求解曲線箱梁空間振動特性的Cayley-Hamilton傳遞矩陣法

閆仙麗, 李青寧

(1.山西大學 土木工程系，太原 030013； 2.西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055)

求解曲線箱梁空間振動特性的Cayley-Hamilton傳遞矩陣法

閆仙麗1, 李青寧2

(1.山西大學 土木工程系，太原 030013； 2.西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055)

將傳遞矩陣法與Cayley-Hamilton定理相結合，以微分方程和矩陣分析理論為基礎，提出了一種新的Cayley-Hamilton傳遞矩陣法。應用該方法，考慮曲線箱梁橋的空間彎曲、剪切、扭轉、拉壓、翹曲及其相互間的耦合作用，推導了曲線箱梁橋離散模型的振動空間傳遞矩陣。以某單跨簡支曲線箱梁橋為例，采用所推導矩陣，對其進行計算機編程運算，得到該橋梁的自振頻率與振型，并與有限元法計算結果相比較，二者吻合良好，表明本文方法有效。

橋梁工程；振動特性；Cayley-Hamilton傳遞矩陣法；曲線箱梁

曲線箱梁橋的特點在于：一方面曲線梁在只有豎向荷載作用下，也會發生彎扭耦合；另一方面，箱梁相對于普通截面梁而言，易發生扭轉、翹曲、畸變及剪力滯后等現象。“曲線+箱梁”讓曲線箱梁橋變成更復雜的空間受力體系。盡管有很多學者針對曲線箱梁做了大量的研究[1-12]，但這些研究大多只考慮曲線梁或箱梁，或曲線箱梁的部分受力因素，而且集中于靜力分析，動力分析相對較少，相應的分析理論還不夠完善[13]。

目前，曲線箱梁橋的動力分析方法主要是有限元法[14-18]。有限元法有以下缺點：① 結構總體動力學方程涉及的矩陣階次高，且隨著系統自由度的增加而增高，而結構自由度的數量將直接影響計算精度；② 推導結構總體動力學方程困難，且結構發生改變時，系統總體動力學方程也需重新建立，這為動力學問題的求解帶來不便。而傳遞矩陣法很好地彌補了上述缺點，該方法涉及的矩陣階次低，僅取決于系統內元件的最高階次，且只需矩陣連乘就可建立系統總體動力學方程[19]。傳遞矩陣法的關鍵在于求解元件的傳遞矩陣，對于簡單元件，一般可由運動微分方程經過簡單代換和改寫動力學方程導出。但對于復雜元件，需要用偏微分方程描述其動力學方程，求解傳遞矩陣變得非常困難，一般需要將其轉化為n階微分方程或n個一階微分方程進行求解。而Cayley-Hamilton定理可以很好地求解n個一階微分方程[20-21]，因此本文將Cayley-Hamilton定理與傳遞矩陣法相結合，提出Cayley-Hamilton傳遞矩陣法，并將其應用于求解曲線箱梁橋的振動特性。

1 曲線箱梁橋振動特性的計算模型與求解

如圖1所示曲線箱梁橋，將其等效為無質量曲線箱梁段與集中質量的組合系統。系統中元件個數為n，依次對元件進行編號，左端邊界為0，右端邊界為n+1。

圖1 曲線箱梁橋振動特性計算模型

Fig.1 Vibration characteristics calculation model of the curved box bridge

考慮曲線箱梁橋的空間受力，選取各元件的狀態向量均為

式中：N,T為曲線箱梁x方向的軸力和扭矩;Vy,My為y方向的剪力和彎矩;Vz,Mz為z方向的剪力和彎矩;B為雙力矩；ux,uy,uz分別為x,y,z方向的線位移;φx,φy,φz分別為繞x,y,z軸的角位移，?為翹曲角。用Si,j表示聯接點的狀態向量，其中i，j表示聯接點處相鄰元件的序號，則各元件間的傳遞方程為

(1)

系統總傳遞方程為

(2)

式中：T1,T3,T5…為無質量曲線箱梁的傳遞矩陣；T2,T4,T6…為集中質量的傳遞矩陣；T為總傳遞矩陣，

傳遞系數ti,j的下標“i，j”表示它位于第i行j列，其物理意義為元件一端第j個狀態向量發生單位變形(力)時，所引起的元件另一端的第i個變形(力)。

將邊界條件

代入式(2)得

(3)

