Parzen 窗估計在潛艇目標強度統計建模的應用

孫乃葳，李建辰，萬亞民

(1. 中國船舶重工集團公司第七O五研究所，陜西 西安 710075；2. 水下信息與控制重點實驗室，陜西 西安 710075)

摘 要: 研究潛艇目標強度的統計特性對水中兵器的仿真和試驗分析具有重要意義。本文針對直方圖統計模型的精度受區間劃分影響較大，提出將 Parzen 窗估計方法用于潛艇目標強度的統計建模，建立潛艇典型舷角下的目標強度分布模型，并對統計特性進行分析。對 Benchmark 潛艇模型進行仿真計算，結果表明，采用 Parzen 窗估計法建立的潛艇目標強度統計模型符合潛艇的物理結構特性，能夠更加準確和有效地對潛艇目標強度的統計特性進行預報。

Parzen 窗估計在潛艇目標強度統計建模的應用

孫乃葳1,2，李建辰1，萬亞民1

(1. 中國船舶重工集團公司第七O五研究所，陜西 西安 710075；2. 水下信息與控制重點實驗室，陜西 西安 710075)

摘 要: 研究潛艇目標強度的統計特性對水中兵器的仿真和試驗分析具有重要意義。本文針對直方圖統計模型的精度受區間劃分影響較大，提出將 Parzen 窗估計方法用于潛艇目標強度的統計建模，建立潛艇典型舷角下的目標強度分布模型，并對統計特性進行分析。對 Benchmark 潛艇模型進行仿真計算，結果表明，采用 Parzen 窗估計法建立的潛艇目標強度統計模型符合潛艇的物理結構特性，能夠更加準確和有效地對潛艇目標強度的統計特性進行預報。

目標強度；統計特性；直方圖；Parzen 窗估計

0 引 言

潛艇目標強度（TS）是水中兵器探測和目標隱身技術中的一個基本指標，反映了目標對聲波散射的總體情況[1]。由于潛艇目標的外形較復雜，在水中兵器跟蹤并攻擊潛艇過程中，受潛艇姿態變化等因素的影響，其散射特性呈現出隨機不規律的起伏，計算目標強度很難用嚴格的和復雜的公式來確切表達[2]。通常的實驗測量及理論計算，僅給出了目標強度的一個確定值，無法描述目標強度的隨機性和起伏性。這樣的模型在實際工程應用和實驗數據分析過程中，不僅不能反映目標強度的實際隨機情況，而且存在較大的誤差。因此，研究目標強度的統計特性對潛艇目標強度的預報更具有實際意義。

近年來，上海交通大學范軍教授團隊針對目標強度測量結果是隨方位角變化而快速起伏的隨機變量，也就是目標強度對方位角非常敏感的情況，將雷達散射面積（RCS）的概念延伸到水聲領域，提出了聲吶散射面積（SCS）的概念，借鑒雷達散射截面統計模型建立面向任意目標的聲吶散射截面起伏統計模型[3]。是國內首次在水聲領域對目標強度統計模型開展的研究，彌補了以往目標強度預報模型是確定性模型的不足，預報結果在一定程度上反映了目標強度的隨機性和起伏性，提高了模型在實際工程應用和實驗數據分析中的準確性。

本文采用板塊元法對潛艇目標強度進行快速預報，將潛艇目標強度等效成潛艇表面若干面元散射強度的疊加，進而獲得各個采樣角度下的潛艇目標強度，將得到的目標強度值作為統計建模的樣本。針對直方圖統計模型精度的受區間劃分和樣本數量影響較大的問題，本文采用 Parzen 窗估計法建立基于樣本值的統計模型，獲得了典型舷角下的目標強度分布估計曲線，并對潛艇目標強度的統計分布特性進行分析，仿真結果表明，采用 Parzen 窗估計法建立的潛艇目標強度統計模型比直方圖模型更加準確和有效。

1 理論基礎

1.1 目標強度板塊元計算

采用板塊元法計算目標強度時，將目標表面劃分為 G × H 個網格，得到一系列面元 Si,j，其中 i = 1，2，…，G，j = 1，2，…，H。將空間中的面元 Si,j轉化到 XOY 平面，則面元法線與 Z 軸重合，面元 Si,j的目標強度面積為 ISi,j。對所有面元的散射聲場求和得到目標散射聲場的近似值[4]。

