聚焦高考中簡易邏輯的經典問題

■陜西省洋縣中學 劉大鳴(特級教師)

高考對簡易邏輯的考查主要以 “命題的四種形式及真假的判斷、充分必要條件的合理判斷及與創新題交匯、含簡單的邏輯聯結詞的命題真假判斷、命題的否定、復合命題真假的判斷及應用”等經典問題呈現,凸顯簡易邏輯的工具性及交匯性。

聚焦1 命題的四種形式

(2015年山東高考卷)設m∈R,命題“若m＞0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是( )。

A.若方程x2+x-m=0有實根,則m＞0

B.若方程x2+x-m=0有實根,則m≤0

C.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m＞0

D.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m≤0

解析：在大前提的條件下利用原命題的逆否命題的定義進行改寫,命題的逆否命題是將原命題結論的否定作為條件,將原命題條件的否定作為結論,故選D。

感悟：在寫四種命題時,首先,把大前提保留,其次,要把原命題寫成“若p,則q”的形式,要注意分清原命題的條件p與結論q,逆命題需把條件與結論對調,否命題需把條件與結論都進行否定,逆否命題需把原命題的條件與結論都否定并對調。

變式1 (2017年江蘇省泰州中學高三模擬卷)命題“若x2+3x-4=0,則x=-4”的逆否命題及其真假性為( )。

A.“若x=-4,則x2+3x-4=0”,為真命題

B.“若x≠-4,則x2+3x-4≠0”,為真命題

C.“若x≠-4,則x2+3x-4≠0”,為假命題

D.“若x=-4,則x2+3x-4=0”,為假命題

解析：根據逆否命題的定義可以排除A,D。因為x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命題為假命題,逆否命題也為假命題,選C。

聚焦2 四種命題的真假判斷

(2014年陜西高考卷)原命題為＜a,n∈N,則{a}為遞減數n+n列”,關于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是( )。

解析：利用四種命題之間的關系,研究原命題和逆命題的真假。若＜an,n∈N+,則an+1＜an,{an}為遞減數列,原命題為真命題,故其逆否命題也是真命題。原命題的逆命題:若 {an}為遞減數列,n∈N+,則＜a,該命題為真命題,原命題的否n命題也為真命題,故選A。

A.真,真,真 B.假,假,真

C.真,真,假 D.假,假,假

感悟：判斷一個命題的真假,用直接法判定命題為真命題,需要嚴格的推理過程,由命題條件推出結論正確;要判定一個命題為假命題,只需舉出一個反例就行;當判斷某個命題的真假無從入手或比較繁雜時,可依據“原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假”判斷其逆否命題的真假性,稱為等價轉化法。

變式2 (2017年全國大聯考)原命題“a,b為兩個實數,若a+b≥2,則a,b中至少有一個不小于1”,下列說法錯誤的是( )。

A.逆命題為:若a,b中至少有一個不小于1,則a+b≥2,為假命題

B.否命題為:若a+b＜2,則a,b都小于1,為假命題

C.逆否命題為:若a,b都小于1,則a+b＜2,為真命題

D.a+b≥2是a,b中至少有一個不小于1的必要不充分條件

解析：由a+b≥2可以得到a,b中至少有一個不小于1,但a,b中至少有一個不小于1不一定能得出a+b≥2,所以原命題為真,逆命題為假,則逆否命題為真,否命題為假,命題的否定形式為假,A、B、C選項都正確。而對于選項D,a+b≥2是a,b中至少有一個不小于1的充分而不必要條件,故選項D說法錯誤。

聚焦3 充分條件與必要條件的判定

(2017年天津高考卷)設θ∈R,則”是“sinθ＜”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：本題考查絕對值與三角不等式有關的充分條件與必要條件的判斷,判斷充分性可用正弦函數的單調性,?0＜θ＜,由正弦函數在區間(0 ,)上單調遞增,可得sinθ＜;必要性不成立,令θ=π,sinθ＜,不滿足。則“”是“sinθ＜”的充分而不必要條件,故選A。

感悟：充要條件的判斷有“定義法”、“集合法”、“等價命題轉化法”,要注意所涉及知識點的含義,堅持“雙向推理”的原則,能推出一定要說明原因,推不出要舉出反例。命題否定形式的充要條件的判斷,一是從反面入手,利用原命題與逆否命題的等價性,二是要對邏輯聯結詞“或”“且”深刻理解,并在分清條件和結論的基礎上推理判斷。

變式3 (2017年原創押題預測卷)已知數列{an},{bn}滿足bn=an+an+1,則“數列{an}為等差數列”是“數列{bn}為等差數列”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：若數列{an}為等差數列,設其公差為d1,則bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1=an+2-an=2d1,所以數列{bn}是等差數列;若數列{bn}為等差數列,設其公差為d2,則bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=d2,不能推出數列{an}為等差數列,所以“數列{an}為等差數列”是“數列{bn}為等差數列”的充分不必要條件,選A。

聚焦4 充分、必要條件與新定義交匯

(2011年湖北高考卷)若實數a,b滿足a≥0,b≥0,且ab=0,則稱a與b互補。記φ(a,b)=-a-b,那么φ(a,b)=0是a與b互補的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：依據新定義和充分、必要條件的判斷方法,進行推理。充分性,由φ(a,b)=0可得=a+b,ab=0,故a,b中至少有一個為0。不妨設a=0,代入=a+b,可得=b,故b≥0,滿足互補定義,則a與b互補。必要性,實數a,b滿足a≥0,b≥0,且ab=0,則a=0或b=0,不妨設a=0,所以φ(a,b)=-a-b=-b=0;同理b=0時,φ(a,b)=0。綜上可知,φ(a,b)=0是a與b互補的充要條件,選C。

