一種機械振動信號的結構化隨機測量矩陣構造方法

郭俊鋒， 施建旭， 魏興春， 雷春麗

(蘭州理工大學 機電工程學院， 蘭州 730050)

一種機械振動信號的結構化隨機測量矩陣構造方法

郭俊鋒， 施建旭， 魏興春， 雷春麗

(蘭州理工大學 機電工程學院， 蘭州 730050)

針對壓縮采集在機械振動信號采集的過程中，現有隨機測量矩陣不易硬件實現、確定性測量矩陣重構誤差較大的問題。將高斯序列的優點和循環原理的優點相結合，提出一種高斯分布循環測量矩陣，其是一種結構化隨機測量矩陣。高斯分布循環測量矩陣的第一行元素由服從高斯分布的序列生成，通過循環移位生成剩余的所有行向量；隨機取出除第一行的其他所有行的部分元素，每個元素再乘不同的隨機數或者同一個隨機數，并放回原位置；基于高斯分布循環測量矩陣得到的機械振動信號壓縮測量值采用正交匹配追蹤算法對原始振動信號進行重構。高斯分布循環測量矩陣的所有元素的隨機性可以滿足測量矩陣對隨機性的要求，循環原理的內在確定性又可滿足測量矩陣硬件實現的要求。仿真表明：高斯分布循環測量矩陣的感知性能略優于與高斯矩陣的性能，整體上基本相當。

振動信號；壓縮采集；高斯序列；循環原理；結構化隨機測量矩陣

機械振動信號傳遞與承載著機械設備工作過程中所蘊含的大量信息，檢測并提取振動過程中的有用信息，從而能夠更加深入地了解機械設備工作過程中的內在機理和特征，為更好的開發利用機械設備提供理論和技術支撐。但是，隨著實際工業生產要求的不斷提高與機械工業的不斷發展，機械裝備愈趨大型化，成套化，由于機械系統在工作過程中會產生碰撞、速度突變、結構變形、摩擦變化等，且不同組成部件間相互交叉耦合，振動更為復雜，振動頻率越來越高且呈現非線性、非平穩性。而且隨著大型機械振動檢測向綜合、高速、連續和網絡化趨勢的發展[1]，基于香農-奈奎斯特的振動信號采樣導致了海量的采樣數據，這些數據的實時傳輸與同步存儲已成為亟待解決的成本與工程技術瓶頸問題。壓縮感知理論[2]采用非自適應線性投影技術來保證信號的原始結構，將其應用于振動信號采集，能夠在保證不丟失信息的前提下以遠低于奈奎斯特頻率對振動信號進行采樣。

測量矩陣在壓縮采集機械振動信號中處于核心位置，它負責直接對機械振動信號的采集，對于振動信號的數據采集和信號重構起著決定性作用，測量矩陣的性能是保證壓縮采集到的振動信號測量值包含原始振動信號全局信息的關鍵，矩陣的零空間特性[3](Null Space Property，NSP)，Spark理論[4-5]，約束等距性[6](Restricted Isometry Property，RIP)和不相干性[7]都是描述測量矩陣的重要準則，只要測量矩陣能夠滿足這些性質中的任意其中一個，就能保證以高概率重構原始振動信號。

基于這些準則，許多研究者從矩陣元素的隨機性和確定性方面對測量矩陣進行構造，將測量矩陣分為隨機性測量矩陣和確定性測量矩陣。隨機性測量矩陣的元素都是獨立地服從某一隨機分布(Independent Identical Distribution，IID)，如高斯隨機測量矩陣，相關研究表明[8-9]，隨機性測量矩陣滿足測量矩陣的基本準則，具有很高的重構精度，但是，隨機性測量矩陣在實際測量應用中要占用大量存儲空間，而且計算復雜度很高。相對于隨機性測量矩陣，確定性測量矩陣，如循環測量矩陣[10]，是按照一定的規律生成，容易硬件實現，計算復雜度低，但是，其缺點是對振動信號測量數目和稀疏度的要求較高，而且重構精度較低。

融合隨機性測量矩陣和確定性測量矩陣各自的優勢，本文提出了一種高斯分布循環測量矩陣(Gaussian Distribution Circulant Measurement Matrix，GCMM)。該矩陣具有循環特性，易于硬件實現，克服了隨機矩陣存儲空間大的缺陷，大大降低了壓縮采樣和重構恢復的運算量，因而將其運用在機械振動信號的壓縮采集中，具有更加實際應用價值。