用 UG 對潛艇目標進行三維幾何建模，利用有限元分析軟件 Ansys 對潛艇表面進行網格劃分。導出節點和網格信息后，可以采用板塊元法對目標強度進行計算，相關計算結果可作為統計分析的樣本值。

1.2 直方圖統計建模

統計分布密度估計是根據觀測數據而對其假定的概率函數進行估測。本文對目標強度采用直觀簡便的直方圖法進行密度估計。

直方圖是將整個數據空間劃分為格網單元，認為數據均勻分布的假設在每個單元內成立[5]。首先定義以下信息：一個樣本數據集 D；數據集 D 中所有數據項的數目 N；數據覆蓋范圍 C。

利用直方圖法對樣本數據進行統計分析時，通常步驟如下：

1）將樣本數據值覆蓋的數據區間 C 分成幾個等子區間。

2）對樣本集 D 內的 N 個樣本數據進行從小到大的排序，按照順序依次判斷樣本數據值落到這個相應的子區間，這個子區間的高度就相應的加一個單位的高度。

3）將各個子區間的高度進行歸一化，建立直方圖的概率統計模型。

采用以上方法，可以利用樣本數據構造出基于直方圖的概率密度函數。

1.3 Parzen 窗估計原理

直方圖估計的密度函數不平滑，且密度函數受子區間寬度影響很大。資料表明，核密度估計（Kernel density estimate）可有效解決該問題。核密度估計屬于一種非參數的估計方式：對某一已知的密度函數，在觀測點上平均化，以期得到一條光滑的估計曲線。

假設樣本數據值在 D 維空間服從一個未知的概率密度函數，則其在區域 R 內的概率為：

假設 N 個樣本數據點有 K 個落入了區域 R，那么就應該服從二項分布：

由概率知識可知，在樣本數 N 足夠大時，K ≈ N × P。其中，若假設區域 R 足夠小時，P ≈ p（x）× V，V為區域 R 的空間。將兩式結合可得：

根據該式來估算密度函數 p（x）有以下 2 種方法：

1）K 不變，通過決定區域 V 的大小來估算密度函數。

2）V 不變，通過決定 K 的大小來估算密度函數。

本文假定區域 R 不變，即 V 不變，可得估計的密度函數為[6]：

式中：V = hD；D 為數據維數；h 為區域 V 的超立方體的棱長，此處 k 取最優窗函數，其寬度為樣本數據范圍的 100 等分。本文選取正態分布窗函數作為最優窗函數，考慮均值為 0，方差為 1 的一位正態分布，則該窗函數的表達式如下：

該密度函數估計方法稱為 Parzen 窗估計法，該方法的實質是用正態分布窗函數代替樣本值來估計整體的概率密度分布，其原理如圖 3 所示。

2 建模與仿真計算

建立國際通用標準的 Benchmark 潛艇（以下簡稱潛艇）三維模型，艇長 62 m，艇身圍殼直徑 7.5 m。將潛艇表面劃三角形面元，面元尺寸為 Δ，設置仿真條件滿足 Δ/λ ≤ 0.533，其中 λ 為入射波波長，以控制計算結果在一定誤差范圍[7]。用板塊元法對 benchmark 潛艇 0°～180° 范圍內每隔 0.5° 的目標強度進行計算。圖 4 為潛艇的水平方位目標強度曲線。

由圖 4 可知，潛艇目標強度對水平方位角敏感，具有明顯的離散性且起伏劇烈；潛艇中部的平均目標強度值最大，在首部和尾部附近的平均目標強度較小，符合潛艇目標強度經典蝶形圖分布特征。針對各個舷角目標強度的起伏特性，下面首先采用直方圖法建立典型舷角下的目標強度分布模型。

2.1 典型舷角下的直方圖統計建模

考慮魚雷攻擊潛艇時主動聲吶的實際工作頻帶，以某頻率下 88°～92° 范圍的目標強度計算結果作為艇中部目標強度值，以 0.01° 間隔采樣計算，得到 401 組數據，在此基礎上建立概率密度直方圖的統計模型，其中 d（單位 dB）為直方圖區間劃分寬度，仿真結果如圖 5～圖 7 所示。

