基于非均勻有理B樣條的壓電陶瓷非線性校正*

常 麗， 李慶斌， 黃格格， 修國一

(沈陽工業大學 信息科學與工程學院， 沈陽 110870)

基于非均勻有理B樣條的壓電陶瓷非線性校正*

常 麗， 李慶斌， 黃格格， 修國一

(沈陽工業大學 信息科學與工程學院， 沈陽 110870)

針對壓電陶瓷的非線性遲滯特性限制兩級進給式大行程精密定位系統定位精度提高的問題，利用非均勻有理B樣條(NURBS)快速插補算法對遲滯特性進行補償.在通過MATLAB軟件實現NURBS插補算法的過程中，將NURBS插補算法與線性插值算法進行仿真和比較.結果表明，NURBS插補算法的誤差明顯小于線性插值算法的誤差，驗證了利用NURBS插補算法解決壓電陶瓷非線性的正確性、可行性和實用性，解決了壓電陶瓷非線性遲滯特性曲線模型建立的問題，且在精密工作臺滿足速度要求的前提下可實現更高的定位精度.

壓電陶瓷；精密定位系統；遲滯特性；NURBS插補；弓高誤差；進給速度；誤差補償；定位精度

高精度和高速度的精密工作臺系統在近代尖端工業生產和科學研究領域內占有極為重要的地位，壓電陶瓷是高精度定位系統常用的部件.壓電陶瓷的相應位移和驅動電壓之間存在著非對稱遲滯特性，因此，壓電陶瓷的蠕變和環境溫度變化會造成其定位精度的漂移.

目前，在已有的超精密工作臺中仍然存在著某些缺陷，諸如定位精度受壓電陶瓷非對稱遲滯特性的影響嚴重，對環境的要求嚴格等.在精密平臺的關鍵技術中設備的高性能控制算法是提高其精度和速度的重要部分，尤其是各種插補算法最為關鍵.通過對多種插補算法進行研究比較，最后選擇了NURBS插補算法來解決壓電陶瓷的非對稱遲滯特性問題.

1 壓電陶瓷的非對稱遲滯特性

非線性遲滯存在于很多工業控制中，比如音圈電機和壓電陶瓷等材料都存在著嚴重的非線性遲滯，對系統控制提出了較高的要求.壓電陶瓷是一種具有壓電效應的材料，是一種能夠將機械能和電能互相轉換的功能材料.壓電效應是指某些介質在力的作用下產生形變，引起介質表面帶電，這是正壓電效應.反之，在激勵電場的作用下，所產生的機械變形叫做逆壓電效應[1-3].

大部分兩級進給式工作臺的精動工作端都采用壓電陶瓷作為驅動元件，而精動端是整個系統精度的保證，所以精動端在系統設計中占有很大的比重.圖1為精動端的系統框圖，精密絲杠的螺母作為宏動端的進給對象，壓電陶瓷固定在螺母上，精密絲杠帶動壓電陶瓷平臺運動，只要步進電機的定位精度小于在壓電陶瓷的最大行程，就可以很好地完成宏動工作臺的任務，將更加精密的定位任務交由精動端來完成.壓電陶瓷驅動電源通過輸入電壓控制壓電陶瓷完成進給工作.

圖1 精動端系統框圖Fig.1 System block diagram of fine dynamic side

壓電陶瓷具有體積小、推力大、響應快和穩定性能好等優點，但是在具有這些優點的同時，壓電陶瓷也有著非線性、遲滯和蠕變等缺點，其遲滯特性曲線如圖2所示.在壓電陶瓷建模方面，一般采用帶有非線性算子的模型來逼近壓電陶瓷的實際輸入輸出曲線.常用的模型有Preisach模型、Bouc-Wen模型、KP模型和PI模型等，而這幾種模型存在求逆復雜、建模的運算量大和對系統的控制要求高等問題[4-5].

圖2 壓電陶瓷的遲滯特性曲線Fig.2 Hysteresis characteristic curve of piezoelectric ceramic

本文采用數控系統中常用的NURBS插補算法，研究了利用該算法解決壓電陶瓷的非對稱遲滯特性問題.

2 NURBS插補與傳統插補算法對比

國內外學者已經對插補算法進行了大量的研究，插補算法也經歷了很多的演變過程，從最初的直線插補、圓弧插補、拋物線插補、樣條線插補直到現在的NURBS插補算法.傳統插補算法存在以下缺陷：

l) 傳統插補算法在擬合精度與生成數據之間存在著矛盾，逼近精度高則生成的數據量大，而減少數據量則會降低加工精度；

2) 在加工的工藝方面，將曲線離散成短直線，不僅破壞了零件輪廓曲線的一階導數連續性，影響了零件表面的光滑性，還會引起這些離散點處的數控加工進給速度不穩定，對加工過程和制造質量產生不良影響；

3) 在制造效率方面，采用大量的微小線段逼近零件的輪廓曲線，導致零件的加工速度難以達到編程要求的進給速度，線段越短，這種影響越明顯，因而降低了零件的生產效率，限制了數控加工效益的充分發揮.

