關于間接測量的平均值問題探討

李研海

(吉林省永吉實驗高中，吉林 永吉 132200)

關于間接測量的平均值問題探討

李研海

(吉林省永吉實驗高中，吉林 永吉 132200)

物理實驗中大多數被測量都是間接測出的,為了減小偶然誤差,通常多次測量以平均值作為真實值,究竟是對直接測量量取平均,還是對間接測量量取平均,本文棄繁就簡通過案例分析加以研討,并抒己見．

直接測量； 間接測量； 算術平均值； 線性關系； 離散程度

很多物理量都是間接測量的,所謂的間接測量是指由一個或幾個直接測得量經已知函數關系計算出被測量量值的測量．為了減小偶然誤差，通常都進行多次測量,并用算術平均值作為測量值,那么究竟是對直接測量量取平均,還是對間接測量量取平均呢?

1 問題由來

1.1 直接間接兩可說

物理實驗中大多數被測量都不是用儀器直接測出的,在討論實驗原理時,找出此被測量和某些直接測得量之間的函數關系(測量公式),間接測量就是依據此關系,將間接測量轉化為若干直接測量,再用直接測量值求出間接測量值．

設間接測得量y=y(x1,x2,…,xm),其中x1,x2,…,xm為不同的直接測得量．現在對x1,x2,…,xm各測量n次．計算間接測量值有兩種方法.

方法A:求出各直接測量值的算術平均值,將其代入測量公式,算出間接測量值,即

方法B:從各直接測量值中,分別取一個數值,計算y值,可得n個y值,取其平均值為間接測量結果,即

從理論分析可知,兩種方法求出的結果并不一致,但是實際上在大多數情形下,它們的差異甚小或沒有差異,因此可根據問題選用一種．

例如,測單擺的擺長l及周期T,求重力加速度g，測量數據見表1.

表1

方法A:g=4π2×101.155/2.0172=981.6016 cm/s2.

方法B:g=(983.50+979.13+975.93+987.91)/4=981.6175 cm/s2.

兩方法的差異出現在第5位,對此實驗從第5位開始已無意義,因此可認為兩種方法的結果是一致的[1]．

1.2 直測平均否定說

測定金屬電阻率的注意事項: (1) 為了減小金屬絲橫截面積帶來的誤差,測量直徑時用螺旋測微器在金屬絲的3個不同位置各測量1次,取平均值．(2) 測量金屬絲的長度應該在接入電路后且在拉直的狀態下進行,為減小誤差測量3次取平均值．(3) 為了減小實驗誤差,測量金屬絲的電阻時一般電流I、電壓U測量多次,求出對應的電阻后取電阻的平均值,不能對U、I取平均[2]．

對于間接測量的物理量取平均值問題,第1種觀點認為,對直接測量值和對間接測量值兩種方法均可．第2種觀點中,金屬絲的直徑、長度及電壓、電流同樣都是直接測量值,為什么對電壓、電流就不能取平均呢?上述兩種觀點是否矛盾,究竟孰是孰非,在處理實驗數據時該怎么做呢?下面我們避開繁難的誤差理論,通過具體案例加以分析與探討．

2 案例分析

案例1.表2是測某一電阻的實驗數據,試求待測電阻的阻值．

表2 電阻的測量

可見,對于這一實驗,無論對直接測量值U、I取平均,還是對間接測量值R取平均,結果幾乎是一致的．如果利用實驗數據作出U-I圖像,可以看出,所有數據點幾乎在一條直線上,因此兩種方法所得結果幾乎相等;倘若所有數據點絕對在一條直線上,那么兩種方法所得結果將嚴格相等,這緣于U與I為線性函數之故．

案例2.表3是測量玻璃磚折射率的實驗數據,求玻璃磚的折射率．

表3 測量玻璃磚折射率

可見,兩種方法所得結果明顯不同．筆者猜想,這可能是因為正弦函數圖像不是直線,折射角r跟入射角i不存在線性關系,即這些角度的正弦值不在一條直線上,所以對角度取算術平均值會出現較大的偏差,并且當幾個不同的入射角度取值相差越大,所求的結果偏差就越大,反之越小．

可以看出,兩種方法所得結果幾乎相等,從而證明上述猜想是正確的．

案例3.表4是用單擺測定重力加速度的實驗測量數據,試求重力加速度的數值．

表4 用單擺測定重力加速度

解法3：對間接測量值g取平均,有g1=9.800000 m/s2,g2=9.800000 m/s2,g3=9.7999995 m/s2,則加速度平均值為

需要說明的是,在上述運算中,為了防止截尾引入的誤差過大而掩蓋問題的本質,因此參與運算的數字都保留了較多的位數．可以看出,對直接測量值取平均與對間接測量值取平均所得結果明顯不同,這是因為時間t或周期T跟擺長l呈非線性函數的緣故,倘若幾次實驗的擺長相近,兩種方法所得結果也必相近,如果是對同一擺長進行幾次測量,兩種方法所得結果則幾乎相等．

3 筆者之見

3.1 取平均值注意的問題

取平均值必須注意3個問題,即對哪個量取平均、取何種平均(算術平均值、幾何平均值、調和平均值、加權平均值等)以及在什么范圍內取平均,本文所謂的平均皆指算術平均值,且在不同范圍內取平均所得結果往往不同．

3.2 兩種觀點不矛盾

“直接間接兩可說”中方法A,是指對同一條件(幾個直接測量值的離散程度極小,一般不超過儀器的最小分度值)下的幾個直接測量值取平均值．原例中是作者對擺長約為101.1cm(同一條件)的條件下進行的幾次擺長和周期測量,由于讀數的偶然誤差導致實驗測量數據各異;對不同條件(幾個直接測量值的離散程度很大)下的幾個直接測量值取平均,實非作者本意,不可曲解,若任意加以推廣可能會出現問題,有時甚至顯得荒謬．

前述的“直測平均否定說”中,測定金屬電阻率實驗,測金屬絲直徑和長度時,是對同一條件(直徑和長度未變)的直接測量值取平均．而測電阻時是對不同條件(不同電壓、電流)下間接測量值取平均,一般來說是不可行的,不過在這一實驗中對電流和電壓取平均也未嘗不可．

3.3 兩種平均勿濫用

從上述的案例分析可知,無論何種情況,對間接測量值取平均總是切實可行的．而對直接測量值取平均是有條件的.

(1) 只有當兩個直接測量值存在線性關系時,既可以對間接測量值取平均,也可以對直接測量值取平均,且在多大范圍內取平均都行(與離散程度無關)．

(2) 當兩個直接測量值不存在簡單的線性關系,例如指數函數、對數函數、三角函數等，對不同條件下的直接測量值,在大范圍內取平均,將會引起較大的誤差;只有當所測的幾個直接測量值極為接近時(離散程度較小),即較小范圍內才可以對直接測量值取平均．對同一條件下的幾個直接測量值取平均值是完全可以的．

就物理實驗中的間接測量而言,對間接測量值取平均最為穩妥可靠,且無條件限制,對不同條件下的幾個直接測量值取平均,務必慎重,最好不用,但并非絕對不行,只不過有條件限制．關鍵是正確理解,靈活運用．

1 楊述武.普通物理實驗(一、力學·熱學部分)第2版[M].北京:高等教育出版社，1990:30-31.

2 杜志建.試題調研特輯·高考5年真題分類詳解物理[M].烏魯木齊:新疆青少年出版社，2013:129.

2016-11-28)