偽補Ockham代數核理想同余關系的注記

趙秀蘭， 陳麗娟

(1.黃河科技學院數理部， 鄭州450063；2.河南工程學院理學院， 鄭州451191)

偽補Ockham代數核理想同余關系的注記

趙秀蘭1， 陳麗娟2

(1.黃河科技學院數理部， 鄭州450063；2.河南工程學院理學院， 鄭州451191)

Ockham代數；偽補Ockham代數；理想；核理想；同構

Blyth和Varlet首次在文獻[1]中研究了偽補Ockham代數(L;∧,∨,f,*0,1)，簡稱pO代數，它是一個(2,2,1,1,0,1)類型的代數類，是在有界分配格上賦予兩個一元運算f,*的代數，(L;∧,∨,f,0,1)∈O,(L;∧,∨,*0,1)∈p且一元運算f,*滿足交換律(p代數，Ockham代數，pO代數的詳細信息見文獻[2-5])。在泛代數研究領域，對代數結構的研究，一直是本專業學者關注的方向。借助理想和濾子是認識Ockham代數類的結構及同余關系的一個重要工具，特別是核理想與余核濾子，根據核理想與余核濾子同余關系反映Ockham代數類的結構見文獻[6-14]。在文獻[6]中，作者借助核理想與余核濾子的同余關系刻畫了偽補Ockham代數的結構。本文將在文獻[6]的基礎上，進一步的探討、刻畫偽補Ockham代數核理想同余關系的性質特征，反映偽補Ockham代數屬性。

1基本知識

定義2[15]設(L;∧,∨)是一個格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想。

定義3[1]設(L;∧,∨,0,1)是一個有界分配格，其上賦予兩個一元運算*和f，且(1)(L;*)∈p;(2)(L;f)∈O;(3)(x∈L)f(x*)=[f(x)]*,稱(L;∧,∨,*,f,0,1)是偽補Ockham-代數(簡稱pO-代數)。

定義4[6]設(L;∧,∨,f,*,0,1)∈pO，θ是L的一個格同余關系，若(x,y)∈θ?(x*,y*)∈θ,(f(x),f(y))∈θ，則稱θ是L的同余關系。符號ConL表示L的全體同余關系構成的集合。

引理1[6]設L∈pO，I是L的理想，則下面的條件成立：I是L的核理想當且僅且(?a∈L)a∈I?a**,f(a*)∈I。

引理2[6]設L∈pO，I是L的核理想，則I=KerRI，其中同余關系RI定義為：(x,y)∈RI?(?a∈I)x∧a*=y∧a*。

設(L;∨,∧,f,*)是一個偽補Ockham代數，在文獻[6]中，由核理想I能構造一個與核理想對應的同余關系，那么，核理想與核理想對應的同余關系能否構成一一對應。

2主要結果

設L∈pO，符號I(L),Ik(L)分別表示L的理想和核理想構成的集合，則I(L),Ik(L)之間存在下列關系。

定理1Ik(L)是I(L)的一個子格。

證明令I,J∈Ik(L)，下證I∧J,I∨J∈Ik(L)。

設x∈I∧J,則x∈I,x∈J。又因I,J∈Ik(L)，由引理1知，x**,f(x*)∈I且x**,f(x*)∈J，故x**,f(x*)∈I∧J，又由引理1知，I∧J∈Ik(L)。

令x∈I∨J，由引理1知，存在i∈I及j∈J使得x≤i∨j。由文獻[6]知，x**≤i**∨j**和f(x*)≤f(i*)∨f(j*)，又因I,J∈Ik(L)，所以由引理1知，i**∈I,f(i*)∈I且j**∈J,f(j*)∈J。因此x**,f(x*)∈I∨J。從而由引理1得I∨J∈Ik(L)。所以Ik(L)是I(L)的一個子格。

設L是一個偽補Ockham代數，I是L的一個核理想，具有核理想I的最小同余關系RI，沿用文獻[6]中的定義，即(x,y)∈RI?(?a∈I)x∧a*=y∧a*。設L∈pO，θ,φ∈ConL，定義L上的一個等價關系，(x,y)∈θ°φ?(?z∈L)(x,z)∈θ,(z,y)∈φ。顯然，θ°φ是L上的同余關系。

