多元建模，巧解數學應用題

劉清

【內容摘要】什么是數學建模？其實質就是利用掌握的數學工具，將問題數字化，構建出模型，對實際問題進行解答。學生所掌握的各種定理、公式、方程式等都是具體的數學模型。數學就是將這些模型教授給學生，并引導學生如何建立數學模型。數學建模意識的滲透，對于學生來講，未嘗不是觀察、分析、綜合能力的一種拓展。

【關鍵詞】數學建模 實際問題 能力拓展

中學數學的一個重要組分就是應用題。應用題作為考察學生對數學知識的應用能力的一種題型，與實際生活、生產又密切相關，也正是中考命題的重點所在。應用題的直接求解難度一般較大，但是如果能夠通透題意，巧妙構建數學模型，就比較簡單快捷。也一定程度上可以鍛煉學生的創新能力。數學建模的起點并不高，也很容易掌握，同時也具備一定的趣味性。在實際教學中，我們應當鼓勵學生多思考，運用多種數學形式進行表達，多元建模，靈活運用，才能高效的解題。

一、函數模型，考慮變量

有些應用題可以通過現有的數學模型加以定量分析，把應用題進行數學化。在中學數學中，最為熟悉的現成的一種數學模型無疑就是函數模型。聯系題目中給出的信息和已經掌握的函數知識，充分考慮變量，便不難解出題目，得出答案。

例題1：甲城有300噸肥料，乙城有200噸肥料，而C、D兩鄉剛好需要500 噸肥料，從甲運往C地一噸20元、D地一噸25元，從乙運往C地一噸15元、D地一噸24元。現在要運往C地240噸，剩下的260噸則全部運往D地，為了將運費降到最低，請你幫忙設計一個合理的方案？顯而易見，這道題目實質上是對一次函數最小值的求解。設從甲運x噸到C，那么乙就運（240-x）到C，從甲運（300-x）到D，從乙運[200-（240-x）]到D，可以得出函數：運費y=20x+ 25（300-x）+15（240-x）+24[200-（240- x）]=4x+10140。既然要使運費最少，則x取值為0，此時函數有最小值y=10140。將函數最小值10140代入原函數式，就不難得出答案了。

這一類題目比較簡單，學生掌握一定的數學知識，具備一定的數學思維就不難建立起正確的函數模型。而模型一旦建立，得出結果也就順理成章。

二、方程模型，找出變量

在生活中，有著多種多樣的等量關系，自然也有不等關系，對于這一類型的實際應用題，建立方程模型無疑是最為簡便的。理清楚題目給出的條件，找出題目中的變量，明確好未知量與已知量之間的關系，就可以把模型很容易的建立起來。

很簡單的一道題目，某一個車站運來了三車辣椒和六車豆角，總重為2580千克，其中，一車辣椒的重量為260千克，那么，一車豆角有多重？首先，總重量與辣椒的單位重量是已知的，題目也給出了各自的數量，按照所求未知量與已知量的等量關系，設每車豆角重量為xkg，可以得出方程2580= 3×260+6x，得出一車豆角重300千克。再比如，有一個人得了感冒，兩輪傳染之后發現有121人得病了，那么，在每一輪的感染過程中，一個人平均傳染給了幾個人？這道題的難點在于變量是第二輪的基數，不能忽略掉最初的感染源，找出變量之后，方程就不難建立了，設該變量為（1+x），根據題意建立起方程1+x+x（1+x）=121，最后得出結果平均一個人傳染給了10個人。

在建立方程模型的過程中，尋找變量也是對學生思維能力的鍛煉，是對學生對問題的分析解決能力的有效提升。方程在絕大多數應用題中都與其他數學模型相結合，這就要求學生學會靈活審題，多元建模。

三、統計模型，估計整體

概率統計作為初中數學的一大知識板塊，經濟發展的今天，統計愈來愈顯示出其重要性，掌握好統計模型，對解決應用題無疑有著極大的幫助。這類題目的難點在于學生往往不清楚什么時候應該建立統計模型。

例題：某個公司的銷售部有十五名銷售人員，經理計劃制定一種商品的月銷售量，經過統計這十五名銷售人員的月銷售量之后，得出下表：

假如銷售部的經理額定每個銷售人員每月的銷售額為320件，你覺得是否合理？

這是一道典型的統計學問題，乍一看沒頭沒腦的320讓很多學生都不知如何下手，實則只要要從整體進行估計，建立起統計模型就十分簡單了。銷售補的額定應該是大多數人都可以達到的。計算了平均數、中位數和眾數之后，可得出結果分別為320、210、210。然而因為1800明顯比其他銷售員的銷售量高出太多，所以得出的平均數并不具有客觀性，根據中位數與眾數可以得出這個額定并不合理，210無疑更為合適。

統計題看似簡單，但必須學會從整體出發，建立起完整的數學模型，綜合題目所給出的多方條件，整合有效信息，才能得出正確答案。

總而言之，初中階段的應用題解答中，老師要逐步將多元建模的解題思路滲透給學生，引導學生因題而異，靈活運用各種數學模型將實際問題轉換為數學問題，力求做到高效而簡潔的解答。對數學模型的巧用、活用是保證應用題拿到高分的不二法寶。

（作者單位：江蘇省高郵市城北中學）