式中：07表示7行零列陣。

由式(3)，得齊次方程：

(4)

解式(4)，得到系統特征方程為

(5)

求解式(5)，可得到7個固有頻率ωk，對一個固有頻率ωk，求解總傳遞方程，得到曲線箱梁橋邊界點的狀態向量，利用每個元件的傳遞矩陣和傳遞方程可得到系統的全部狀態向量，進而得到系統振型。

1.1 無質量曲線箱梁的振動傳遞矩陣

選取圖2所示計算坐標系：以截面形心C為原點，截面形心連線為x軸，截面徑向形心主軸為y軸，截面豎向形心主軸為z軸。R為半徑，α為曲線箱梁的中心角，規定順時針方向為曲率正方向。

圖2 曲線箱梁計算模型簡圖

根據平衡條件得到無質量曲線箱梁的自由振動方程為[22-23]

(6)

由曲線箱梁應變和位移之間的關系有：

(7)

式中：εx為軸向應變；?為翹曲角；νy,νz為考慮水平剪切變形后，水平向和豎向剪切轉角；kx,ky,kz分別為Mx,My,Mz引起的梁段繞x軸的扭曲率，繞y軸的曲率，繞z軸的扭曲率。

根據材料力學，得到曲線箱梁力和位移的關系為

(8)

對式(6)～(8)進行整理計算，并寫成傳遞矩陣的形式為

(9)

其中：B為14×14矩陣，其非零元素為

t5,3=t7,4=-t6,2=-1,t6,2=t9,13=t10,12=t11,14=1

式(9)的通解為

(10)

式中：S0為初始狀態向量;T(x)=eBx為傳遞矩陣。將T(x)=eBx表示為無窮級數有

(11)

根據Cayley-Hamilton原理對其進行計算。

設B的特征多項式為

(12)

由Cayley-Hamilton原理有

(13)

因此，Bn、Bn+1、…均可用Bn-1、Bn-2、…、I線性表示，所以

T(x)=eBx=C0I+C1B+C2B2+…+Cn-1Bn-1

(14)

式中，C0,C1,C2,…,Cn-1為待定系數。

如果φ(b)=0所對應的根均為單根，特征值bi對應的特征向量為vi，則由

Bmvi=bmvi,

(C0I+C1B+C2B2+…+Cn-1Bn-1)vi

(15)

得

所以特征值bi滿足

(16)

由此n個方程解出未知數C0,C1,C2,…,Cn-1，然后代入式(14)求得無質量曲線箱梁的傳遞矩陣。

1.2 集中質量的振動傳遞矩陣

集中質量在自由振動下的位移為

對其二次求導得：

(17)

對于空間振動集中質量m，由平衡條件有

(18)

由集中質量輸入端和輸出端的幾何關系有：

(19)

定義空間振動集中質量的的狀態向量為

整合式(17)～(19)得

(20)

式中：T為14×14矩陣，即集中質量自由振動狀態的傳遞矩陣，其非零元素為

1.3 計算步驟

用上述方法求解曲線橋空間振動特性的計算流程如圖3所示。

圖3 曲線箱梁橋空間振動特性的求解流程圖

Fig.3 The flow chart to calculate the vibration characteristics of space curved box bridge

2 計算實例

某單跨均質簡支曲線箱梁橋，橋長40 m，橋寬8 m，曲率半徑為R=70 m。全橋截面形式為等截面單箱單室截面，計算簡圖及主梁截面如圖4所示。

圖4 曲線箱梁橋計算簡圖及截面尺寸(m)

Fig.4 Calculation diagram and the section dimensions of the curved box bridge (m)

采用文中所推導的曲線箱梁橋的振動特性傳遞矩陣，對橋梁算例進行計算機編程運算，得到該橋梁的自振頻率，并將其與有限元法(將全橋劃分為40個梁單元，選用midas civil軟件計算所得)計算結果相比較，結果如表1。

