分數階偏微分方程在圖像處理中的應用

周尚波，王李平，尹學輝

(1.重慶大學 計算機學院，重慶 400030； 2.重慶郵電大學 軟件工程學院，重慶 400065)

(*通信作者電子郵箱shbzhou@cqu.edu.cn)

分數階偏微分方程在圖像處理中的應用

周尚波1*，王李平1，尹學輝2

(1.重慶大學 計算機學院，重慶 400030； 2.重慶郵電大學 軟件工程學院，重慶 400065)

(*通信作者電子郵箱shbzhou@cqu.edu.cn)

分數階偏微分方程在圖像處理中的應用已受到了廣泛的關注，尤其在圖像去噪和圖像超分辨率(SR)重建方面，目前的研究成果已顯示了分數階應用的優勢與效果。對分數階微積分在圖像處理中的作用進行了分析；介紹并討論了分數階偏微分方程在圖像去噪和圖像超分辨率重建中的相關理論與模型；通過仿真實驗表明，基于分數階偏微分方程的方法在去噪和減少階梯效應等方面比整數階偏微分方程更具有優勢；最后指出了未來的相關研究問題。

分數階偏微分方程；圖像去噪；超分辨率圖像重建

0 引言

圖像是人類獲取外界信息的重要通道，扮演著人類活動中的重要角色。然而，由于圖像在成像、采集、傳輸等處理過程中受各種因素的影響，往往會出現圖像內容的質量下降、細節特征被淹沒，從而視覺效果不佳等現象。為了提高圖像質量，在不同的應用場景需要對圖像進行不同的處理，有時需要對圖像進行降噪操作，有時需要對圖像進行超分辨率(Super Resolution, SR)重建。圖像去噪和圖像超分辨率重建是圖像理解、圖像識別的基礎工作，也是圖像理解后續工作的關鍵步驟。

目前圖像重建的方法大致分為四類：基于小波等理論的多尺度建模、基于稀疏表示的方法、基于概率統計學的隨機建模以及基于變分和偏微分方程的方法。其中，基于整數階的偏微分方程模型在圖像重建研究中取得了較好的研究成果[1-6]，此類方法中最為著名的是全變分(Total Variation, TV)正則化模型[7]，通過變分法得到Euler方程來求解泛函的極小值，在去除圖像噪聲的同時，較好地保留了圖像的邊緣信息。然而由于建模空間和函數空間的問題，處理后的圖像中容易產生“階梯效應”和部分紋理信息丟失的現象。為了緩解“階梯效應”，一些學者提出了高階的變分模型[8-14]，這些改進方法雖然能緩解“階梯效應”和保持圖像邊緣，但是會在處理后的圖像產生“斑點效應”。為了權衡“階梯效應”和“斑點效應”，Zhang等[15]提出了基于分數階的變分模型，用分數階梯度代替整數階梯度。

分數階微積分理論的建立距今已經有300多年的歷史，但直到20世紀后半葉，才受到工程領域技術人員的關注。目前分數階微積分仍沒有統一的定義形式，比較著名的有空域中的定義[16]形式：Riemamann-Liouville(R-L)定義、Caputo定義、Grunwald-Letnikov (G-L)定義和頻域中基于傅里葉變換的定義形式[17]。從信息論的角度看，分數階微分的物理意義可以理解為廣義的調幅調相，其振幅隨頻率呈分數階冪指數變化，相位是頻率的廣義Hilbert變換[18]。在圖像處理中，整數階的微分算子基本上只適合處理圖像中高頻變化的成分，不具有處理非連續邊界點且有低頻變化特性細節的能力。而圖像中豐富表面紋理細節屬于中低頻成分，整數階微分算子不能較好地處理。研究表明，當微分分數階v處在0

目前，國內外的一些學者基于分數階偏微分方程圖像處理技術在以下領域發表了一些研究成果：圖像去噪[21-25]、圖像增強[26-28]和超分辨率圖像重建[29-33]。雖然分數階偏微分方程在圖像處理領域已取得了一些研究成果，但分數階偏微分方程在圖像處理領域的應用研究還處于起步階段，很有必要作進一步深入研究和探索。

