氣動模型在現代氣動試驗設計中的應用研究

唐志共, 王文正,*, 陳 功, 袁先旭

(1. 空氣動力學國家重點實驗室, 四川 綿陽 621000; 2. 中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

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氣動模型在現代氣動試驗設計中的應用研究

唐志共1,2, 王文正1,2,*, 陳 功1,2, 袁先旭1,2

(1. 空氣動力學國家重點實驗室, 四川 綿陽 621000; 2. 中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

簡要比較分析了MDOE方法相對于傳統OFAT方法的優勢，研究了MDOE方法的關鍵影響因素。研究表明氣動模型是現代試驗設計的關鍵因素之一，提出基于氣動模型的試驗設計新方法。為此，文章研究了一類帶電纜罩的軸對稱飛行器的氣動數學模型，并以三角級數的形式給出了模型的通用形式。以某飛行器為對象，以飽和D-最優為準則，分別采用三角級數模型和常用的響應面模型，開展了氣動模型對現代試驗設計的影響研究，驗證了氣動數學模型在現代試驗設計中的重要作用以及試驗設計新方法的有效性，獲得了有價值的研究結果。

現代試驗設計方法；氣動模型；風洞試驗；飛行器

0 引 言

風洞試驗目前普遍采用傳統的OFAT(One Factor At a Time)方法[1]，它是一種基于數據的、以數據為中心的方法。普遍的試驗理念是在保證高質量條件下、最大限度利用資源，生產最多的風洞試驗數據。風洞試驗質量則用風洞試驗單個數據點(曲線)的重復性(試驗間隔相對較短時間)和可再現性(試驗間隔相對較長時期)來評估。

為提高風洞試驗效率，降低試驗成本，提高風洞試驗數據的精準度，自20世紀90年代以來，美國NASA蘭利研究中心開始創新發展基于現代試驗設計(Modem Design of Experiments, MDOE)的風洞試驗方法[2-5]?，F代試驗設計方法是集試驗設計、試驗實施和試驗分析全過程的一體化系統方法。與傳統的OFAT相比，MDOE方法追求的是能夠使試驗誤差風險降低到可接受程度所必須的最少的數據點，而不是進行大量的風洞試驗來獲取大量數據，強調通過合理設計試驗和精選少量精準度高的試驗來提高通過數學模型獲取數據的精準度，它使風洞試驗從傳統的獲取“數據”(data)向獲取數據中蘊含著的“知識”(knowledge)轉變。

在方法方面，MDOE已發展狀態選取方法、方差分析方法[5]及數據分區方法等；在應用方面，MDOE已在常規風洞試驗設計[6-7]、天平校正[8]、轉捩位置研究[9-10]等方面得到應用。氣動數學模型通常采用基于多項式的響應面模型，基本形成了一套完整的方法。

風洞試驗設計的最終目的是形成一個風洞試驗運行表，指導試驗的實施。本質上來講，試驗設計過程需要回答兩個問題：1) 需要多少個數據點？2) 這些數據點怎么選取？要回答兩個問題其關鍵在于確定合適的氣動數學模型，因為在MDOE方法中，試驗點個數決定于兩個方面：一是需要有足夠的數據用于建立數學模型，使得該數學模型在一定范圍內能反映獨立變量和響應變量之間的變化關系；二是還需要有額外的數據對數學模型進行評估，檢驗能否滿足設計精度要求?？梢姡瑲鈩訑祵W模型在現代試驗設計中占有重要的地位，合理的氣動數學模型是實現MDOE方法的關鍵因素。

然而，在現有的MDOE研究中都以響應面模型為基礎，并未開展氣動模型的變化對MDOE效果影響的研究。為此，本文首次開展了氣動模型在現代氣動試驗設計中的影響研究，以提高對氣動模型在MDOE中重要性的認識，提出基于氣動模型的氣動試驗設計方法。

1 一類軸對稱飛行器氣動力數學模型

現代飛行器中有一大類屬于軸對稱布局，具有軸對稱特性和鏡像對稱特性。本節研究如何利用軸對稱特性和鏡像對稱特性建立這類飛行器的氣動力數學模型[11]，以區別于常用的響應面模型。

