一類碰撞振動系統的激變和擬周期-擬周期陣發性

樂 源， 繆鵬程

(西南交通大學 力學與工程學院 應用力學與結構安全四川省重點實驗室, 成都 610031)

一類碰撞振動系統的激變和擬周期-擬周期陣發性

樂 源， 繆鵬程

(西南交通大學 力學與工程學院 應用力學與結構安全四川省重點實驗室, 成都 610031)

研究了一類三自由度碰撞振動系統的激變和陣發性。六維龐加萊(Poincaré)映射能夠表示成另外一個不對稱映射的二次迭代，這表明系統具有對稱性。該系統普遍存在發生Hopf分岔后得到的一對共軛擬周期運動。根據動力系統的極限集理論，討論了極限集的對稱性，得到系統發生激變的條件，并引入一個距離函數判定對稱性恢復和激變臨界點。當共軛混沌吸引子和不穩定對稱不動點的最小距離等于0時，一對共軛混沌吸引子將會與不穩定的對稱不動點在其吸引域邊界發生碰撞，從而導致激變。通過數值模擬，揭示了激變之后的一種新的陣發性動力學現象：擬周期-擬周期陣發性。其分岔機制是：兩個共軛擬周期吸引子→兩個共軛擬周期吸引子倍化→兩個共軛帶狀混沌吸引子→一個對稱混沌吸引子→一個對稱擬周期引子，通過對稱極限集理論來區分對稱吸引子和共軛吸引子，同時采用QR法計算Lyapunov指數并用來確定吸引子的類型。激變導致的擬周期-擬周期陣發性，對于多自由度碰撞振動系統的動力學研究及優化設計具有重要意義。

碰撞振動系統；擬周期運動；激變；陣發性

具有對稱性的映射動力系統普遍存在對稱性恢復分岔，即：兩個或多個混沌吸引子融合并形成一個對稱混沌吸引子[1]。當參數穿過激變臨界值時，兩個吸引子同時接觸吸引域的邊界。這意味著兩個吸引子與不穩定鞍型軌道在吸引域邊界發生碰撞[2]。激變之后，系統的動力學行為展示出陣發性特征。激變誘發的陣發性這一概念用于描述動力系統在激變后出現的特殊動力學現象。文獻[3]的研究結果表明，所謂的對稱性破缺以及對稱性增長導致的吸引子的碰撞和爆發，本質都是共軛吸引子與對稱極限集之間發生碰撞的結果。然而，上述文獻關于激變之后誘發的陣發性動力學現象僅僅針對混沌-混沌陣發性，目前尚未見關于擬周期運動的陣發性的研究和報道。通過研究一類具有對稱性的三自由度碰撞振動系統的激變和陣發性，首次揭示了激變之后的一種新的陣發性動力學現象：擬周期-擬周期陣發性。

碰撞振動現象廣泛存在于實際工程領域，例如齒輪的拍擊、引擎的錘擊、存在止擋沖撞的機械系統、船舶和浮體在波浪作用下的沖擊振動、機器人操作器與環境接觸和脫離引起的碰撞、航天器伸展系統由于關節間隙而發生沖擊等。由于存在碰撞，碰撞振動系統具有強非線性和非光滑性。研究碰撞振動系統的動力學行為對于機械系統的優化設計和噪聲控制具有重要意義。非線性動力學的分岔和混沌的研究是近十幾年來非線性科學領域十分活躍的研究前沿[4-5]。隨著非線性動力系統理論、動態測試技術和計算機技術的迅速發展，碰撞振動系統的研究進入了全新的階段。HOLMES等[6-7]考慮單自由度碰撞振動系統，研究了周期運動的存在性和穩定性、分岔和混沌行為。對于多自由度碰撞振動系統，在分岔點處可能同時存在兩種類型的分岔，這就導致了余維二分岔。各種分岔之間相互作用，對碰撞振動系統的局部動力學具有重要的影響。文獻[8-11]采用中心流型—范式理論和數值模擬的方法研究了各種余維二分岔，包括Hopf-flip分岔、Hopf-Hopf分岔以及各種強共振情況下的Hopf分岔。ZHANG等[12]對振動篩系統的兩類余維三分岔進行了研究。當系統某一參數穿過某個臨界值時，碰撞振動系統的振子將會以零速度與剛性約束發生碰撞。這種現象在碰撞振動系統中被稱為“擦邊”。在擦切點處，系統的龐加萊映射是不連續的，并且會產生由這樣的非光滑因素誘發的一些非典型的分岔[13-14]。近年來其他關于碰撞振動系統力學的研究參見文獻[15-17]。然而目前還未見關于碰撞振動系統的對稱性恢復和激變的研究報道。