1 分數階偏微分方程在圖像處理中的應用

1.1 分數階偏微分方程概念

整數階偏微分方程是指微分方程中出現的未知函數只含有一個自變量，如果該微分方程中出現了多元函數的偏導數，或者說未知函數和幾個自變量相關，且方程中出現未知函數對應幾個自變量的導數的微分方程，例如下面的包含有未知函數及其偏導數的等式，即是偏微分方程：

分數階偏微分方程即是整數階偏微分方程的推廣，即偏微分方程中的偏導數為任意的正數。例如下面的方程即是分數階(階數v可為任意正數)偏微分方程：

偏微分方程的獲取一般有兩種方法：高斯平滑算子導出和變分方法導出。高斯平滑算子導出的偏微分方程的經典方程有Perona和Malik[34]提出的各向異性擴散模型(也稱PM模型)；從最優化問題出發，即由變分方法導出的偏微分方程的代表方程有Rudin等[7]提出的全變分(TV)正則化模型。當前基于偏微分方程的圖像處理模型主要分為兩類：一類是基于流體擴散理論的擴散方程的方法；另一類是基于變分法優化某個能量泛函的方法。

由高斯平滑算子導出的偏微分方程的過程相對簡單，高斯濾波導出熱傳導方程即是偏微分方程。而變分圖像重建方法需要通過引入能量函數，將圖像重建問題轉化成泛函求極值問題，主要步驟有：1)從物理問題上建立泛函及其約束條件；2)通過泛函變分，求得歐拉方程；3)引入時間變量，利用邊界條件建立解微分方程并求解之。

1.2 圖像去噪

雖然PM模型和TV模型在去噪的同時能較好地保留圖像的邊緣信息[35]，但是在處理后的圖像中會產生“階梯效應”。正是因為分數階微積分在圖像處理時表現出來的特性：能較好地處理圖像中的高、中和低頻成分，所以許多學者將分數階引入到了圖像處理的模型中，得到了較好的處理效果。

由于PM模型擴散函數存在病態性的不足，容易使處理后的圖像產生階梯效應，從而造成圖像質量下降，因此學者們對PM模型進行了許多改進。文獻[21-22,34-38]從減少重建后圖像中的“階梯效應”和保持圖像中的結構信息出發，利用分數階微積分能較好地處理圖像中非局部信息的特性[29]，提出了不同的分數階偏微分方程的圖像去噪模型。文獻[21]為解決基于傳統整數階偏微分方程的去噪模型中的“階梯效應”、“斑點效應”和紋理細節丟失等問題，采用分數階微積分和差分曲率的概念來描述圖像的強度變化。圖像的分數階導數信息可以很好地處理圖像中的紋理信息，在消除斑點效應和抑制階梯效應之間取得了較好的折中[11,17]。再者，為了有效地區分斜坡和邊緣，文獻[21]沿圖像的梯度方向和垂直于梯度的二階導數構造了差分曲率。該模型有效地消除了斑點效應和階梯效應，同時還更好地保留了圖像中的邊緣等紋理信息。

文獻[22]中提出了一種基于分數階各向異性擴散自適應p-Laplace方程的圖像去噪模型，取得了良好的去噪性能。該方法引入了分數階的擴散因子，以實現由分數階梯度和分數階等照度線的曲率共同自適應地控制能量優化。通過引入p因子，構造分數階能量泛函

經變分法變換，利用伴隨算子的概念，可以得到其對應的歐拉方程：

EL(u,p)

這里需要特別強調的是，在變分法的應用上，與整數階的分部積分不同，在對于分數階問題經變分法變換后，需要利用伴隨算子的概念導出歐拉方程，因而伴隨算子的求解是一個關鍵的問題。

