基于二次函數(shù)圖像的若干問題探究

何東泉

摘 要：二次函數(shù)自身具有較強(qiáng)的圖形屬性，函數(shù)圖像性質(zhì)清晰，因此可以作為一種圖形工具，用以求解一些其他章節(jié)以及考點(diǎn)中的題目。本文將基于數(shù)形結(jié)合的思想，淺析二次函數(shù)圖像如何用于求解一元二次方程、一元二次不等式以及恒成立問題。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù) 數(shù)形結(jié)合 函數(shù)圖像

引言

從自身來看，二次函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)板塊和常見考點(diǎn)，主要考題包括解析式的確立、值域范圍的求解、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、圖像平移[1]等。

除了單獨(dú)作為高中數(shù)學(xué)的考點(diǎn)外，二次函數(shù)還能夠延伸到其他的問題之中，在不等式、方程等章節(jié)中應(yīng)用頻繁。數(shù)形結(jié)合[2]的思想指的是：“數(shù)”和“形”往往是分不開的，有時(shí)抽象的代數(shù)問題可能會具有直觀、易懂的幾何含義，此時(shí)借用簡單的圖像去求解數(shù)量上的關(guān)系，能夠達(dá)到事半功倍的效果。二次函數(shù)的圖像是拋物線，具有一些特殊的、明晰的幾何性質(zhì)，因此也可以用二次函數(shù)圖像的“形”求解一些復(fù)雜的代數(shù)問題，比如一元二次方程根的求解、恒成立問題等。本文將主要結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析如何使用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)求解一些常見的相關(guān)題目。

一、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

1.一元二次方程與不等式的解法

在求解一元二次方程和一元二次不等式的相關(guān)問題時(shí)，可以借助二次函數(shù)的圖像進(jìn)行求解：一元二次方程的根其實(shí)就是二次函數(shù)的圖像和e軸的交點(diǎn)；一元二次不等式的求解則可以根據(jù)二次函數(shù)圖像的遞增、遞減的性質(zhì)，得出題目所要求的滿足條件的未知數(shù)集合。由此，二次函數(shù)與這兩種題型建立了聯(lián)系，是重要的解題工具。

在解這類問題時(shí)，考生必須要根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，建立起三者之間的聯(lián)系，既要充分利用圖像的性質(zhì)，也要靈活變通或進(jìn)行轉(zhuǎn)換，具體來看可以使用一道基礎(chǔ)的題型來說明這類問題的解法，例題：求滿足不等式x2-5x+2<26的解的集合。解題步驟如下所示。

2.一元二次方程求根問題的拓展

首先給出一道相關(guān)的例題：已知關(guān)于x的方程x2+mx-4=x有兩個根，分別記做x1與x2，如果x1與x2的絕對值均大于1，求參數(shù)m的取值范圍。

一般情況下，處理這些題目的基礎(chǔ)步驟是先要根據(jù)二次函數(shù)的解析式在直角坐標(biāo)系中描繪出相應(yīng)的函數(shù)圖像：二次函數(shù)常用的表示方法是y=ax2+bx+c且a不為0，根據(jù)a的正負(fù)可以確定圖像的開口方向，由“左同右異”的口訣可以根據(jù)a和b確定圖像對稱軸的位置，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)c的符號可以給出圖像與y軸交點(diǎn)的位置，匯總來看，需要確定二次函數(shù)的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、遞增區(qū)間與遞減區(qū)間、與坐標(biāo)軸（x軸、y軸）交點(diǎn)的情況。在此基礎(chǔ)之上，很多代數(shù)難題就變得更加直觀、易懂，能夠利用圖形屬性得以迎刃而解。

在上述例題中，解題步驟如下所示。

3.二次函數(shù)與恒成立問題

二次函數(shù)的圖像與不等式、方程之間的關(guān)系可以拓展出許多課題，恒成立問題便是典型的代表。恒成立問題[3]指的是：不等式或等式無論變量取何值時(shí)都能夠成立，在此條件下求解參數(shù)的取值范圍。

二次函數(shù)在恒成立題目中的應(yīng)用主要有兩類題型，一類是在全部實(shí)數(shù)域上的恒成立，此時(shí)做法比較簡單，若ax2+bx+c大于0恒成立，則根據(jù)圖像性質(zhì)可知，拋物線開口向上且與橫軸無交點(diǎn)，即a大于0且判別式b2-4ac小于0；另一類問題是在某一區(qū)間內(nèi)的恒成立，此類題目就要具體問題具體分析，更加需要在“數(shù)”與“形”之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，也更能檢驗(yàn)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力和理解數(shù)學(xué)涵義的深入程度。這類問題雖難，但是本質(zhì)上依然是建立起不等式與函數(shù)圖像之間的關(guān)聯(lián)，比如當(dāng)m≤x≤n時(shí)x2+bx+c大于0恒成立，可由此可以繪制如下三種情況的圖像，則對應(yīng)的三個條件分別是：①-b/20，②m≤-b/2≤n且b2-4c<0，③-b/2>n且f（n）>0，三個條件解集的并集即為最終答案。

結(jié)語

根據(jù)近年來的高考經(jīng)驗(yàn)，將二次函數(shù)作為解題工具的考題越來越多，且題型多變、綜合性強(qiáng)，這就要求教師在平時(shí)要注重培養(yǎng)學(xué)生們觀察與分析的能力，學(xué)生們也要融會貫通，深入理解二次函數(shù)圖像與這類題目的內(nèi)在聯(lián)系，難題便可迎刃而解。

參考文獻(xiàn)

[1]黃興豐， 湯炳興， 龔玲梅，等. 經(jīng)驗(yàn)教師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略的個案研究——以九年級“二次函數(shù)圖像平移”的教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2012（1）：44-49.

[2]劉希棟. 數(shù)形結(jié)合“惑”然開朗——對一個困惑“補(bǔ)救措施”的剖析[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)， 2016， 55（8）：52-54.

[3]章榮學(xué). 含參不等式恒成立問題的解法[J]. 讀寫算：教師版， 2015（1）：88-89.