文獻[18-19]的研究結果表明，具有對稱性的碰撞振動系統普遍存在一對共軛吸引子，并引入一個虛擬的隱式映射來捕獲這對共軛吸引子。通過研究三自由度碰撞振動系統的激變和陣發性動力學現象，引入一個距離函數判定激變臨界點。當共軛混沌吸引子和不穩定對稱不動點的最小距離接近0時，一對共軛混沌吸引子將會與不穩定對稱不動點在其吸引域邊界發生碰撞，從而導致對稱性恢復和激變。數值結果表明，當控制參數在一定區間變化時，共軛擬周期運動將會恢復對稱性，并出現激變誘發的陣發性動力學現象。通過對稱極限集的概念來區分對稱吸引子和共軛吸引子，同時采用QR法計算Lyapunov指數并用來確定吸引子的類型。

1 力學模型，對稱性和Lyapunov指數

圖1表示一類軸向振動系統的力學模型。該系統有三個質量塊M1，M2，M3，其中M2上在M3兩邊分別有一個剛性約束，因此是具有雙側剛性約束的三自由度碰撞振動系統。M2通過剛度為K2的線性彈簧與阻尼為C2的線性阻尼器與剛性平面相連。M1通過剛度為K1的線性彈簧，阻尼為C1的線性阻尼器與M2相連。M3通過剛度為K3的線性彈簧，阻尼為C3的線性阻尼與M2相連。質量塊Mi(i=1,2,3)上作用振幅為Pi的簡諧激勵力。當激勵力振幅很小時，系統做強迫振動，是一個線性系統。當激勵力振幅增加到一定值時，M3會依次與M2上的兩個剛性約束發生碰撞，系統變成強非線性系統。碰撞以一個恢復系數R來描述。假設碰撞的時間很短，與激勵力的周期相比可以忽略不計。假定C1，C2，C3為比例阻尼。

圖1 具有對稱剛性約束的三自由度碰撞振動系統Fig. 1 Three-degree-of-freedom vibro-impact system with symmetry

在任意兩次連續碰撞之間, 無量綱化的運動微分方程為

(1)

y2+=δ11y2-+δ12y3-，y3+=δ21y2-+δ22y3-

(2)

(3)

碰撞振動系統的相空間為

(4)

式中，S1為單位圓。把Poincaré截面選在與左邊剛性約束碰撞后的瞬時，即

(5)

定義變換

(6)

Poincaré映射P是由四個子映射組成的：①P1映射，質量塊M3與左邊擋板碰撞后的瞬時運動到到與右邊擋板碰撞前的瞬時所確定的映射；②P2映射，質量塊M3與右邊擋板碰撞的過程；③P3映射，M3質量塊與右邊擋板碰撞后的瞬時運動到與左邊擋板碰撞前的瞬時所確定的映射；④P4映射,質量塊M3與左邊擋板碰撞的過程。因此，Poincaré映射可以表示為

P=P4·P3·P2·P1

(7)

Poincaré映射的Jacobi矩陣為

DP=DP4(P3·P2·P1(X0))·DP3(P2·P1(X0))×
DP2(P1(X0))·DP1(X0)

(8)

令

Q=R-1Q1

(9)