以上自適應p-Laplace模型之所以能較好地減少階梯效應和保持圖像結構，主要具有以下幾點特性[38]：

1)當p固定時，分數階曲率與分數階梯度成正比。①當分數階曲率趨于零時，即等照度線接近直線時，或分數階梯度趨于無窮大時，分數階擴散因子p趨近1，這時僅沿邊緣方向擴散，而在梯度方向不擴散；②當分數階曲率趨近無窮大時，分數階擴散因子p趨近于2，這時沿等照度線方向和梯度方向的擴散率相同。

2)當等照度線的分數階曲率相等而分數階梯度不等時，等照度線的分數階曲率為定值。越靠近圖像邊緣區域，分數階的梯度也就越大，分數階擴散因子就越小；反過來，越靠近圖像平坦區域，分數階的梯度也就越大，分數階擴散因子就越小。

3)當分數階梯度相等而等照度線的分數階曲率不等時，分數階梯度為定值。等照度線的分數階曲率越大，分數階擴散因子就越大；反過來，等照度線的分數階曲率越小，分數階擴散因子就越小。

針對紋理細節等問題，由于圖像中的局部結構復雜多樣，僅僅以圖像的梯度來刻畫或者描述圖像特征，是遠遠不夠的。因為圖像中的角點、紋理等信息，梯度往往不能有效地刻畫。文獻[39-46]將結構張量(StructureTensor,ST)引入到了圖像處理中，在圖像處理和計算機視覺領域作出了突出貢獻。具有矩陣形式的結構張量，其特征值表示設定窗口內灰度的變化情況，通過其特征值的某種特定表達方式，結構張量能區分圖像中不同的區域特征，如紋理、邊緣、角點和T型結構等。根據電報擴散方程與圖像結構密切相關的特性[47]，文獻[38]將結構張量和分數階微積分結合起來，并引入到電報擴散方程中，提出了基于一種分數階結構張量的分數階電報擴散方程圖像結構保持的去噪模型。基于分數階結構張量的分數階電報擴散方程圖像去噪模型為：

此處Sρ即為引入的加窗后的分數階結構張量。分數階結構張量Sv有兩個非負特征值μ1和μ2,它們對應的相互正交的特征向量命名為ν1和ν2。假設μ2≥μ1≥0,則Sv的特征向量ν1表明了局部結構的主導方向，ν2則垂直于圖像的邊緣，而特征值表明了對應特征向量所指方向上的灰度對比度。二維圖像的連貫性度量由(μ1-μ2)2表征，角點度量用μ1(μ2-μ1)/μ2表示，結構張量的跡能表征該點的張量度量γ,且張量度量與分數階梯度度量之間有較強的對應關系：γ=trace(Sv)=μ1+μ2。圖像的角點一般是連貫性不強的點，即具有大梯度幅值特性或張量度量比較大的點。

1)當μ1≈μ2≈0時，表示此圖像在該點附近沿任意方向的灰度值變化都比較小，也即圖像平坦區域的特征，其張量度量γ=μ1+μ2和連貫性(μ1-μ2)2都很小；2)當μ2?μ1≈0時，此時的圖像沿某一方向的變化率遠大于垂直于此方向上的變化率，表明在此局部的灰度值呈現出較強的方向連貫性，具有較大的張量度量和較大的方向連貫性；3)當μ2≈μ1?0時，表示圖像在兩個互相垂直的方向上的灰度值變化都比較大，這時圖像存在拐點或棱角，即張量度量大。可見基于分數階結構張量的電報擴散模型能較好地處理圖像的局部結構特征。

目前諸多文獻中提出的模型是處理灰度圖像的，針對彩色圖像也有研究成果。文獻[48]提出了基于分數階偏微分方程的彩色圖像去噪算法。作者首先采用四元數矩陣表示彩色圖像，在進行圖像處理操作時將彩色圖像視為一個統一的整體，以避免RGB三通道分開處理時產生的失真；然后采用分數階微分算子可以有效地抑制階梯效應或孤立點，還可以大幅提升邊緣和紋理細節等信息。