表1 曲線箱梁橋的前8階自振頻率

根據自振頻率求得各階振型，見圖5所示(圖中，x軸代表橋長)。其中第1,3,6,8振型為豎向振型，第4振型為水平橫向振型，第2,5,7振型為繞水平橫向的彎曲振型。

對比表1及圖5得到，Cayley-Hamilton傳遞矩陣法的計算結果與有限單元法的計算結果非常接近，最大誤差僅為0.55%，可見本文Cayley-Hamilton傳遞矩陣法有效。此外，由圖5(d)可以看出第四振型為橋梁橫向振動，且幅度較大，這是由于曲線橋一端設置鏈桿支承，不能在橫向給予足夠約束導致，因此對于曲線橋梁的支承一般需設置點鉸支承或者抗扭支承。

(a)第一振型

(b)第二振型

(c)第三振型

(d)第四振型

(e)第五振型

(f)第六振型

(g)第七振型

(h)第八振型

3 結 論

通過算例分析可看出，Cayley-Hamilton傳遞矩陣法和空間有限元法計算得到的曲線箱梁梁橋的頻率和振型基本一致，可見Cayley-Hamilton傳遞矩陣法有效。

由上述曲線箱梁橋的計算步驟及元件傳遞矩陣的推導過程可看出，Cayley-Hamilton傳遞矩陣法是一種顯式精確解析法，計算精度高。該方法為復雜元件傳遞矩陣的求解提供了一種新思路，可用于求解經代換得到n個一階微分方程的元件的動力傳遞矩陣的求解。

Cayley-Hamilton傳遞矩陣法可用于離散結構體系，連續結構體系及離散、均質相混合的復雜結構體系；并可以推廣應用于結構在地震荷載及風荷載等外力作用下的動力反應分析。此外，由于傳遞矩陣與剛度矩陣可相互轉化，從而為用有限元法與傳遞矩陣法求解復雜體系動力學問題提供了新的思路。

[1] 張志新. 高墩曲線連續剛構箱梁橋空間行為研究[D].西安：長安大學, 2010.

[2] MOHSENI I, RASHID A K A, KANG J. A simplified method to estimate the fundamental frequency of skew continuous multicell box-girder bridges[J]. Latin American Journal of Solids & Structures, 2014, 11(4):649-658.

[3] YE T, JIN G, YE X, et al. A series solution for the vibrations of composite laminated deep curved beams with general boundaries[J]. Composite Structures, 2015, 127:450-465.

[4] ZIANE N, MEFTAH S A, BELHADJ H A, et al. Free vibration analysis of thin and thick-walled FGM box beams[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2013, 66(2):273-282.

[5] BENEDETTINI F, DILENA M, MORASSI A. Vibration analysis and structural identification of a curved multi-span viaduct[J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 2015, 54/55:84-107.

[6] HE X, NODA Y, HAYASHIKAWA T, et al. An analytical approach to coupled vibration of curved rationalized girder bridges and running vehicles[J]. Procedia Engineering, 2011, 14:2906-2915.

[7] 劉鐵林, 趙陽, 吳金國. 面內變形曲梁的顯式單元剛度矩陣[J]. 沈陽建筑大學學報 (自然科學版), 2013, 29(6):983-988.

LIU Tielin, ZHAO Yang, WU Jinguo. Explicit element stiffness matrix for curved beam with in-plane deformation[J]. Journal of Shenyang Jianzhu University (Natural Science), 2013, 29(6):983-988.

[8] 楊允表. 曲線箱梁考慮曲率及剪力滯影響的力學分析[J]. 土木工程學報, 1999, 32(1): 43-49.

YANG Yunbiao. Mechanical analysis of curved box beam including the effect of curvature and shear-lag[J]. China Civil Engineering Journal, 1999, 32(1): 43-49.

[9] 韋成龍, 曾慶元. 薄壁曲線箱梁考慮翹曲, 畸變和剪滯效應的空間分析[J]. 土木工程學報, 2000, 33(6): 81-87.

WEI Chenglong, ZENG Qingyuan. A new element for thin-walled curved box girder analysis including warping distortion and shear-lag effects[J]. China Civil Engineering Journal, 2000, 33(6): 81-87.

[10] 任茶仙, 竺潤祥. 連續曲線箱梁預應力效應分析[J]. 工程力學, 2000, 17(4): 138-144.

REN Chaxian, ZHU Runxiang. Analysis of prestressing effect for curved continuous box girders[J]. Engineering Mechanics, 2000, 17(4): 138-144.