若θ,φ∈ConL，且θ,φ滿足關系式θ°φ=φ°θ，則稱同余關系θ,φ具有同余置換性。對于任意的I,J∈Ik(L)，則RI,RJ具有同余置換性。

定理2設L是一個偽補Ockham代數，I,J∈Ik(L)，則RI°RJ=RJ°RI。

證明假設(x,y)∈RI°RJ,則存在z∈L，使得(x,z)∈RI,(z,y)∈RJ，于是存在i∈I,j∈J，有x∧i*=z∧i*,z∧j*=y∧j*，所以x∧i*∧j*=y∧i*∧j*。

令s=(x∧j*)∨(y∧i*)，從而可得

同理可證，RJ°RI?RI°RJ。所以，RI°RJ=RJ°RI。

下面，探討偽補Ockham代數的核理想及其同余關系之間的聯系。

定理3設L是一個偽補Ockham代數，I,J∈Ik(L)，則I?J?RI?RJ。

證明設I,J∈Ik(L)，I?J，根據RI,RJ的定義，可得RI≤RJ。

另一方面，設I,J∈Ik(L)，RI≤RJ，則KerRI≤KerRJ。由引理2知，I=KerRI,J=KerRJ，所以I?J。定理得證。

定理4設L是一個偽補Ockham代數，則Ik(L)?Ck(L)。

證明顯然，R{0}=ω(相等關系)及RL=ι(泛同余關系)。

先證對任意的I,J∈Ik(L)，有RI∧RJ=RI∧J。由定理1知，I∧J∈Ik(L)。因為I∧J≤I,I∧J≤J，故由定理3知，RI∧J≤RI,RI∧J≤RJ，所以RI∧J≤RI∧RJ。

設(x,y)∈RI∧RJ，由文獻[15]知，(x,y)∈RI且(x,y)∈RJ。因此存在i∈I,j∈J使得x∧i*=y∧i*,x∧j*=y∧j*，于是有x∧(i∧j)*=y∧(i∧j)*，又因i∧j∈I∧J，所以(x,y)∈RI∧J，故RI∧RJ≤RI∧J，所以RI∧RJ=RI∧J。

證對任意的I,J∈Ik(L)，有RI∨RJ=RI∨J。由定理1知，I∨J∈Ik(L)。由于I∨J≥I,I∨J≥J，由定理3知，RI∨J≥RI,RI∨J≥RJ，所以RI∨J≥RI∨RJ。

設(x,y)∈RI∨J，則存在i∈I及i∈J使x∧i*∧j*=y∧i*∧j*，于是有

因此(x,y)∈RI∨RJ，從而有RI∨J≤RI∨RJ，故RI∨RJ=RI∨J。又因RI=RJ當且僅當I=KerRI=KerRJ=J，因此映射：I→RI建立起Ik(L)→Ck(L)的一一對應，所以Ik(L)?Ck(L)。

3結束語

本文在文獻[6]的基礎上，對偽補Ockham代數的核理想同余關系作了一個補充，借助偽補Ockham代數的核理想判別定理以及具有核理想同余關系表達式，獲得了偽補Ockham代數核理想及其同余關系同構的結論。這一結論有助于了解偽補Ockham代數的代數結構。

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A Note on the Ideal Congruence Relations on Pseudocomplement Ockham Algebras

ZHAOXiulan1,CHENLijuan2

(1.Department of Mathematics and Physics, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China; 2.College of Science, Henan Institute of Engineering, Zhengzhou 451191, China)

Ockham algebra; pseudocomplemented Ockham algebra; ideal; kernel ideal; isomorphism

2017-01-16

國家自然科學基金(11302072)

趙秀蘭(1982-)，女，河南商水人，副教授，碩士，主要從事序代數結構方面的研究，(E-mail) xiulanz@126.com

1673-1549(2017)02-0098-03

10.11863/j.suse.2017.02.19

O153.1

A