1.3 超分辨率重建

圖像超分辨率重建是指利用計算機技術將具有低分辨率(LowResolution,LR)的一幅圖像或者圖像序列進行處理，恢復出高分辨率圖像(HighResolution,HR)的過程。常規的線性插值放大法通常在放大后的圖像中產生“塊效應”或“鋸齒狀效應”，影響視覺和圖像識別。這是因為圖像的幾何特性(梯度、曲率、張量等)沒有得到較好的擬合。將偏微分方程引入到圖像超分辨率重建中，是因為圖像的幾何特性對偏微分方程起到了重要的驅動作用。基于偏微分方程的圖像超分辨率重建過程一般分為兩個步驟： 1)對低分辨率圖像進行線性插值放大操作； 2)利用偏微分方程對放大后的圖像進行校正，從而達到去除“階梯效應”或“塊效應”等現象。圖像去噪的許多模型可用于超分辨率重建，但超分辨率重建有其著重考慮的問題。

“塊效應”是超分辨率重建中需要解決的主要問題之一。為了減少或者降低放大后圖像中的“塊效應”，文獻[29, 49]提出了分數階總變分的圖像超分辨率重建模型。該重建模型包含了三個部分：整數階的總變分項、分數階的總變分項和數據保真項。整數階的總變分項具有保持不連續性和圖像結構，分數階的總變分項可以很好地處理圖像中的紋理等非局部信息。該方法在一定程度上減少了圖像中的“階梯邊緣”和假邊緣現象。能量泛函最終由下面的偏微分方程來求解：

模型右邊依次為分數階的總變分項、整數階的總變分項和數據保真項。

Wang等[33]從研究如何減少重建圖像中的階梯效應及偏微分方程的快速收斂出發，提出了基于同倫正則化的分數階偏微分方程的圖像放大模型對應的偏微分方程：

細節信息的保留也是超分辨率重建需要考慮的問題。Chen等[30]為了克服傳統TV模型不能保持細節和紋理信息的不足并重建這些細節信息，提出了二維壓縮感知稀疏圖像重建模型。該模型引入了分數階TV正則項，此外，為了實現彈性的稀疏表示，將離散小波變換和曲線波變換正則項相結合而引入到代價函數中，并提出了估計正則參數的方法。文獻[31]從如何增強圖像中的隨機紋理信息出發，提出了基于分數階布朗運動的偏微分方程的超分辨率圖像重建模型。這是一個基于全局的、且不需要使用圖像修補程序的模型。分數階布朗運動是自相似的隨機過程，而自相似可以顯著地表征自然紋理信息，所以文獻[31]中提出的模型在放大圖像的同時可以有效地增強圖像中的紋理信息。

本節主要討論了基于分數階偏微分方程的圖像去噪與超分辨率重建模型。當模型建立之后，就是如何求解偏微分方程。目前分數階偏微分方程的求解方法大概有以下幾種：有限差分法[51-54]、隱式差分法[55]、加權平均有限差分法[56]、Adomain分解法[57]等。在構造差分離散算法時，需要考慮時間步長，以確保算法的求解精度與收斂性。此外，基于分數階的偏微分方程的解的存在性和唯一性的證明和討論，不是本文的重點，詳細討論可參考文獻[22,29,58-61]。

2 仿真實驗

針對前面介紹的去噪算法和圖像超分辨率重建算法，下面將通過幾組實驗來比較基于分數階的算法和基于整數階的算法的實驗結果。在仿真去噪算法時，使用的客觀評價標準是峰值信噪比(PeakSignal-to-NoiseRatio,PSNR)，值越大，說明效果越好；在仿真圖像超分辨率重建時，使用的評價標準為結構相似性(StructuralSimilarityIndex,SSIM)，同樣是值越大，圖像的相似度越高，效果越好。

1)使用1.2節中介紹的分數階p-laplace和分數階張量去噪算法與參考文獻[17,22,31,38,59-61]中的算法進行比較。在圖像Barbara、Linfa、Baboon和Elaine四張圖像中分別添加噪聲標準差為10、20、30的高斯白噪聲進行實驗，計算去噪后的圖像和原始圖像之間的PSNR值，實驗結果表1所示。表1中后三個算法是基于分數階的去噪算法，可以明顯看到，它們計算得到的PSNR值比其他基于整數階的去噪算法計算得到的PSNR值大，說明基于分數階的去噪算法相比其他幾個基于整數階的去噪算法在去噪效能上更具優勢。