[11] 段海娟, 張其林. 鋼筋混凝土曲線箱梁非線性分析的有限元法[J]. 同濟大學學報(自然科學版), 2003,31(3): 282-286.

DUAN Haijuan, ZHANG Qilin. Finite segment element method for nonlinear analysis of reinforced concrete curved box girder[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2003, 31(3): 282-286.

[12] 謝旭, 黃劍源. 曲線箱梁橋結構分析的一種有限元計算方法[J]. 土木工程學報, 2005, 38(2): 75-80.

XIE Xu, HUANG Jianyuan. A finite element method for analysis of curved box girder bridge structures[J]. China Civil Engineering Journal, 2005, 38(2): 75-80.

[13] 魏雙科. 曲線梁橋的固有振動特性及地震反應分析[D]. 南京: 南京工業大學, 2006.

[14] 張翠. 鋼-混凝土組合曲線箱梁的動力特性分析[D].長沙:中南大學, 2014.

[15] 徐勛, 衛星, 劉德軍, 等. 扁平曲線箱梁靜動力特性分析[J]. 公路交通科技, 2007,24(12):60-65.

XU Xun, WEI Xing, LIU Dejun, et al. Analysis for static and dynamic characteristics of flat curved box beam[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2007,24(12):60-65.

[16] 趙青, 肖卓. 行波效應對連續曲線箱梁橋地震反應的影響[J].地震工程與工程振動,2010,30(3):123-128.

ZHAO Qing, XIAO Zhuo. Effects of traveling wave on seismic responses of continuous curved box-girders bridge[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2010, 30(3):123-128.

[17] 吳亞平, 賴遠明, 張學富, 等.曲線箱梁靜動力特性的有限段元分析[J]. 鐵道學報,2001,23(5):81-84.

WU Yaping, LAI Yuanming, ZHANG Xuefu, et al. Analysis of finite beam element for static and dynamic characteristics of curved box beams[J]. Journal of the China Railway Society, 2001, 23(5): 81-84.

[18] 嚴亮亮. 曲線薄壁箱梁的動力分析[D]. 重慶:重慶交通大學, 2014.

[19] 芮筱亭, 贠來峰, 陸毓琪, 等. 多體系統傳遞矩陣法及其應用[M]. 北京:科學出版社, 2008:13-14.

[20] 琚莉. 利用哈密頓-凱萊定理求解微分方程組的兩種方法[J]. 科教導刊, 2011(24): 146-147.

JU Li. Two ways for Cayley-Hamilton to solve differential equations[J]. Natural Science Discipline Research, 2011(24): 146-147.

[21] HARRIS W A, FILLMORE J P, SMITH D R. Matrix exponentials-another approach[J]. SIAM Review, 2001, 43(4): 694-706.

[22] 邵容光,夏淦.混凝土彎梁橋[M].北京:人民交通出版社,1997.

[23] 姚玲森.曲線梁[M].北京:人民交通出版社,1989.

A Cayley-Hamilton transfer matrix method for solving the vibration characteristics of curved box beams

YAN Xianli1, LI Qingning2

(1. Department of Civil Engineering, Shanxi University, Taiyuan 030013, China; 2. School of Civil Engineering, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China)

A new Cayley-Hamilton transfer matrix method was proposed by integrating the Cayley-Hamilton theorem and the transfer matrix method. It was based on the theory of differential equations and matrix analysis. Adopting this method, the space vibration transfer matrix of the discrete curved box girder bridge model was derived taking into account the spatial bending, shear, torsion, tension, compression, warping and their coupling effects. With a simply supported single span curved bridge as an example, a calculation programming was conducted to obtain the vibration frequency and vibration mode of the bridge by using the derived matrix. And compared with the results of the finite element method, the results agree well with each other. It demonstrates that this method is effective.

bridge engineering; vibration characteristics; Cayley-Hamilton transfer matrix method; curved box beam

國家自然科學基金(51078306)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20136120120022)；國家自然科學基金(51408453)

2015-07-30 修改稿收到日期：2015-12-03

閆仙麗 女，博士，講師，1984年9月生

李青寧 男,博士,教授,博士生導師，1952年4月生 E-mail: lqn419@126.com

U441.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.022