基于速度反饋控制的自激振動特性研究

馮 偉， 宋漢文

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

基于速度反饋控制的自激振動特性研究

馮 偉， 宋漢文

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

工程中自激振動常被作為不利因素而加以抑制，然而在振動能量捕獲等振動利用研究中，自激振動也有振幅響應大、抗干擾能力強等優點，利用自激振動作為振動驅動將具有極大的優勢。以懸臂梁為研究對象，通過模態參數與測點組合條件，導出了基于速度反饋控制下各階模態的變化模式，得到了產生自激振動的數值判據，并對單模態進入自激振動以后的非線性極限環現象進行了討論。通過理論建模、數值仿真和控制實驗及數據處理，驗證了該研究的正確性。

自激振動；反饋控制；模態分析；極限環

經典結構動力學主動控制領域的研究始于20世紀50年代，取得了豐富的研究成果[1]，廣泛應用在航空航天、高速鐵路、土木工程[2]等領域。主動控制的研究目的大多是基于減振降噪、使響應過程快速衰減或增加系統穩定性意義下的最優控制律的構造與實現問題。如通過對受電弓主動控制來抑制弓網耦合振動[3]，利用主動平衡解決高速轉子的同步振動問題[4]、抑制噪聲和振動提高可居住性、舒適性[5]等。而對于含控制結構的動力學特性研究不多見。對于流固耦合、干摩擦、轉子動力學、氣動彈性及伺服控制等復雜環境載荷激勵下的一系列涉及自激振動的研究中，其數學、力學模型與主動控制是完全一致的，但其控制律卻是非人工主動構建的、也是未知的。對于人為構建的主動控制結構，已有學者將主動控制應用到諸多方面[6-8]。高志遠等[9]提出一種結合前饋自適應控制器和反饋自適應控制器的混合自適應振動主動控制方法；SERRAND等[10]提出了一種基于速度反饋的兩通道隔振器，通過改變系統有效阻尼從而調整隔振效果。

在主動結構的研究過程中，張景繪等[11]針對主動結構的理論研究、定義概念和數值計算進行了奠基性的工作。MALAS等[12]進行了基于繼電反饋的自激振動系統的理論建模與優化控制，劉海標等[13]研究了主動結構的控制律辨識，對基于非特定目的的主動控制行為，辨識來自環境控制的未知控制律。為自激振動的形成機理、參數辨識等研究提供支持。WARMINSKI等[14]研究了在自激振動和外部激勵下非線性梁的主動振動控制，給出了負阻尼對結構的影響以及控制結構的參數。鄭兆昌提出了關于線性和非線性系統內在的本質聯系，揭示了高自由度線性振動和非線性振動都是以線性主模態呈現其運動規律。

本文研究基于速度反饋控制的自激振動特性。在自激振動系統中，激振力為系統動力學(位移、速度、加速度及應力應變等)的函數。通過對多自由度理論建模，探究自激振動產生的條件與控制方法，為自激振動利用與控制提供理論依據。

1 動力學模型

多自由度線性系統動力學方程為

(1)

(2)

(3)

1.1 動力學模型分析

設系統依質量歸一化后的振型矩陣為[Φ]

{x(t)}=[Φ]{q(t)}

(4)

采用實模態假定，解耦后的動力學方程為

(5)

對于速度反饋增益矩陣[D]，不同測量點和控制點的選取會導致[D]中元素位置和大小的變化。一般地，討論單測量點、單激勵點模式，將系統中第j個測點上的速度響應反饋到第i個測點上。則

代入后，式(5)變為

對于系統中任一階(第r階)模態，其動力學方程為

(6)

由此，得到了模態方程， 右端為由系統各階模態速度疊加而成的廣義力。將右端激勵中的第r項

移項至左端合并同類項。若fr取值合適，則會導致系統出現負阻尼，引起系統響應發散。整理后第r階模態方程為

(7)

1.2 等效模態阻尼的取值區間與系統響應特征的關系

第r階方程中的等效模態阻尼模態為

討論系統僅有第r階模態發散的情況。文獻[15]指出，對于任一多自由度系統，在共振狀態下，可以用起主導作用的各階線性模態化為單自由度非線性系統，從而實施定性與定量分析。

本文采用單模態自激振動判據，系統中只有第r階模態阻尼為負，系統將在第r階模態發生發散性自激振動。同時其它階模態都將是小阻尼的非共振受迫振動，其貢獻相對第r階可忽略不計。此時，第r階模態起主導作用，系統振動可以簡化為等效模態單自由度系統進行定性與定量分析。

1.3 系統單模態發散后的非線性響應特性

對于真實系統，一旦產生自激振動，系統將由于響應的逐漸增大而導致崩潰。但是，在隨后的實驗中觀察到，當滿足上述單模態自激振動判據2ξpωp/φipφjp>dij>2ξrωr/φirφjr時，系統響應增大到一定數值后，趨于一個穩定的極限環。在負阻尼條件下，隨著系統響應的不斷增大，此時系統以不再遵守微振動假設，其幾何非線性特性不可忽略。考慮系統幾何非線性阻尼，將該階模態的動力學方程修正為