表1 各算法在去噪后計算的PSNR值 dB

2)在圖像超分辨率重建的仿真實驗中，先將圖像縮小為原始圖像大小的1/3，然后采用1.3節中介紹的基于分數階的圖像超分辨率重建的算法[29,33]與最近鄰插值(NearestNeighborInterpolation,NNI)算法、全變分(TV)算法[66]、分數階的Bidirectional(FractionalBidirectional,FB)算法[49]和基于邊緣先驗(EdgePrior,EP)的算法[65]對縮小后的低分辨率圖像進行放大，計算放大后的圖像與原始圖像之間的SSIM值。分別對Parrot、Girl、Fingerprint、Tree、Leaves、Elaine、Lena、Peppers這8張圖像放大3倍時計算的結構相似性的值，如表2所示。從表2可以看出，在放大相同倍數時，文獻[29]和[33]中的基于分數階的圖像超分辨率重建算法比實驗中的其他算法計算得到的SSIM值要大，也即這兩種算法重建后的圖像與真實圖像相似度更高。

表2 各算法在放大后計算的SSIM值

3 存在的問題及發展方向

3.1 當前模型存在的問題與不足

雖然分數階偏微分方程在圖像處理領域取得了初步成果，但相對來說仍處于初級階段，存在不少的問題。

1)目前基于分數階的偏微分方程的去噪模型中，大多都是針對圖像中的高斯白噪聲進行研究的，針對乘性噪聲的研究較少；再者，針對灰度圖像的算法較多，雖然也有少數可以處理彩色圖像的模型，但是也是將彩色圖像的各個通道分開單獨處理，沒有一個完善的直接同時處理三通道的算法。

2)在對分數階微積分的數值實現上，目前主要是基于模板和傅里葉變換兩種方式。基于模板的方式是一種近似計算，在計算時肯定會有誤差；基于傅里葉變換的方式在計算時為了避免出現復數成分，會對原始圖像進行周期延拓，從而增加了計算量。找到一種在計算時既能不會產生誤差，又不增加計算量的通用實現算法是需要更進一步研究的內容。

3)變分模型中正則化參數的選擇有些是針對全局特征的，有些是針對局部特征的。事實上這些方案只針對部分特征自適應，并不完美，針對圖像的不同特征區域自適應選取不同的正則化參數，這是以后研究的主要內容之一。

4)目前基于分數階的偏微分方程大多是基于圖像去噪和超分辨率圖像重建提出的，事實上很多后期的圖像處理都利用了圖像降噪和放大模型的理論和算法，因此將分數階偏微分方程進一步推廣用到圖像分割、圖像融合和圖像修復等領域，有很好的應用前景。

3.2 下一步的研究方向

由于存在如上分析的問題，且分數階偏微分方程與小波理論、黎曼流形等數學概念的結合還存在較大的研究空間，因此需要進一步深入研究。

1)新算子的構造。目前文獻中提出的模型分別是針對圖像的不同局部結構特征保持的模型，事實上，可以引入一種通用的圖像結構描述算子，以更全面完整地刻畫圖像局部特征信息，這種通用的圖像結構描述算子包含多種圖像線索，諸如圖像灰度值，一階、二階以及分數階圖像梯度，分數階結構張量、紋理信息，曲率(包括高斯曲率、平均曲率和差分曲率)等，使用逐像素的協方差矩陣來描述圖像局部區域內多個圖像線索的相關性，形成黎曼流形上的模型框架，具有較大的研究前景。

2)算子融合。小波等多尺度分析、隨機分析、非局部算子、稀疏表示等在圖像處理的方面都有各自的非凡優越性，將它們各自的優勢與分數階偏微分方程理論結合起來，建立相應理論體系，不僅在圖像去噪方面具有廣闊的前景，而且還能開拓出若干新的研究領域，如圖像壓縮、圖像融合、圖像分割等，也是進行后續研究的重點。