1.1 基于軸對稱特性和鏡像對稱特性的氣動力數學模型

在一般情況下，空氣動力系數的函數關系式取決于速度向量方位、操縱面的偏轉角和相對于重心的旋轉角速度。如果只考慮空氣動力系數靜態分量,其氣動力模型為：

式中,η、φn分別為總迎角和氣動滾轉角;δx為滾轉(副翼)操縱面的當量偏轉角;δ、φδ按下列關系決定升降舵當量偏轉角δz和方向舵當量偏轉角δy：

δz=δcosφδ

當η、δ和δx一定時，由表達式(1)確定的空氣動力系數就是兩個幅角的某種函數F(φn,φδ)，它在一般情況下任意偏轉是周期性的，其周期是每個幅角的2π值。對于這種情況，應該把空氣動力系數函數關系式寫成二重三角級數的形式來求解：

式中級數的系數ai,j和bi,j是角η、δ和δx的函數。利用對稱特性對表達式進行展開和簡化。

1) 軸對稱特性。飛行器相對于縱軸轉動一個與2π/n(令Δφ=2π/n)成倍數的角度后，如果速度向量V和舵面偏轉角向量δ在空間保持方位不變，并不改變作用到飛行器上的氣動力的總向量和氣動力矩總向量。

2) 鏡象對稱特性。當鏡象映射時，相對垂直于對稱鏡面平面的速度向量V、舵面偏轉角向量δ和副翼偏轉角δx，作用于對稱鏡面平面內的力和力矩不變號，而作用在垂直面內的符號反號。

1.2 針對小不對稱特性的模型修正

很多飛行器主體上屬于軸對稱布局，但外形是軸不對稱的，不對稱的原因是在表面上有各種形式的突出物——控制部件的電氣和液壓通路(整流罩)、無線電通訊的天線整流罩、管箍等。突出物的縱向尺寸可能與飛行器的縱向尺寸是同一個量級，而突出物上有代表性的橫向尺寸顯著地小于飛行器尺寸，因此飛行器的氣動特性與軸對稱外形有較小的差別。雖然差得小，但會影響飛行器的空氣動力，特別是會破壞軸對稱飛行器有代表性的空氣動力特性函數關系式的形式。因此，必須建立描述軸不對稱飛行器對其空氣動力特性可能影響的數學模型。

假設突出物的存在對飛行器操縱面的效率沒有實質性的影響。此時，小的軸不對稱飛行器的空氣動力系數函數關系式可以寫成下式：

式中，F為空氣動力系數，如cx、cyn、czn、mx、myn和mzn；Fdc(η,φn,δ,φδ,δa)是與軸對稱外形相對應的空氣動力系數的分量；Fns(η,φn)是由軸不對稱布局引起的空氣動力系數的增量。

通常突出物位于兩個位置中的一個：尾翼平面內或在其分角面內。突出物的這樣布置要求飛行器盡可能有一個鏡像對稱面。鏡像對稱面以相對于縱軸OX作順時針轉動來與OXY平面重合，這個轉角定義為鏡像對稱面的方位角φr。利用鏡像對稱性，Fns(η,φn)滿足如下關系：

對于系數cx、cyn和mzn：

對于系數czn、mx和myn：

2 研究的思路及方法

本文的主要目的是開展氣動力模型在現代氣動試驗設計中的影響研究，增強對氣動模型在MDOE中的作用和地位認識。為此，選取上節給出的三角級數模型和常規的響應面模型為研究對象，并僅考慮單個影響因素(本文以滾轉力矩隨氣動滾轉角變化的模型為對象)進行研究。

基于上節的研究結果，滾轉力矩系數的三角級數數學模型關于氣動滾轉角的一般形式為：

其中，φr為電纜罩位置。

常規的滾轉力矩系數的響應面模型關于氣動滾轉角的一般形式為：

式(6)和式(7)給出了滾轉力矩數學模型關于氣動滾轉角的一般形式，由無窮多項組成，無法應用。因此，還需要確定滾轉力矩數學模型項數及對應項。數學模型的確定過程首先依據滾轉力矩數學模型關于氣動滾轉角的一般形式，形成候選模型集，再利用試驗數據，采用逐步回歸法、正交最小二乘法等確定模型的具體形式。

