運動電荷在未定磁場區域中的最值問題分析

高翔

當僅知道運動電荷以確定的速度大小射入、射出有界勻強磁場時，磁偏轉的半徑容易確定，但是因為不確定運動電荷射人、射出有界勻強磁場的位置，也不知道磁場分布在什么范圍內，所以難以確定運動電荷發生磁偏轉的運動軌跡，自然也就無法確定運動軌跡對應的圓心角、所夾的弦、運動路程和運動的時間等物理量。

如何求解運動電荷進入未知分布范圍的勻強磁場的最值問題呢？其邏輯關系是依據射入和射出有界磁場的方向，通過弦的最值來確定射入和射出有界磁場的位置，并確定有界磁場的位置和分布的范圍，依據磁場邊界的限制來描繪運動電荷發生磁偏轉的運動軌跡，進而尋求運動軌跡對應的圓心角。下面就以運動電荷以確定的速度射入、射出未知分布區域和未定分布范圍磁場的最值問題為例，分析同學們在求解時遇到的認知及思維障礙，并提出合理的應對策略，希望對同學們的學習有所幫助。

如圖1所示，在勻強電場中建立直角坐標系Xoy，y軸豎直向上，一質量為m、電荷量為+q的微粒從x軸上的M點射出，方向與x軸間的夾角為θ，微粒恰能以速度u做勻速直線運動，重力加速度為g。

（1）求勻強電場的場強E。

（2）若疊加一圓形邊界的勻強磁場，使微粒能夠到達x軸上的N點，且M、N兩點關于原點o對稱，距離為L，微粒的運動軌跡關于y軸對稱。已知磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，求磁場區域的最小面積S，以及微粒從M點運動到N點所需的時間t。

認知及思維障礙分析：

1，清晰呈現微粒經歷的物理過程是分析問題的前提。微粒先經由重力場和勻強電場疊加的區域，進入疊加上勻強磁場的區域發生磁偏轉。依據運動狀態求出受力情況是求解電場強度的前提。判斷出電場力與重力是一對平衡力，就可以將粒子在三種場中的運動簡化為不計重力和電場力僅在洛倫茲力作用下的單一磁偏轉運動，其軌跡是圓。因此微粒經歷的物理過程為勻速直線運動一磁偏轉運動一勻速直線運動。

2，判斷勻強磁場的位置是確定勻強磁場分布范圍的前提。因為在磁偏轉前后微粒途經關于y軸對稱的M、N兩位置，所以依據射入和射出磁場的方向我們可以確定微粒的偏轉角為2θ，即微粒發生磁偏轉對應的圓心角α=2θ。進而可以解決微粒在有界磁場中發生磁偏轉所需的時間，而且能夠直觀地判斷出勻強磁場分布的范同是關于y軸對稱的。至此還不能確定圓形磁場圓心所在的位置。

4，澄清圓形邊界磁場的分布區域與微粒發生磁偏轉運動軌跡所在的圓是提高辨析能力的重要環節。補全微粒發生磁偏轉運動軌跡所在的圓，使它與圓形磁場的邊界圓相交，可以形成明晰的幾何關系，為進而解決其他問題提供幫助。

5，平移微粒發生磁偏轉運動軌跡所在圓的圓心，實現軌跡圓的滾動，通過與進出有界磁場速度作用線相切的圓即可確定微粒射人、射出圓形邊界磁場的位置，進而可以順利獲得圓形邊界磁場的最小分布范圍。