1 高斯分布循環測量矩陣的構造思想及具體步驟

本文將高斯序列的優點和循環矩陣的優點相結合，提出高斯分布循環測量矩陣。首先，產生服從高斯分布的隨機序列作為測量矩陣的第一行元素；然后，通過循環移位，并隨機取出部分元素，再對取出的每個元素乘以不同的隨機數或者乘以同一個隨機數，放回原位置，作為測量矩陣的第二行；剩余行元素以此類推，按第二行元素生成。

假設構造的高斯分布循環測量矩陣為Φ，Φ∈RM×N(其中M為矩陣的行數，N為列數，且M?N)

高斯分布循環測量矩陣Φ具體為

φi=[φi1,φi2,…φiN]

高斯分布循環測量矩陣構造的具體步驟為

步驟1 生成個服從高斯分布的隨機數作為測量矩陣的第一行，即

φ1=[φ11,φ12,…,φ1N]～N(0,1)；

步驟2 將φ1通過循環移位生成φ2，即

φ2=[φ1N,φ11,…,φ1N-1]；

步驟3 在φ2=[φ1N,φ11,…,φ1N-1]向量中，隨機取出n個元素(1≤n≤N)，記為[a1,a2,…an]；

步驟5 根據步驟2～步驟4的向量生成規律，重復步驟2～步驟4，得到M-1個行向量；

步驟6 將以上得到的M個行向量按生成的順序組成矩陣Φ∈RM×N。

構造高斯分布循環測量矩陣的流程圖如圖1所示。上述的測量矩陣構造與經典的循環矩陣構造方式不同，沒有生成一個方陣，再隨機選取，而是直接生成了需要規模的測量矩陣。

2 高斯分布循環測量矩陣的RIPless理論分析

壓縮采集振動信號的一個核心問題是如何構造測量矩陣，使得通過測量矩陣感知到的測量值保持重構和處理需要的原始振動信息，并且測量的次數應盡可能少。針對該問題，發展了一系列理論，具體的理論如下所述：D=ΦΨ記為感知矩陣，其中Φ為測量矩陣，Ψ為信號的稀疏變換矩陣，D必須滿足零空間特性(NSP)，即D的零空間中不能包含稀疏度為2k的振動信號，才能重構稀疏度為k的兩個不同的振動信號。但是，要驗證一個矩陣是否滿足NSP是一個NP(Non-deterministic Polynomial)難題，為了尋求更容易操作的條件。因此，產生了很多等價形式，其中最著名的理論之一是Spark理論，當且僅當Spark(D)>2k時，能從某一測量值中最多恢復一個與其對應的某一原始振動信號。然而，NSP和Spark都沒有考慮測量值中含有噪聲的情況，TAO等提出了約束等距特性(RIP)，得出的重要結論是：少量不相干的測量值之所以能夠包含重構原始信號的信息，是因為測量矩陣φ滿足一定階數的約束等距性。要驗證和設計出的矩陣D滿足NSP、Spark和RIP其中的一個，都是一個NP難問題。

圖1 高斯分布循環測量矩陣構造流程圖Fig.1 Constructed flow chart of GCMM

2.1 不相干性(Incoherence Property)

記相干性參數為μ。

如果信號f在時域上是稀疏的，此時的不相干性描述的是測量矩陣Φ的行向量的元素滿足

(1)

根據GCMM的構造過程，GCMM的所有元素的取值范圍為[-1,1]，因此可選取為μ=1。

如果信號f在正交基Ψ上是稀疏的，此時的μ描述的是高斯分布循環測量矩陣Φ的行向量和信號f的稀疏變換矩陣Ψ列向量之間的不相干性。需考慮

(2)

式中：φi為高斯分布循環測量矩陣Φ的行向量；φt為稀疏變換矩陣Ψ的列向量。

任意一個循環矩陣C都可以表示為

(3)

式中：N為測量矩陣的列數；F為離散傅里葉變換矩陣(DFT矩陣)；F*為離散傅里葉變換矩陣的伴隨矩陣;φ1是循環矩陣的第一行。高斯分布循環測量矩陣Φ是循環矩陣C根據上述第一部分構造得的。

由以上循環矩陣的表示方法，可以將內積<φi,φt>表示為

(4)

(5)

其中，Yw為

(6)