式中，Q1為與左邊擋板碰撞后的瞬時運動到與右邊擋板碰撞前的瞬時所確定的映射。則Poincaré映射可以寫為

P=Q2

(10)

式中，Poincaré映射P是映射Q的二次迭代。令TP(x*)=Dx*P為Poincaré映射在初始點x*處的Jacobi矩陣。則

(11)

(12)

2 對稱不動點與對稱極限集

如果X*滿足P(X*)=X*，那么X*為Poincaré映射P的不動點，對應于系統的周期運動。采用符號“(n,p)”來表示對稱碰撞系統的周期運動。其中p為碰撞次數，n為激勵力的周期數。因此，對稱周期(n,2)(n為奇數)運動表示n個激勵周期發生左右兩次對稱碰撞。對稱碰撞是指質量塊M3與左右兩個擋板發生碰撞后，系統相應的坐標絕對值相等，方向相反。

定義1 (對稱不動點)如果不動點X*滿足

X*=Q(X*)

(13)

則X*為Poincaré映射P的一個對稱(周期(n,2))不動點，對應于系統相應的對稱周期(n,2)運動。

(14a)

(14b)

則存在對稱不動點。

定義2 (對稱極限集)如果X的ω極限集滿足

ωP(X)=ωP(Q(X))

(15)

則ωP(X)為對稱極限集。

引理1 如果ωP(X)是吸引子或者是周期解(不一定是吸引的)，且滿足ωP(X)與ωP(Q(X))(即ωQ2k(X)與ωQ2k+1(X))的交集為非空，則ωP(X)是對稱ω極限集。

引理1表明，一對共軛吸引子ωQ2k(X)與ωQ2k+1(X)發生碰撞會產生一個單一的對稱吸引子。一對共軛吸引子互相碰撞意味著它們同時與不穩定鞍形軌道(即不穩定對稱不動點)在吸引域的邊界發生碰撞。激變導致的陣發性是指吸引子尺寸突然變大并互相融合后產生的一種特殊動力學行為。在激變臨界點處，兩個共軛吸引子同時接觸吸引域的邊界。

3 對稱不動點的解析解和對稱性激變

(16)

令φkj為矩陣Ψ中的元素，式(1)的解為

(17)

將式(17)代入式(14)得τ0，aj，bj的解為

(18a)

aj=Eajcosτ0+Fajsinτ0

(18b)

bj=Ibja1+Jbja2+Kbja3

(18c)

式中，Vc，Uc，Eaj，Faj，Ibj，Jbj，Kbj為系統參數確定的常數。將t=0和τ0，aj，bj代入式(17)得到對稱不動點的解X*=(x*1,y*1,x*2,y*2,x*3,y*3)。

這里不考慮Poincaré映射的擦邊分岔產生的奇異性。因此假定映射Q1，Q，P都是連續的和可逆的。相點X在P映射下的ω極限集為ωP(X)，在Q映射下的ω極限集為ωQ(X)。極限集可以是吸引和排斥

的，定義吸引子為漸近穩定的ω極限集。因為X和Q(X)是一對共軛的映射點，由X和Q(X)產生的ω極限集即ωP(X)和ωQ(X)稱為一對共軛的ω極限集。

點X在映射Q下的軌道為：X，Q(X)，Q2(X)，Q3(X)，Q2k(X)，Q2k+1(X)，…由于映射P是映射Q的二次迭代，則有

Q2k(X)=Pk(X)

(19)

Q2k+1(X)=Pk(Q(X))

(20)

即映射Q的偶數次迭代即為點X在映射P下的軌道；而映射Q的奇數次迭代即為點Q(X)在映射P下的軌道。因此式(20)和式(21)隱含了ωQ2k(X)=ωP(X)和ωQ2k+1(X)=ωP(Q(X))，則有

ωQ(X)=ωP(X)∪ωP(Q(X))

(21)

又因為

Q(Pk(X))=Q2k+1(X)=Pk(Q(X))

(22)

則

(23)

即

Q(ωP(X))=ωP(Q(X))

