借你一雙慧眼辨錯

借你一雙慧眼辨錯

李勝軍

冪的運算有：（1）同底數冪的乘法；（2）冪的乘方；（3）積的乘方；（4）同底數冪的除法.這些運算的數學式子及法則“相似度”較高，同學們極易出錯.另外，整式加法運算中的項如果是冪的形式，也容易與冪的運算發生混淆.現將冪的運算中一些常見的錯誤加以剖析，希望同學們能擁有一雙“慧眼”.

一、忽視指數1

例1計算：x5?x4?x.

錯解：x5?x4?x=x5+4=x9.

剖析：錯解認為算式x5?x4?x中的因式x的指數是0而出錯.

正解：x5?x4?x=x5+4+1=x10.

說明：字母的指數為1時可省略不寫，但在進行冪的運算時，必須還原出指數1參與計算.

二、運算法則“張冠李戴”

例2計算：y2?y4.

錯解：y2?y4=y2×4=y8.

剖析：算式y2?y4表示同底數冪的乘法，運算法則是“底數不變，指數相加”，錯解誤認為是“指數相乘”而出錯.

正解：y2?y4=y2+4=y6.

說明：進行冪的運算，先要弄清楚算式表示的運算，然后再根據相應的法則進行計算.本題錯解將同底數冪的乘法法則與冪的乘方法則混淆了.

例3計算：m9÷m3.

錯解：m9÷m3=m9÷3=m3.

剖析：算式m9÷m3表示同底數冪的除法，運算法則是“底數不變，指數相減”.錯解誤認為是“指數相除”而出錯.

正解：m9÷m3=m9-3=m6.

說明：冪的運算要比相應法則中指數運算高一級.例如：同底數冪的乘法法則中“指數相加”（冪乘法→指數加法）；同底數冪的除法法則中“指數相減”（冪除法→指數減法），冪的乘方法則中“指數相乘”（冪乘方→指數乘法）.

例4計算：（a3）4.

錯解：（a3）4=a3+4=a7.

剖析：算式（a3）4表示冪的乘方，運算法則是“底數不變，指數相乘”，錯解錯在誤用了同底數冪的乘法法則進行計算.

正解：（a3）4=a3×4=a12.

說明：同底數冪的乘法與冪的乘方極易混淆，同學們要注意區分.

三、同底數冪的乘法與整式加法混淆

例5計算：a3?a3.

錯解：a3?a3=2a3.

剖析：錯解將同底數冪的乘法運算與整式加法運算混淆了，錯用了整式加法的運算法則（合并同類項）.

正解：a3?a3=a3+3=a6.

說明：如果不清楚算式表示的運算，有時也會將底數相同的整式加法運算誤用同底數冪的乘法法則進行計算.例如：將x4+x4計算為x8就是錯的.事實上，這里的x4+x4應進行合并同類項，即x4+x4=2x4.

四、積的乘方出現遺漏

例6計算：（-3xy4）3.

錯解：（-3xy4）3=-3x3（y4）3=-3x3y12.

剖析：算式（-3xy4）3表示積的乘方，運算法則是“把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘”，錯解只將積中字母部分進行了乘方，漏掉了積中系數的乘方.

正解：（-3xy4）3=（-3）3x3（y4）3=-27x3y12.

說明：積的乘方運算中，如果底數含有的因式較多，一定要注意將每個因式進行乘方，防止遺漏.

五、積的乘方系數出錯

例7計算：（3a2b）2.

錯解：（3a2b）2=32（a2）2b2=6a4b2.

剖析：錯解中將系數與指數相乘而出錯.

正解：（3a2b）2=32（a2）2b2=9a4b2.

說明：冪的指數與底數之間不存在任何運算關系，冪的指數表示乘方運算中底數的個數.例如：32中指數2表示乘方運算中底數3有兩個，即32=3×3.

六、運算順序出錯

例8計算：210÷24÷24.

錯解：210÷24÷24=210÷1=210.

剖析：算式210÷24÷24應按從左到右的順序依次進行計算，錯解運算順序出錯.

正解：210÷24÷24=210-4÷24=26÷24=26-4=22=4.

說明：同級運算，要按照從左到右的順序依次進行計算.

七、符號出錯

例9化簡（-a2）3的結果是（）.

A.-a5B.a5C.-a6D.a6

錯解：選D.

剖析：（-a2）3=［（-1）?a2］3=（-1）3?（a2）3

=-a6.錯解中誤認為-a2=（-a）2=a2導致出錯.事實上-a2=（-1）?a2.

正解：選C.

說明：防范冪的運算中符號出錯的關鍵是正確判斷底數中是否含有負號“-”.

八、分不清底數

例10計算：-x3?（-x4）?（-x）5.

錯解：-x3?（-x4）?（-x）5=（-x）3+4+5=（-x）12=x12.

剖析：錯解沒有分清算式中各個因式的底數，誤把三個因式的底數都認為是-x而出錯.實際上，因式-x3表示x3的相反數，它的底數是x；因式-x4表示x4的相反數，它的底數是x；因式（-x）5表示-x的5次方，它的底數是-x.

正解：-x3?（-x4）?（-x）5=-x3?（-x4）?（-x5）=-x3?x4?x5=-x3+4+5=-x12.

說明：對于形如-xm、（-x）n（m、n都為整數）的冪的運算，常將底數統一為x再計算.計算時先確定結果的符號，然后再進行同底數冪的運算.

九、錯用負整數指數冪

剖析：錯解誤用了負整數指數冪的性質，沒有將底數取倒數.

說明：運用負整數指數冪法則時，可按“底倒指反”進行，即底數取原底數的倒數，指數為原指數的相反數.

十、綜合計算出錯

例12計算：-x2?（-x2）2-（-2x2）3.

剖析：錯解在計算（-2x2）3時，字母部分的乘方是正確的，錯在系數的乘方，誤認為（-2）3=-6.

說明：本題綜合了同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、整式的加減等多種運算，計算時要分清每一種運算，運用相應的法則進行計算.

江蘇省鹽城市北蔣實驗學校）