非均勻有理B樣條(NURBS)曲線表達的通用性及應用的廣泛性，使得NURBS曲線插補成為國內外學者近年來研究的熱點[6-7]，NURBS被提出來的重要理由是為了找到一種與描述自由型曲線曲面的B樣條方法相統一、又能精確表示二次曲線曲面的數學方法[8].NURBS插補的優點是：由于需要的數據程序段較小，因而數據處理的速度大大加快；NURBS曲線控制參數較少，控制曲線連續且光滑，用于復雜曲線曲面加工時精度較高.本文利用NURBS算法的優點實現壓電陶瓷插補，可以有效抑制壓電陶瓷的非對稱遲滯特性.

3 NURBS插補的實現過程

3.1 NURBS曲線的定義

NURBS曲線是非均勻有理B樣條曲線的英文縮寫.根據基函數的不同表現形式，NURBS曲線有3種等價的表達式：有理分式表達式、有理基函數表達式和齊次坐標表達式[9-10].

有理分式表達式就是一條k次NURBS曲線，可以表示為一個分段有理多項式矢函數，即

(1)

式中：ωi為權或權因子，i=0，1，…，n，分別與控制頂點di相聯系，首末權因子ω0和ωn大于0，其余ωi≥0，且順序K個權因子不同時為零，以防止分母為零，保留凸包性質以及保證曲線不退化為一點；di為控制頂點，i=0，1，…，n，順序連接成控制多邊形；Ni，k(u)是由節點矢量U=[u0，u1，…，ui+k+1]按照德布爾考克斯遞推公式決定的k次規范B樣條基函數，其表達式為

(2)

其中，Ni，k(u)的雙下標中第二下標k表示次數，第一下標i表示序號.式(2)表明，欲確定第i個k次B樣條基函數Ni，k(u)，需要用到ui，ui+1，…，ui+k+1共K+2個節點，稱該區間[ui，ui+k+1]為Ni，k(u)的支承區間.Ni，k(u)的第一下標等于其支承區間左端節點的下標，即表示該B樣條在參數u軸上的位置.曲線方程中相應n+1個控制頂點di要用到n+1個k次B樣條基函數Ni，k(u)，每個基函數都是k次B樣條，它們的支承區間所含節點矢量的并集就是定義這一組B樣條基函數的節點矢量U=[u0，u1，…，ui+k+1].

k次規范B樣條基函數具有如下性質：

1) 遞推性：由上文所述的Ni，k(u)定義式可知；

3) 局部支承性質：k次NURBS曲線上參數為u∈[ui，ui+1]的一點p(u)至多與k+1個控制頂點di及相聯系的權因子有關，并且k次NURBS曲線的控制頂點與權因子僅僅影響相應支承區間上的部分曲線形狀，不影響曲線其他部分；

4) 可微性：在節點區間內部它是無限次可微的，在節點處它是k-r次可微的.

k次NURBS曲線的有理基函數表達式為

(3)

第三種表示形式就是齊次坐標表達式，所謂齊次坐標就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示，如向量(x1，x2，…，xn)的齊次坐標表示為(hx1，hx2，…，hxn，h)，其中h是一個實數.顯然，一個向量的齊次表示是不唯一的，齊次坐標中的h取不同的值均表示的是同一個點，比如齊次坐標[6，2，2]和[3，1，1]表示的都是二維點[3，1].對于一條三維NURBS曲線，齊次坐標表示法可分為以下步驟：

1) 根據控制頂點di以及相應的權因子ωi來確定帶權控制點Di；

2) 用帶權控制點Di(i=0，1，…，n)定義一條三維的k次非有理B樣條曲線；

3) 將它投影到ω=1超平面上，所得透視像即為xy平面上一條k次NURBS曲線.

3.2 NURBS快速插補的實現

NURBS曲線插補的目的是在數控機床的加工過程中控制加工刀具的運動量最小.插補前，要先根據已知控制頂點、權因子及節點矢量來確定NURBS曲線表達式，為方便計算還要推出NURBS曲線的矩陣表達形式，這一過程稱為插補預處理.

NURBS實時插補過程主要分為兩個步驟：

1) 參數密化過程，利用迭代算法遞推出插補參數值，實現從三維軌跡空間到一維參數空間的一一對應，完成了參數的密化.

2) 軌跡計算過程，將密化后的參變量回代到NURBS曲線方程中，得到新的參變量繼續插補.為了提高加工效率，在動態插補過程中還要考慮進給速度.不同的速度控制方案對插補速度和弓高誤差等都有影響.

4 NURBS曲線的MATLAB實現

4.1 實現流程

在NURBS曲線插補過程中，設置插補實時滿足條件參數遞推和NURBS曲線求導(一階、兩階)，判斷在插補中是否對常量進行預處理，從而實現插補，流程圖如圖3所示.

