目標函數值不變（或增加量小于某給定小數）時，則表示優化過程收斂。DeMiguel 等[21]在數學上已證明了 IPD 和 EPD 的收斂性，其研究也表明，IPD 和 EPD 的計算量隨共享耦合變量的增加而增加。

2.2.2 獨立子空間 MDO 算法

若 MDO 問題沒有系統約束 c0或系統目標 f0，同時不存在共享設計變量 x0，則可以采用獨立子空間MDO 算法（MDO of Independent Subspace，MDOIS）[22]。這種情況下，各學科之間只存在輸入、輸出耦合，各學科優化問題可完全分離，學科 i 優化問題可定義如下：算模塊直接進行優化；而需要進行高精度分析的學科則由系統層進行優化，其系統及子系統優化問題定義如式（5）和式（6）所示，其中，k 表示需要進行高精度分析的學科。

MDOIS 的最大特點是，不存在系統優化問題。如圖 3 所示，它是通過 MDA 過程來引導各學科設計優化過程，當 MDA 過程收斂時，即獲得系統最優解，它屬于分布式 MDF 算法。研究表明，在滿足假定條件的前提下，MDOIS 均能獲得最優解[23]；基準試驗研究發現，在很多數情況下，獲得同樣的最優解，MDOIS比 MDF 過程所需的分析次數還要少，但在應用的靈活性上卻不及后者[24]。

2.2.3 異步子空間法

若在 MDO 過程中，不同學科進行分析計算時所耗時間相差很大時，例如，在進行飛機機翼構型優化時，涉及空氣動力學分析、結構力學分析，前者分析所需時間通常要比后者高一個數量級，為減少總的優化時間，可應用異步子空間法（Asymmetric Subspace Optimization, ASO）[25]。為了減少高精度分析計算的次數，用基于低精度分析方法的優化模塊替換原分析計

ASO 算法屬于分布式 MDF 算法，有復雜的 MDA過程，相應的，需要進行系統靈敏度計算，可應用耦合優化后靈敏度方程來計算[26]，也可應用耦合伴隨方程[27]計算。飛機機翼的 MDO 應用研究表明，應用ASO 算法不僅大幅減少了空氣動力學分析計算的次數，甚至一定程度上還減少了結構分析計算的次數；2個學科分析計算耗時差距越大，總的分析計算次數減少越明顯，ASO 過程的分析次數也越接近 MDF 過程。也即是說，只有當 2 個學科分析計算時間相差很大時，ASO 算法才具有優勢。

3 結 語

本文對近年來 MDO 算法研究成果進行較為系統的歸納總結，對主要 MDO 算法，特別是一些新的、有特殊應用環境的 MDO 算法進行重點介紹，對其特點及性能特點進行了分析評述，可為 MDO 算法的工程應用研究及創新 MDO 算法發展提供支撐和導向。

MDO 算法研究已經取得了豐碩的成果，為工程應用提供了更多的選擇，但同時又帶來新的挑戰：即面對給定的 MDO 問題，選擇哪一種 MDO 算法，建模更快捷、優化效率更高、優化質量更好，也就是說，需要了解不同 MDO 算法對于特定問題的解決能力。然而，由于不同研究人員實現同一算法的方式、計算環境、測試算例存在差異，特別是研究人員對算法的熟悉程度或偏好不同，都容易引起評估結果出現偏差，甚至相互矛盾。為客觀起見，應盡可能在一套規范的方法和流程下，對不同 MDO 算法進行對比研究，從而準確把握不同 MDO 算法的應用要求和性能特點，這類似于船舶水動力性能試驗研究中的標?；鶞试囼炑芯?，本文稱之為“MDO 算法基準試驗研究”，國內外在該領域已開展了一些研究[28-32]，但在以下 2 個方面還需做進一步的深入研究：

1）基準測試算例簡單，不利于評估 MDO 算法在處理大規模工程問題時的性能。目前發展的基準測試算例大多為簡化后的工程設計模型，維度低、分析模型簡單、計算復雜度低，而實際工程系統設計變量、約束模型可能達到 103量級，一次學科分析可能需要花費幾小時甚至幾十小時，這些分析計算還可能是由不同的計算機采用不同的程序或軟件完成，而 MDO算法表現的性能又與問題規模密切相關[33]。因此，應進一步開展具有大工程系統特征的基準測試算例研究。

2）MDO 基準試驗研究針對的對象過于集中，不利于新算法的推廣應用。從發表的文獻來看，目前的MDO 基準試驗比較研究大多是針對 MDF，IDF，CO，CSSO 等少數幾種發展時間較長、已較成熟的算法，而對 ASO，MDOIS 等新算法的對比研究鳳毛麟角，不利于新算法的推廣應用。

另外，面向復雜大系統的 MDO 算法應用及新算法開發研究將是今后 MDO 算法研究的重要方向。當設計系統的規模大到一定程度時，MDO 算法建模的復雜性、收斂性、穩定性等性能可能發生根本性的改變，因此，今后的 MDO 算法研究應更緊密地結合實際工程大系統，而不是僅局限于一些數學算例或工程概念設計階段的簡單問題。

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Review of the multidisciplinary design optimization algorithm

YANG Lei, WEI Xi-zhong, ZHAO Feng, LI Sheng-zhong
(China Ship Scientific Research Center, Wuxi 214082, China)

With the development of the Multidisciplinary Design Optimization (MDO) technology, it will become the general trend of the optimization in the future. For a better use of MDO to solve ship design problem, this paper provided a survey and classification of the main MDO algorithms that have been present in recent literatures. A brief introduction was carried out for some developed MDO algorithms, but a more details of the application environment as well as performance features were present here for several developing ones. Finally, a discussion on the drawback and develop trend of MDO algorithm were performed, and several suggestions were given.

MDO；MDO algorithm；MDO algorithm classification

U662

A

1672 - 7619(2017)02 - 0001 - 05

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2017.02.001

2016 - 07 - 27；

2016 - 10 - 25

楊磊(1980 - )，男，博士研究生，研究方向為船舶性能多學科設計優化。