由圖可知，直方圖區間寬度的大小影響密度函數估計的性能。區間寬度為 4 時，得到的目標強度的密度函數估計不夠精確，區間寬度為 1 時，直方圖法得到的密度函數相對精確，也比較平滑。隨著區間寬度的減小，直方圖表示的模型會更加精確，但直方圖在某些地方可能會出現幅值變化不連續甚至概率密度函數為 0 的情況，不符合潛艇目標強度概率連續變化的分布特性。為此，下文采用 Parzen 窗估計法對潛艇目標強度進行建模研究，首先對 Parzen 窗估計法的有效性進行驗證。

2.2 Parzen窗估計法有效性驗證

下面對 Parzen 窗估計方法的有效性進行驗證。以正態分布為例，進行仿真，說明該方法的有效性。仿真條件設置如下，生成 1 000 個服從正態分布的隨機數，從中分別隨機抽取個數為 N = 20，100，500 的數作為樣本。分別采用頻率直方圖和 Paezrn 窗估計法對3 個不同樣本數的樣本建立概率密度分布模型，并與正態分布密度函數進行對比，仿真結果如圖 8～圖 10所示。

通過以上示例的仿真結果可知，當樣本數較小時，直方圖不能反映真實的密度分布特征，隨著樣本數的增加，頻率直方圖逐漸接近標準正態分布。但Parzen 窗估計法可在樣本數較小的時候較好地反映隨機抽取的樣本數據分布特征以及真實概率密度分布特征，并不受區間長度的影響。當樣本數趨于無窮大時，頻率直方圖法與 Parzen 窗估計法的結果與實際密度分布函數趨于一致[8]。

2.3 Parzen 窗估計法建模與計算

下面采用核密度估計方法，對樣本數據進行估計，在此基礎上對估計密度函數的統計規律和參數進行研究，給出其概率密度分布（PDF）和累積概率分布（CDF）。

分別建立區間寬度為 2 的直方圖分布模型和窗函數估計模型，如圖 11～圖 14 所示。

1）潛艇中部的平均目標強度最大，其次是 30° 舷角處的平均目標強度，均高于艇首和艇尾的平均目標強度，各個典型舷角下的目標強度分布具有連續性，仿真結果符合潛艇目標強度經典的蝶形圖分布規律。

2）潛艇在各個舷角的目標強度值均具有明顯的起伏且在不同入射角度下的目標強度的密度分布特征各不一樣，其中潛艇中部的目標強度分布較集中，首部和尾部目標強度分布范圍較分散，符合目標曲率半徑大小對目標強度變化的影響規律。

3）采用 Parzen 窗估計法建立的潛艇目標強度分布模型較平滑和連續，便于提取統計參數，可直觀有效地用于潛艇目標強度的統計分析。

3 結 語

本文應用板塊元法，通過合理的網格劃分計算得到各個典型舷角下潛艇目標強度的樣本值，采用 Parzen 窗估計法對目標強度密度函數進行估計，并對各典型舷角下的潛艇目標強度的統計分布特性進行分析。板塊元計算結果符合潛艇目標強度經典蝶形圖分布特征。仿真結果表明，對目標強度樣本值采用 Parzen 窗估計法建立的分布模型比直方圖法更加準確有效，可以更好地反映潛艇目標強度的統計分布特征。

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Application of parzen window estimation in submarine target strength statistics modeling

SUN Nai-wei1,2, LI Jian-chen1, WAN Ya-min1
(1. The 705 Research Institute of CSIC, Xi′an 710075, China; 2. Science and Technology on Underwater Information and Control Laboratory, Xi′an 710075, China)

The statistics characteristics research of submarine target strength (TS) have important value to the simulation and experiment analysis of underwater weapon. Aimed at the problem that histogram statistics model precision is quite affected by area partition, Parzen window estimation method is used for submarine TS statistics modeling in this paper. Submarine TS distribution model in typical bow bearing is built and the statistics characteristics is analyzed. Benchmark submarine is used for simulation, the simulation results show that submarine TS statistics model by Parzen window estimation measures up to submarine physical structure property and it can forecast submarine TS statistics characteristics more accurately and more effectively.

target strength；statistics characteristics；histogram；parzen window estimation

U674.941；TB566

A

1672 - 7619(2017)02 - 0132 - 05

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2017.02.026

2016 - 07 - 22；

2016 - 08 - 12

孫乃葳(1993 - )，男，碩士研究生，研究方向為水中兵器。