(8)

式中，b>0為三次非線性阻尼的系數，具體數值可由實驗數據中擬合得到。

2 實驗研究

考慮一個具有集中質量的不銹鋼懸臂梁(見圖1)。參數設置為：長l=30 cm、寬b=2.7 cm、厚度h=0.1 cm。密度ρ=7.9 g/cm3，E=209 GPa，均勻梁質量為0.064 kg，實驗原理見圖2。

圖1 實驗裝置圖Fig.1 Diagram of experimental setup

圖2 實驗原理圖Fig.2 Diagram of experimental schematic

3.1 系統建模

將系統離散為6自由度模型，在3號測點布置一個集中質量30 g，同時將6個加速度傳感器也視為集中質量考慮。剛度矩陣[K]由柔度矩陣求逆獲得，阻尼矩陣[C]通過實測各階模態阻尼比、固有頻率和模態振型重構。求得系統的質量歸一化陣型矩陣為[Φ]。

將上述系統及參數進行仿真計算，獲得系統各階固有頻率、阻尼比(見表1)，特征向量矩陣等參數，模態振型見圖3，由上述判據計算2ξrωr/φirφjr的數值匯于表2。

通過表2，獲得了所有控制點與反饋點完備組合下的速度反饋控制規律，可以找到使任意一階模態發散或收斂的最優控制位置；也可以在任意指定的控制及反饋測點下，預測每一階模態的控制效果。值得特別指出的是，若取增益系數dij<0，上述發散和收斂特性將可互換，于是，表2中，取絕對值最小的組合配合dij的正負選擇，將是最優的控制組合。

表1 仿真系統的模態參數

本文選擇第2點控制、第6點反饋展開仿真和實驗研究，取增益系數dij<0的負反饋控制模式，此時各階2ξrωr/φirφjr見表3。仿真結果顯示，第1階、3階、6階模態阻尼將比控制前增大；取0>dij>-0.613 9，第2階、4階、5階模態阻尼將比控制前模態阻尼為小(但尚保持正數)；若-0.631 9>dij>-3.506 0，可實現僅使第2階模態響應發散，其余模態保持穩定。取dij=-1.5，僅對第2階模態進行仿真，若取非線性阻尼系數b=0，系統將發散，經嘗試，取非線性阻尼系數b=5.7。

圖3 模態振型曲線Fig.3 Curve of mode shape

表2 2ξrωr/φirφjr的數值分布Tab.2 Value of 2ξrωr/φirφjr

表3 2ξrωr/φirφjr的數值分布

2.2 實驗過程

首先通過模態分析測得的懸臂梁模態參數見表4。

表4 實驗系統的模態參數

反饋作動器為壓電陶瓷片，利用第6測點加速度響應通過積分方法其轉換為速度信號，經功率放大后施加到第2測點位置進行作動。逐漸增大反饋信號的增益，使系統出現負阻尼導致發散的自激振動。

反饋點的實驗與仿真見圖4和圖5，控制點實驗響應見圖6。

圖4 反饋點實驗響應圖Fig.4 Response diagram of feedback point in experiment

圖5 反饋點仿真響應圖Fig.5 Response diagram of feedback point in simulation

圖6 控制點仿真響應圖Fig.6 Response diagram of control point in experiment

實驗使用壓電陶瓷片作動器，目前的技術無法測得其對系統的激勵力(矩)信號，信號放大器及功率放大器的增益系數也無法精確獲得。選取的仿真參數dij=-1.5,b=5.7，是經由實驗數據多次試算匹配得到的。

當系統處于穩定的自激振動狀態時，測取系統加速度信號。在實驗中觀測到系統從微幅振動開始到系統穩定，有如下特征(實驗與仿真的振型對比見圖7)：

1) 控制回路閉環時，施加初擾動，反饋增益較小時，系統在初始擾動下響應逐漸衰減，系統仍為正阻尼振動系統。

2) 逐次增大反饋增益，系統在初始擾動下振動響應逐漸增大；增益達到某一臨界值后的一段區間內，系統響應趨于穩定，我們認為接近極限環，其振動波形與簡諧力激勵下的受迫振動相似。

3) 系統穩態振動時，其振動頻率為30.85 Hz，接近系統第二階固有頻率32.75 Hz。

4) 系統穩定振動時，與第二階固有振型相似。

圖7 實驗與仿真振型對比圖Fig.7 Comparison diagram of experiment and simulation modes

5) 系統達到穩態極限環振動時，用外力強行阻止響應后再松開，在較短的時間內，系統可自動回到穩定運動狀態，說明自激振動具有較強抗干擾能力和魯棒性。

6) 繼續增大反饋增益，系統響應增大較快，導致傳感器脫落，實驗中斷。

3 結 論

本文研究了基于速度信號控制下系統響應模式和自激振動產生的條件，給出了反饋控制系統的動力學響應特征與反饋參數(參考點、激勵點、增益)及系統模態參數(固有頻率、阻尼比、振型系數)的關系與判據。利用該判據，在已知系統各階模態參數的前提下，可以通過反饋控制來調整原系統的穩定性，設計并實現使原系統任意階模態響應加速收斂或加速發散的最優控制位置和最佳增益。或者反過來，可以預測任意可行的參考點、激勵點及增益組合下系統的動力學響應特性。通過仿真和實驗對所提出的理論進行了驗證。

[ 1 ] 王加春，李旦. 機械振動主動控制技術的研究現狀和發展綜述[J]. 機械強度，2001，23(2): 156-160. WANG Jiachun, LI Dan. Review of mechanical active vibration control technique [J]. Journal of Mechanical Strength， 2001, 23(2):156-160.