因為d中的元素都是相互獨立的，所以Yw中的元素也都是相互獨立且有界的，即

其中，aw為

根據Hoeffding不等式[14]，得到

(8)

其中，

(9)

由Parseval定理可知

(10)

(11)

(12)

式中，c為常數。

(13)

因此以1-δ的概率，高斯分布循環測量矩陣的行向量與系數變換正交基Ψ的列向量之間的不相干性滿足如下關系

(14)

因此，選取μ=2c·lg(2N2/δ)

2.2 均向性或無向性(Isotropy Property)

機械振動信號f在正交基Ψ下具有稀疏表示時，要考慮測量矩陣Φ和稀疏變換矩陣Ψ的乘積矩陣ΦΨ的行向量的均向性。

如果信號f在時域上是稀疏的，只需要考慮由服從高斯分布的隨機向量φ1生成的循環矩陣Φ的行向量的均向性。其中Φ的具體形式如下

即驗證

(15)

測量矩陣Φ的M個行向量φk～IID(獨立同分布)，則

(16)

即E(φφ*)=I。所以測量矩陣Φ中的元素分布滿足均向性。實質上，均向性描述了服從高斯分布的元素具有單位方差且不相關。然而，如果信號f在正交基Ψ上是稀疏的，需要考慮矩陣ΦΨ的行向量的均向性。由于高斯分布循環測量矩陣Φ的行向量已經滿足均向性，根據稀疏變換基Ψ的正交性，矩陣或向量在基本初等變換下的元素滿足隨機分布的不變性，矩陣ΦΨ的行向量也滿足均向性。

以上給出了機械振動信號在正交變換基上是稀疏信號時，高斯分布循環測量矩陣的約束等距性的理論分析。

3 高斯分布循環測量矩陣的試驗仿真及性能分析

試驗對象為軸承型號6025-2RS，建立軸承外圈振動信號模型

(17)

以軸承型號6205-2RS為例，取其內徑d1、外徑d2、滾動體直徑d3、接觸角β和個數z分別為25 mm、52 mm、7.9 mm、 0.67 rad和9，轉頻fr=30 Hz，采樣頻率fs=1 024 Hz，則根據外圈故障頻率的計算公式為

(18)

得到其外圈故障頻率fo=104.03 HZ，設外圈發生故障時激發的載波頻率fc=3 000 Hz。m=3，n=5，Ari(i=1,2,3)、Aoj(j=1,2,3,4,5)和AI分別為0.1、0.2、0.3、0.3、0.4、0.33、0.2、0.1、0.38，φri(i=1,2,3)、φoj(j=1,2,3,4,5)和φI分別為0、3、2.5、0、2、6、4、4.5、3.3，衰減系數α為800。

首先利用高斯隨機測量矩陣對機械振動信號進行測量，取信號長度N=512，稀疏度K=134，壓縮測量值數M=268，稀疏變換采用正交傅里葉基，恢復算法采用正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)。采用相對誤差Rel-Err(Relative Error)作為恢復振動信號的評價指標，其中Rel-Err的定義為

(19)

(a)機械振動原信號

(b)機械振動恢復信號

(c)恢復誤差圖2 高斯分布循環矩陣測量的振動信號恢復結果Fig.2 The reconstruction result of GCMM for vibration signal

在同等仿真試驗條件下，對高斯分布循環測量矩陣的測量性能進行試驗。在高斯分布循環測量矩陣的構造過程中，除第1行外的，其它剩余的M-1行，每行隨機分別取出128、171、256、341個元素等四種情況，即隨機取出高斯分布循環測量矩陣每一行約1/4、1/3、1/2、2/3的元素，再乘以不同的隨機數，最終得到所需的測量矩陣；再對每行隨機分別取出128、171、256、341個元素，再乘以同一個隨機數，最終得到所需的測量矩陣，試驗結果如圖3和圖4所示，具體相對誤差數值如表1所示。可以看出，隨機取出的元素不論乘以不同的隨機數還是乘以同一個隨機數，都是取出的元素越多，得到的高斯分布循環矩陣的感知性能越好；相同試驗條件下，隨機取出的元素乘以不同的隨機數得到的高斯分布循環矩陣的感知性能要比乘以同一個隨機數得到的高斯分布循環矩陣的感知性能要好。

圖3 隨機取出的部分元素乘不同的隨機數構造的高斯分布循環測量矩陣的重構相對誤差隨壓縮測量數目的變化Fig.3 Reconstruction error as a function of the numbers of measurements with GCMM of randomly selected partial entries multiply by different random number