在已確定模型的情況下，試驗設計主要是選擇設計點，使已知模型的系數能夠獲得最優的估計(在一定準則下的最優)，并使模型的預測誤差滿足要求。本文采用D-最優設計準則[12]，即最小化待估系數置信度橢球體積的設計。

3 算 例

3.1 對象模型建立

圖1給出了某飛行器馬赫數2時，無舵偏的滾轉力矩風洞試驗試驗數據。氣動滾轉角從-90°到90°間隔5.625°，共33個狀態。

對于三角級數模型，模型的項數越少，所需的最少試驗量越小。采用五項、六項和七項三角級數模型，基于全部試驗數據，建模平均誤差分別為10%、8.8%和8.4%。如果把建模誤差控制在10%以內，則六項三角級數模型為該對象最簡化數學模型，具體形式為：

圖1 風洞試驗得到的飛行器滾轉力矩系數Fig.1 Roll moment coefficient of a vehicle by wind tunnel test

mx=mx0+mx1sin(4φn)+mx2sin(8φn)+mx3sin(φn-135°)+mx4sin(3(φn-135°))+mx5sin(5(φn-135°))

(8)

其中，mx0～mx5為待估計系數，φn為氣動滾轉角。利用試驗數據，模型系數mx0～mx5的估計值分別為0.177 24、0.866 40、-0.055 31、0.111 56、-0.071 89、0.097 06。圖2給出了總迎角η=30°時，該滾轉力矩模型與試驗數據的對比。由圖可見，模型預測值與試驗數據符合較好，建模精度較高。

圖2 六項級數模型與試驗數據對比(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)Fig.2 Comparison of six series model and test data (Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)

3.2 試驗設計

依據式(8)，采用D-最優設計準則，按照試驗狀態對置信度橢球體積的影響大小，對試驗狀態進行排序。依次剔除影響最小的數據點，直到剩下6個為止。表1給出了依次剔除的試驗狀態點(對數學模型越不重要的點，越先被剔除)，氣動滾轉角-45.0°最先被剔除，-61.875°最后被剔除。

表1 飽和D-最優設計依次剔除的試驗狀態點Table 1 A series of eliminated data points by saturation D-optimal design method

圖3給出了三角級數模型預測相對誤差隨試驗點不斷減小后變化的情況，在試驗數據減少量小于16的情況下，模型預測相對誤差并不隨試驗數據的減少而顯著增加，甚至略有減??；當減少量超過17至22時，模型預測相對誤差突升，超過9.5%；當減少量超過22時，模型預測相對誤差再次突升，超過11%。因此，可以根據對模型預測精度的要求，對試驗狀態進行設計。

圖4給出了六項三角級數模型的最優最小數據需求的試驗方案，紅點即為對應的最佳試驗狀態點。圖5給出了六項三角級數模型利用最優最小數據方案建立的模型預測值與全部試驗數據的比較?？梢姡叻陷^好，平均預測誤差為11.4%。

圖3 三角級數模型預測相對誤差隨試驗點變化情況Fig.3 Variation of relative prediction error of trigonometric series model with the number of test data

圖4 三角級數模型MDOE最優最小數據需求試驗方案Fig.4 Optimum and minimum data number for MDOE test scheme of trigonometric series model

為了研究不同模型對MDOE的影響，同樣選取如下經優化篩選后的六項響應面模型進行建模和試驗方案優選。

圖6給出了響應面模型預測相對誤差隨試驗點不斷減小后變化的情況。由圖可見，在試驗數據減少量小于22的情況下，模型預測相對誤差，隨試驗數據的減少而緩慢增加，大約為13%～14%；當減少量超過25后，模型預測相對誤差突升至24%。