[ 2 ] SOONG T T, COSTANTINOU M C. Passive and active structural vibration control in civil engineering [M]. Berlin: Springer-Verlag, 2014.

[ 3 ] 魯小兵，劉志剛，宋洋. 基于磁流變阻尼器的受電弓主動控制分析與驗證[J]. 儀器儀表學報，2015，36(1): 103-109. LU Xiaobing, LIU Zhigang, SONG Yang. Analysis and verification of pantograph active control based on MR damper [J]. Chinese Journal of Scientific Instrumen, 2015, 36(1): 103-109.

[ 4 ] CHAMROON C, COLE M O T, WONGRATANAPHISAN T. An active vibration control strategy to prevent nonlinearly coupled rotor-stator whirl responses in multimode rotor-dynamic systems [J]. Control Systems Technology, IEEE Transactions on, 2014, 22(3): 1122-1129.

[ 5 ] LI Y, WANG X, HUANG R, et al. Active vibration and noise control of vibro-acoustic system by using PID controller[J]. Journal of Sound and Vibration, 2015, 348: 57-70.

[ 6 ] SHIN C, HONG C, JEONG W B. Active vibration control of beam structures using acceleration feedback control with piezoceramic actuators [J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(6): 1257-1269.

[ 7 ] EASON R P, SUN C, DICK A J. Attenuation of a linear oscillator using a nonlinear and a semi-active tuned mass damper in series [J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(1): 154-166.

[ 8 ] NIMA MAHMOODI S, CRAFT M J, SOUTHWARD S C, et al. Active vibration control using optimized modified acceleration feedback with Adaptive Line Enhancer for frequency tracking [J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(7): 1300-1311.

[ 9 ] 高志遠，朱曉錦，張合生. 含正反饋振動主動控制系統的混合自適應控制[J]. 控制理論與應用，2015，32(7):978-984. GAO Zhiyuan, ZHU Xiaojin, ZHANG Hesheng. Hybrid adaptive control method for active vibration control system with positive feedback [J]. Control Theory & Applications， 2015, 32(7): 978-984.

[10] SERRAND M, ELLIOTT S J. Multichannel feedback control for the isolation of base-excited vibration [J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 234(4): 681-704.

[11] 張景繪，龔靖，王永剛. 線性主動結構及模態(Ⅰ). 基本概念及屬性[J]. 應用數學和力學，2004，25(8):771-778. ZHANG Jinghui, GONG Jing, WANG Yonggang. Linear active structures and modes(Ⅰ). basic concepts and properties[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2004, 25(8):771-778.

[12] MALAS A, CHATTERJEE S. Generating self-excited vibration in a class of mechanical systems by relay-feedback [J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 76(2):1253-1269.

[13] 劉海標，宋漢文. 主動結構動力學特征與頻響特性研究[J]. 振動與沖擊，2014，33(22):121-126. LIU Haibiao, SONG Hanwen. Dynamic characteristics and frequency response feature of active structure [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(22): 121-126.

[14] WARMINSKI J, CARTMELL M P, MITURA A. Active vibration control of a nonlinear beam with self-and external excitations [J]. Shock and Vibration, 2013, 20(6): 1033-1047.

[15] 鄭兆昌.關于線性和非線性系統內在的本質聯系—多自由度非線性系統的定量和定性分析[J]. 振動與沖擊, 2008, 27(1): 4-8. ZHENG Zhaochang. Intrinsic and simple connection of linear systems with non-linear ones-quantitative and qualitative analysis of large scale multiple DOF nonlinear systems [J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(1) : 4-8.

Characteristics of self-excited vibration based on speed feedback control

FENG Wei，SONG Hanwen

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Self-excited vibration is often suppressed as an unfavorable factor in many engineering fields. However, some special characteristics of self-exited vibration, such as, large amplitude response and strong anti-disturbances capability make it be an ideal driver for vibration utilization study, specifically, vibration energy harvesting. Herer, varying patterns of each mode and numerical criteria of self-excited vibration under control of velocity feedback were derived in studying cantilever beams with constraints of modal parameters and test points. One phenomenon, i.e., the nonlinear limit-cycle produced by a single mode self-exited vibration was discussed as well. The correctness of this study was verified with theoretical modeling, numerical simulation, control tests and data processing.

self-excited vibration; feedback control; modal analysis; limit cycle

國家自然科學基金面上項目(11272235)

2015-07-22 修改稿收到日期： 2016-02-14

馮偉 男，本科，1993年生

宋漢文 男，博士，教授，博士生導師，1961年生

TB53；O323；TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.013