圖4 隨機取出的部分元素乘同一個隨機數構造的高斯分布循環測量矩陣的重構相對誤差隨壓縮測量數目的變化Fig.4 Reconstruction error as a function of the numbers of measurements with GCMM of randomly selected partial entries multiply by the same random number

其次，采用不同的測量矩陣對機械振動信號壓縮測量值進行恢復并對其效果進行比較。比較的測量矩陣有高斯矩陣、循環矩陣和高斯分布循環矩陣，其中高斯分布循環矩陣是隨機取出256個元素乘不同的隨機數構造得到的，如圖5所示。可以看出，該試驗中采用的高斯分布循環矩陣的感知性能略好于高斯隨機測量矩陣的性能，整體上基本一致。

最后，分析比較了高斯隨機測量矩陣、循環測量矩陣和高斯分布循環測量矩陣所占用的存儲量，如表2所示。

從表1和圖5可知，三種測量矩陣的重構相對誤差隨壓縮測量數目的整體發展趨勢，具體的測量值數目和對應的相對誤差如表1所示，當m<268時，相對誤差非常大；當m=268時，相對誤差就急劇減小，達到了近似精確重構，而m>268時，相對誤差會逐漸減少但變化非常小且測量值數目增多帶來計算量增大，仿真試驗進一步驗證了壓縮測量重構條件，最終從相對誤差和計算量兩方面綜合考慮得到最優的測量值數目是268。

基于以上的試驗結果分析，可以得出，隨機取出除第1行的其它剩余M-1行中，每行的256個元素乘不同的隨機數構造得到的高斯隨機矩陣，其感知性能與高斯隨機測量矩陣的感知性能大體一致，且兩者占用的存儲量也相同，但是，高斯分布循環測量矩陣含有確定性成分，易于硬件實現，這是優于高斯隨機測量矩陣的方面；在振動信號重構要求不高的情況下，從計算復雜度、存儲量、測量矩陣的硬件實現等方面綜合考慮，高斯分布循環測量矩陣的感知性能要優于高斯隨機測量矩陣。

表1 相對誤差

表2 存儲量

4 結 論

本文將高斯序列的優點和循環矩陣的構成原理相結合，提出了高斯循環矩陣的構造方法。高斯循環矩陣不僅集成了循環原理的內在確定性優點，而且利用高斯序列的外在隨機性來滿足測量矩陣對隨機性的要求。循環原理的內在確定性和高斯序列的外在隨機性的集成使得所構造的高斯循環矩陣的綜合性能優于傳統的測量矩陣，高斯循環矩陣與高斯隨機矩陣、循環矩陣相比具有諸多優越性，運用在機械振動信號的壓縮采集中，具有實際的價值。

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A structured random measurement matrix GCMM for mechanical vibration signals

GUO Junfeng，SHI Jianxu，WEI Xingchun，LEI Chunli

(School of Mechanical and Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

When the compressed sampling theory is applied in mechanical vibration signal acquisition, the existing random measurement matrix occupies a large storage space, the process of compression acquisition and reconstruction need to handle a large amount of computation problems. Here, Gaussian distribution cycle measurement matrix (GCMM) was proposed by integrating advantages of Gaussian sequences and the circulant theory. Firstly, the first row elements of GCMM were generated with a row vector obeying Gaussian distribution, all the remaining row vectors were generated through circular shift. Then part elements of all rows except the 1st row were taken out, each element was multiplied by the same random number or different ones, they were put back at the original position. Finally, the compressed measurement values of mechanical vibration signals obtained based on GCMM were used to reconstruct the original vibrating signals using the orthogonal matching pursuit algorithm. All the elements of GCMM satisfied he randomness requirements of the measurement matrix, the intrinsic certainty of the circulant principle also met the requirement of hardware implementation of the measurement matrix. Simulation results showed that the perception performance of GCMM is similar to that of Gaussian matrix, but the required storage space of GCMM is less than that of Gaussian matrix.

vibration signal; compressed sampling; Gauss sequence; cycle principle; structured random measurement matrix

國家自然科學基金資助項目(51465034)

2015-09-29 修改稿收到日期： 2016-02-26

郭俊鋒 男，博士，副教授，1978年生

施建旭 男，碩士生，1989年生

TP274

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.016