圖7給出了響應面模型的最優最小數據需求的試驗方案，其中紅點即為對應的最佳試驗狀態點。

圖8給出了六項響應面模型利用最優最小數據方案建立的模型預測值與全部試驗數據的比較。可見，二者整體趨勢符合較好，局部誤差較大，平均預測誤差為24%。

圖5 三角級數模型預測值與試驗值的比較(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)Fig.5 Comparison between prediction of trigonometric series model and test data(measurement)(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)

圖6 響應面模型相對誤差隨試驗點變化情況Fig.6 Variation of relative prediction error of response surface model with the number of test data

圖7 響應面模型MDOE最優最小數據需求試驗方案Fig.7 Optimum and minimum data number for MDOE test scheme of response surface model

圖8 響應面模型預測值與試驗值的比較(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)Fig.8 Comparison between prediction of response surface model and test data(measurement)(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)

通過以上基于兩種模型MDOE試驗方案對比可以看出，采用MDOE方法能夠大幅減小試驗數據量，提高試驗效率，但不同氣動模型對MDOE試驗點的選取和模型預測精度都有很大影響，三角級數模型更適合于軸對稱飛行器氣動力建模。

4 結 論

本文簡要介紹了現代試驗設計方法的基本概念和過程，分析了MDOE方法相對于傳統OFAT方法的優勢。通過研究帶電纜罩的一類軸對稱飛行器關于氣動滾轉角的氣動數學模型，給出了模型的通用形式，并基于該模型，以某飛行器風洞試驗數據為對象，開展了試驗設計研究，得出了以下結論：

1) 氣動數學模型在MDOE方法中具有重要作用，它不僅決定了試驗設計點的選取，還對模型的預測精度有較大影響；

2) 在滿足一定的模型預測精度要求的前提下，采用MDOE可大大減少試驗數據量；

3) 試驗點選取越多，氣動模型的預測精度不一定越高，這里有一個優化的問題；

4) 飽和D-最優設計方法在風洞試驗設計中基本可行，它的大小與預測誤差的大小基本一致。

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Research on the application of aerodynamic models in modern design of aerodynamic experiments

Tang Zhigong1,2, Wang Wenzheng1,2,*, Chen Gong1,2, Yuan Xianxu1,2

(1.StateKeyLaboratoryofAerodynamics,Mianyang621000,China;2.ComputationalAerodynamicsInstituteofChinaAerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,Mianyang621000,China)

This paper briefly analyzes the advantage of Modem Design of Experiments (MDOE) contrast to One Factor At a Time (OFAT) test method, and tries to find the key influence factors of MDOE. A new design method of experiments is presented based on aerodynamic models. The research shows that aerodynamic model is one of the key elements of MDOE. In order to prove that, this paper first gives a common trigonometric series model for a kind of axial symmetry vehicle with electrical cable cover. Then, taking a certain flight vehicle as an example, this paper researches the effects of trigonometric series and response surface aerodynamic models on MDOE, according to saturation D-optimal rule. This research shows that aerodynamic model play an important role in MDOE and the new design method of experiments is effective. Some valuable conclusions have been reached.

MDOE; aerodynamic model; wind tunnel experiment; flight vehicle

0258-1825(2017)02-0172-05

2015-10-26;

2016-04-25

國家自然科學基金(91216203)

唐志共(1965-),男,廣西桂林人,研究員,博士,主要從事空氣動力學研究. E-mail: tangzhigong@126.com

王文正*(1968-),男,四川簡陽人,研究員,博士,主要從事飛行力學與飛行控制研究. E-mail:success850012@163.com

唐志共, 王文正, 陳功, 等. 氣動模型在現代氣動試驗設計中的應用研究[J]. 空氣動力學學報, 2017, 35(2): 172-176.

10.7638/kqdlxxb-2015.0190 Tang Z G, Wang W Z, Chen G, et al. Research on the application of aerodynamic models in modern design of aerodynamic experiments [J]. Acta Aerodynamica Sinica, 2017, 35(2): 172-176.

V211.3

A doi: 10.7638/kqdlxxb-2015.0190