3)階數的選取。對于一般或特定的圖像，如何選擇階數才能使模型的整體性能或局部效果達到最優，包括階數的自適應選擇，甚至推廣到復數階的情形。這是整數階不存在的問題，但卻是分數階能靈活應用的一個優勢。

4)模型融合。各種模型均具有一定的優勢，比如對于圖像超分辨率重建問題，有些模型或算法能夠很好地處理紋理細節問題，有些則可以很好地消除階梯效應，如何將這些模型進行融合，得到整體性能比較良好的新模型，是一個值得研究的問題，其中包括中立型模型應用。

5)模型的近似求解與收斂性。對于分數階模型，由于分數階沒有統一的定義，但所有定義均為廣義積分的形式，因而求其數值會存在量化上的誤差；對于穩定的微分方程，其數值解的模型不一定穩定，如果求解算法不穩定或不收斂，則就會產生諸如算法到底要迭代多少次為最好等問題。因而如何構造有效的數值算法也是值得研究的課題。

6)頻域模型。將分數階微分模型變換到頻域上進行處理，這方面的研究還不多見。

4 結語

分數階偏微分方程在圖像處理領域已經取得了初步研究成果，主要集中在研究圖像去噪和圖像超分辨率重建領域。本文介紹了分數階微積分和圖像特征之間的關系：分數階微積分可以有效地保留甚低頻信號，中頻信號有所增強，高頻信號明顯增強。進而分析了分數階偏微分方程在圖像去噪和圖像超分辨率重建中的作用，重點分析了一些模型，并討論了分數階偏微分方程解的存在唯一性、穩定性及數值解問題，最后指出了目前模型存在的優缺點，并對應用前景進行了討論與分析。

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ThisworkispartiallysupportedbytheMajorProjectofFundamentalScienceandFrontierTechnologyResearchofChongqingCSTC(cstc2015jcyjBX0124).

ZHOU Shangbo, born in 1963, Ph.D., professor.His research interests include video and image processing, artificial neural network, nonlinear dynamics.

WANG Liping, born in 1981, Ph.D.candidate.His research interests include partial differential equation, nonlinear dynamics, pattern recognition, image restoration.

YIN Xuehui, born in 1986, Ph.D., lecturer.His research interests include partial differential equations for image processing, nonlinear dynamics.

Applications of fractional partial differential equations in image processing

ZHOU Shangbo1*, WANG Liping1, YIN Xuehui2

(1.CollegeofComputerScience,ChongqingUniversity,Chongqing400030,China;2.SchoolofSoftwareEngineering,ChongqingUniversityofPostsandTelecommunications,Chongqing400065,China)

It has been widely concerned to apply fractional partial differential equations in image processing, especially in the image denoising and image Super Resolution (SR) reconstruction.The current research results have shown the advantages and effects of fractional order applications.The theory and model of fractional partial differential equations in image denoising and image super-resolution reconstruction were introduced and discussed.The simulation results show that the methods based on fractional partial differential equations has more advantages than the methods based on integer order partial differential equations in terms of denoising and reducing the staircase effect.Finally, the related research problems were pointed out.

fractional partial differential equation; image denoising; super-resolution image reconstruction

2016- 08- 17;

2016- 09- 26。 基金項目:重慶市基礎科學與前沿技術研究(重點)項目(cstc2015jcyjBX0124)。

周尚波(1963—),男,廣西寧明人,教授,博士生導師,博士,主要研究方向:視頻與圖像處理、人工神經網絡、非線性動力學; 王李平(1981—),男,河南新鄉人,博士研究生,主要研究方向:分數階偏微分方程、非線性動力學、模式識別、圖像重構; 尹學輝(1986—),男,四川廣安人,講師,博士,主要研究方向:分數階微積分在圖像中的應用、非線性動力學。

1001- 9081(2017)02- 0546- 07

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.02.0546

TP911.73

A