(24)

式(15)等價于ωQ2k(X)=ωQ2k+1(X)。也就是說，如果X的ω極限等于它的共軛極限集，那么ωP(X)是對稱極限集。根據式(21)，如果P和Q有相同的極限集，即ωP(X)=ωQ(X)，那么它就是一個對稱的ω極限集。此外根據式(24)，如果ωP(X)通過Q映射到自身，即Q(ωP(X))=ωP(X)，則它是對稱ω極限集。

此處Poincaré映射P本身不能表現出對稱性，但是由式(15)可知非對稱映射Q能夠得到一對共存的共軛ω極限集，這表示碰撞振動系統具有對稱性。

為了找到發生激變的臨界點，在兩個共軛吸引子與不穩定對稱不動點X*(表示不穩定對稱周期軌道)之間定義一個距離函數

(25)

式中：(x*1,y*1,x*2,y*2,x*3,y*3)為不穩定對稱不動點的坐標；(x10,y10,x20,y20,x30,y30)為吸引子中點的坐標。Dmin=0表示ωQ2k(X)與ωQ2k+1(Q(X))有非空交集，因此是激變的臨界點。

4 擬周期運動的對稱性恢復和激變

4.1 擬周期吸引子的演變

考慮碰撞振動系統的系統參數：n=1，ζ=0.008 6，R=0.85，h=0.06，um3=0.6，um2=2.8，um1=1，uk3=0.8，uk2=0.2，uk1=1，uf3=0.4,uf2= 0.5，uf1=1。取系統激勵力的頻率ω為控制參數。當ω=3.05時，有兩個共軛擬周期吸引子，在相空間中表示兩個共軛的環面(見如圖2(a))。為了獲得一對共軛擬周期吸引子，需要給不穩定對稱不動點X*(根據第3節計算)施加一個ΔX的擾動，并且通過映射Q對初始相點X=X*+ΔX進行迭代。當ω=3.05時，首先得到兩個不穩定的共軛映射點，然后分別在Poincaré截面上收斂到一對共軛的擬周期吸引子(在相空間中表示為一對共軛環面)，見圖2(b)。當控制參數增加到ω=2.985時，有一個單一的擬周期吸引子，見圖3。由于ωQ2k(X)=ωQ2k+1(X)，所以圖3所示的擬周期吸引子是對稱的，映射點首先進入對稱擬周期吸引子上部區域并停留一段時間，然后進入下部區域并停留一段時間，如此循環。這種在對稱擬周期吸引子的兩部分無限交替的過程叫做激變誘導的擬周期運動陣發性。這種擬周期運動的陣發性現象只存在于多自由度對稱碰撞振動系統中，目前尚未見相關報道。圖2所示的一對共軛擬周期吸引子是如何演變成如圖3所示的單一的對稱擬周期吸引子的？這個問題的解答需要以吸引子的對稱性恢復分岔理論為基礎。

(a)一個不穩定對稱不動點和一對共軛擬周期吸引子(迭代160 000次截取最后60 000個點)

(b)從初始點X*+ΔX開始的整個收斂過程

圖3 一個對稱擬周期吸引子：ω=2.985(迭代160 000次截取最后60 000個點)Fig.3 A symmetric quasi-periodic attractor:ω=2.985(plot the last 60 000 points after 160 000 iterations)

圖2所示的一對共軛吸引子有各自的吸引域，以通過不穩定對稱不動點X*的吸引域邊界分開。

4.2 擬周期吸引子的激變和對稱性恢復分岔

當ω增加到激變點ωc時，這對共軛吸引子就會擴大和合并，最終產生一個單一的對稱吸引子。激變可以通過共軛吸引子與不穩定對稱不動點的最小距離來檢測，這一距離函數由式(25)定義。當ω=3.004 2時，由式(25)計算的距離D見圖4。結果表明當參數ω=3.004 2時，最小距離為Dmin≈4×10-4，這一距離非常接近0。因此得出結論，在ω=3.004 2附近將發生激變。