圖3 NURBS曲線的MATLAB流程Fig.3 MATLAB flow chart of NURBS curve

4.2 弓高誤差的補償

NURBS曲線插補的結果可依據弓高誤差來衡量，也就是說插補過程中，要使插補曲線與NURBS插補曲線的弓高誤差在規定范圍之內，以保證插補精度.

圓弧近似法得到的逼近誤差e與插補周期T、進給速度F以及曲線在逼近處的曲率半徑ρ的關系為

(4)

因為進給速度應隨弓高誤差和曲率半徑的變化自適應地調整，則有

(5)

式中，l=FT為步長.可見在插補過程中，如果插補周期一定，以恒定進給速度進行加工時，曲率半徑越小，引起的插補誤差就越大.而在實際系統中，一般通過對進給速度進行限制來保證逼近誤差在允許的范圍內.因為在高速度、高精度的加工機床上既要進給速度足夠大，又要保證插補誤差盡可能小，這就必須要考慮誤差控制策略.當弓高誤差在允許范圍內時，不斷調整進給速度從而達到最優運動狀態，保證速度與精度之間的平衡.

5 NURBS插補仿真

本文基于MATLAB平臺對壓電陶瓷的遲滯特性進行了NURBS插補算法的仿真，并和線性插值方法對比了插值效果.本文在遲滯曲線的升降壓過程中取一組有序的二維坐標點列作為型值點，節點矢量由均勻參數化法得到，隨機給定權因子，這樣可計算出控制頂點di，得到NURBS擬合曲線，以便進行插補.

NURBS插補過程的仿真參數分別為：進給速度F=300 mm/s，插補周期為0.001 s，最大弓高誤差hm=0.001 mm，最大進給加速度am=4 900 mm/s2，得出的NURBS插補仿真圖如圖4所示.將NURBS插補與線性插值算法進行比較，得到升壓過程插補誤差對比結果，如圖5所示.

圖4 MATLAB仿真圖Fig.4 MATLAB simulation diagram

圖5 插補誤差對比圖Fig.5 Comparison in interpolation error

由仿真結果可知，經過NURBS插值處理后，不僅可以準確得到壓電陶瓷非線性遲滯曲線的模型，還可以確定達到任一位移所需要的控制電壓.同時，經過與線性插值法進行對比，NURBS插值誤差明顯比線性插值誤差小，提高了基于壓電陶瓷的定位控制系統的精確度.

6 結 論

在大行程精密定位系統中，特別是納米級宏動與精動兩級定位系統中，精動端的組成主要是壓電陶瓷微位移進給器，而壓電陶瓷存在著非線性遲滯現象，控制系統并不能直接對其進行控制，所以要對壓電陶瓷進行建模，本文針對大行程精密定位系統的高速度和高精度的需要，研究了基于NURBS曲線插補方法對非線性遲滯現象的建模.通過對NURBS插補方法進行MATLAB仿真，表明了該插補算法可得到理想的遲滯曲線模型.經對比發現，NURBS插補方法比線性插值方法更精確，可實現對定位系統的高精度控制.

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(責任編輯：鐘 媛 英文審校：尹淑英)

Non-linear correction of piezoelectric ceramics based on non-uniform rational B-spline

CHANG Li,LI Qing-bin,HUANG Ge-ge,XIU Guo-yi

(School of Information Science and Engineering,Shenyang University of Technology,Shenyang 110870,China)

Aiming at the problem that the non-linear hysteresis characteristics of piezoelectric ceramics limit the increase in the positioning accuracy of two-stage large travel precision positioning system,the hysteretic characteristics were compensated with a non-uniform rational B-spline (NURBS) interpolation algorithm.In the process of realizing NURBS interpolation algorithm with MATLAB software,the NURBS interpolation algorithm and linear interpolation algorithm were used for the simulation and compared.The results show that the error of NURBS interpolation algorithm is obviously smaller than that of linear interpolation algorithm,which verifies the correctness,feasibility and practicability of NURBS interpolation algorithm for solving the non-linear problem of piezoelectric ceramics.In addition,the NURBS interpolation algorithm solves the establishment problem of the model for the non-linear hysteresis characteristic curves of piezoelectric ceramics,and the higher positioning accuracy can be realized under the premise that the accurate working table meets the requirement in the speed.

piezoelectric ceramic;accurate positioning system;hysteresis characteristic;NURBS interpolation;chord error;feed speed;error compensation;positioning accuracy

2014-05-08.

沈陽市科技局科研計劃項目(F16-205-1-11，F13-316-1-57).

常 麗(1971-)，女，遼寧沈陽人，副教授，博士，主要從事納米位移測量與控制、智能儀器及網絡化測控系統等方面的研究.

19 17∶56在中國知網優先數字出版.

http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170119.1756.014.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.02.12

TP 273.5

A

1000-1646(2017)02-0183-05