圖4 擬周期吸引子與不穩定對稱不動點之間的距離ω=3.004 2；Dmin≈4×10-4Fig.4 The distance between the quasi-periodic attractors and the unstable symmetric fixed point ω=3.004 2；Dmin≈4×10-4

當控制參數ω減小時，Poincaré截面的投影相圖如圖5所示。當ω=3.018時，首先發生環面倍化，產生一個如圖5(a)所示的2T環面。當ω=3.016時，通過第二次環面倍化產生一個4T環面，如圖5(b)所示。當ω=3.013時，將不會有環面倍化分岔，但是將會產生如圖5(c)所示的一對共軛的帶狀混沌吸引子。當ω=3.01時，兩個共軛的帶狀混沌吸引子將會分別演化成一個帶狀混沌吸引子。如圖5(d)所示，看起來非常接近不穩定不動點X*。當ω=3.005時，共軛混沌吸引子將會大幅度擴大并且會相互重疊，如圖5(e)所示。看起來它們已經和不穩定對稱不動點X*發生了碰撞。然而此時共軛吸引子與不穩定對稱不動點的最小距離為Dmin≈8.5×10-3，這表明碰撞還沒有發生。在Poincaré截面的投影相圖上，這對共軛吸引子的重疊不能判斷它們之間的碰撞是否已經發生，因為如圖5所示的二維相圖僅僅是六維相空間的投影。當ω=3.004 2時，類似的情況如圖5(f)所示。然而，在這種情況下，最小距離Dmin≈4×10-4(見圖4)，這一距離非常接近0。當ω=3.004 1時，兩個共軛的混沌吸引子已經與不穩定對稱不動點X*發生了碰撞，并且形成了一個單一的更大的混沌吸引子，如圖5(g)所示。這一結果再次證實了ωc=3.004 2是吸引子碰撞的臨界點。當ω減小時，例如取ω=2.985，對稱混沌吸引子將會變成一個對稱擬周期吸引子，如圖5(h)所示。因此，擬周期運動的對稱性恢復的路徑是：兩個共軛擬周期吸引子→兩個共軛擬周期吸引子倍化→兩個共軛帶狀混沌吸引子→一個對稱混沌吸引子→一個對稱擬周期吸引子。

(a)ω=3.018

(b)ω=3.016

(c)ω=3.013

(d)ω=3.01

(e)ω=3.005

(f)ω=3.004 2

(g)ω=3.004 1

(h)ω=2.985

4.3 擬周期吸引子激變誘發的陣發性

由圖6可觀察到激變后誘發的陣發性。當ω=3.004 1時，兩個共軛混沌吸引子同時與對稱不動點接觸，此時已經發生激變，并導致混沌-混沌的陣發性，如圖6(a)所示。當ω=2.985時，混沌-混沌陣發性轉變為擬周期-擬周期陣發性，如圖6(b)所示。

以“2”節介紹的對稱極限集理論為基礎，通過投影相圖可以區分對稱吸引子和共軛吸引子。很顯然，如圖5(a)～圖5(d)所示的兩個吸引子，因為ωQ2k(X)≠ωQ2k+1(X)，所以這兩個吸引子是共軛的；因為ωQ2k(X)=ωQ2k+1(X)，所以如圖圖5(f)和5(g)所示的兩個吸引子是對稱的。但是在Poincaré截面投影出現相互重疊的情況時，需要進一步的判斷。例如，如圖5(e)和圖5(f)所示的吸引子，盡管兩個吸引子在某些區域內重疊，但是它們并不是分布在整個區域，這就表示ωQ2k(X)≠ωQ2k+1(X)，因此，吸引子在這兩種情況下是共軛的，但不是對稱的。

Lyapunov指數是一種判斷吸引子類型的有效工具，并采用第二節介紹的方法來計算。對于擬周期吸引子，至少有一個Lyapunov指數等于0。對于混沌吸引子，至少有一個Lyapunov指數大于0。可以通過如表1所示的Lyapunov指數來判斷吸引子的類型。結果表明，混沌吸引子產生于吸引子碰撞激變之后，且最大的Lyapunov指數總是大于0。

(a)ω=3.004 1

(b)ω=2.985

圖號λ1λ2λ3λ4λ5λ6吸引子的類型圖2(a)0.0000-0.0035-0.0487-0.0615-0.2307-0.4786擬周期圖5(c)0.00220.0000-0.0470-0.0636-0.2390-0.4756混沌圖5(e)0.00830.0000-0.0450-0.0666-0.2518-0.4671混沌圖5(g)0.00990.0000-0.0461-0.0655-0.2570-0.4653混沌圖3(a)0.0000-0.0013-0.0442-0.0442-0.2845-0.4255擬周期

5 結 論

對于對稱碰撞振動系統，數值結果表明一對共軛擬周期運動能夠轉變成單個對稱的擬周期運動，并且在發生激變之后會出現擬周期運動的陣發性現象。對稱性恢復和激變在這個轉換過程中具有關鍵作用。本文定義一個距離函數來確定激變臨界點。當共軛吸引子與不穩定對稱不動點在Poincaré截面上的最小距離為零時，一對共軛混沌吸引子將會同時與不穩定不動點在吸引域邊界發生碰撞，這將會引起吸引子擴大和合并。擬周期運動的對稱性恢復機制是：兩個共軛擬周期吸引子→兩個共軛擬周期吸引子倍化 → 兩個共軛帶狀混沌吸引子 → 一個對稱混沌吸引子 → 一個對稱擬周期吸引子。

基于六維Poincaré映射能夠表示成另外一個非對稱映射的二次迭代，定義對稱極限集來區分對稱吸引子和共軛吸引子。QR法是一種連續正交化的手段，可以用于計算Lyapunov指數，進而判別吸引子的類型。

目前關于激變誘導的陣發性的研究，都集中在混沌-混沌陣發性，以及周期-周期陣發性[21-24]。本文揭示了碰撞振動系統中由于激變導致的擬周期-擬周期陣發性現象，這對于高維非線性動力系統吸引子的分岔研究以及碰撞振動系統的優化設計，均具有一定的理論和實踐意義。

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Crisis and quasiperiod-quasiperiod intermittency in a vibro-impact system

YUE Yuan, MIAO Pengcheng

(Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province, School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031,China)

Crisis and quasiperiod-quasiperiod intermittency in a 3-DOF vibro-impact system with symmetry were studied. The system’s 6-dimensional Poincaré map was expressed as the second iteration of another unsymmetric map, it implied that the system has a symmetry.Two conjugate quasi-periodic motions, coming from two conjugate periodic motions after Hopf bifurcation coexisted widely in such a dynamic system. According to the limit set theory of dynamic systems and the symmetry of the limit set, a distance function was introduced to detect the crisis of symmetry increasing. It was shown that when the minimum distance between a pair of conjugate chaotic attractors and an unstable symmetric fixed point is close to zero, a pair of conjugate chaotic attractors do not collide with the unstable symmetric fixed point on the attracting field boundary, to lead to a crisis. Numerical simulations revealed that a new intermittency behavior named the quasiperiod-quasiperiod intermittency occurs; the mechanism of symmetry restoring of quasi-periodic motion is two conjugate tori (quasi-periodic) → doubling of two conjugate tori → two conjugate band chaos attractors → a pair of symmetric chaos attractors → one symmetric torus (quasi-periodic); the symmetric limit set is introduced to distinguish symmetric attractors from conjugate ones; Lyapunov exponent spectrum computed with QR method is used to determine the type of attractors; the quasiperiod-quasiperiod intermittency is of importance for the optimization design of vibro-impact systems.

vibro-impact system; quasi-periodic motion; crisis; intermittency

國家自然科學基金資助(11672249；11272268；11172246)

2015-11-25 修改稿收到日期：2016-03-07

樂源 男，博士，教授，1974年2月生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.001