感悟：對新定義與充分、必要條件的判斷,首先分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質弄清楚,并能夠應用到充分、必要條件的判斷過程之中,這是破解新定義型問題的關鍵所在。

變式4 (2007年湖北高考)若數列{an}滿足=p(p為正常數,n∈N*),則稱{an}為“等方比數列”。甲:數列{an}是等方比數列;乙:數列{an}是等比數列。則甲是乙的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由等比數列的定義知,若乙:{an}是等比數列,公比為q,則,則甲命題成立;反之,若數列{an}是等方比數列,即=q2,故=±q,公比不唯一,不符合等比數列定義,則命題乙不成立,故選B。

聚焦5 對含有邏輯聯結詞的命題真假的判斷

(2017年山東高考卷)已知命題p:?x∈R,x2-x+1≥0;命題q:若a2＜b2,則a＜b。下列命題為真命題的是( )。

A.p∧q B.p∧﹁q

C.﹁p∧q D.﹁p∧﹁q

解析：先確定命題的形式,再判斷命題的真假,最后按真值表確定復合命題的真假。特稱命題p為真找到一個值即可,當x=0時x2-x+1≥0成立,知p是真命題。命題q為全稱命題,不成立可舉反例,由12＜(-2)2,1＞-2可知q是假命題。由命題和命題的否定一真一假知,﹁q為真,由真值表可得p∧﹁q是真命題,故選B。

感悟：全稱命題為真時需證明,為假時舉反例即可;特稱命題為真時需舉一個例子,為假時要證明全稱命題為真。復合命題的真值表可記為:有真“或”為真,有假“且”為假,命題和命題的否定一真一假。

變式5 (2017年原創押題預測卷)已知命題p:?x0∈R,sinx0+cosx0=;命題xq:函數f(x)=-()有一個零點,則下列命題為真命題的是( )。

A.p∧q B.p∨q

C.﹁q D.p∧(﹁q)

圖1

解析：因為sinx+cosx=2sin(x +) ∈[-2,2],所以命題p是假命題。在同一直角坐標系下作出函數y=與的圖像,如圖1所示。由圖1知,兩個函數的圖像只有一個交點,所以函數f(x)的零點只有一個,故命題q是真命題,所以p∨q是真命題,選B。

聚焦6 根據命題的真假性求參數的可能取值

(2017年北京高考卷)能夠說明“設a,b,c是任意實數,若a＞b＞c,則a+b＞c”是假命題的一組整數a,b,c的值依次為_____。

解析：證明不等式恒成立為假命題,可取一組特殊值,如-1＞-2＞-3,但-1+(-2)=-3,所以驗證是假命題。

感悟：對于不等式恒成立問題的判斷,一般采用舉反例法。解答本題時可利用賦值的方式,舉反例進行驗證,答案不唯一。

變式6 (2017年湖南郴州質檢卷)若命題p:“?x0∈R,使2x0-2≤a2-3a”是假命題,則實數a的取值范圍是_____。

解析：“?x0∈R,使2x0-2≤a2-3a”是假命題,等價于?x∈R,2x-2＞a2-3a恒成立。由函數2x-2的值域知,只需-2≥a2-3a,解之得1≤a≤2,即實數a的取值范圍是[1,2]。

聚焦7 全稱量詞和存在量詞的否定

(2016年浙江高考卷)命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )。

A.?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2

B.?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2

C.?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2

D.?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2

解析：?的否定是?,?的否定是?,于是“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定是?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2,故選D。

感悟：對含有存在(全稱)量詞的命題進行否定,需要 “改量詞,否結論”,即把全稱量詞與存在量詞互換,然后否定原命題的結論。

注意命題的否定與否命題的區別:“否命題”是對原命題“若p,則q”的條件和結論分別加以否定而得到的命題,它既否定其條件,又否定其結論;“命題的否定”,只是否定命題的結論,含量詞時切記“全稱量詞”與“存在量詞”互換,含聯結詞時注意“且”與“或”的互換。

變式7 (2017年湖南張家界二模)命題“?n∈N,f(n)?N且f(n)≤n”的否定形式是( )。

A.?n∈N,f(n)∈N且f(n)＞n

B.?n0∈N,f(n0)∈N且f(n0)＞n0

C.?n∈N,f(n)∈N或f(n)＞n

D.?n0∈N,f(n0)∈N或f(n0)＞n0

解析：?n0∈N,f(n0)∈N與f(n0)＞n0至少有一個成立,故選D。

聚焦8 由含量詞的命題的真假求參數的最值或取值范圍

(2015年山東高考卷)若“?x∈,tanx≤m”是真命題,則實數m的最小值為______。

解析：求含量詞的不等式恒成立問題中的參數范圍,可合理轉化為求正切函數的值域。

若“?x∈,tanx≤m”是真命題,則m≥f(x)max,其中f(x)=tanx,x∈

函數f(x)=tanx在上為增函數,故f(x)max=1,m≥1,m的最小值為1。

感悟：全稱命題中的不等式恒成立問題,可合理利用正切函數的性質求值域,意在考查同學們綜合利用所學知識解決問題的能力,凸顯等價轉化思想的具體應用。

變式8 (2017年山東濰坊聯考)已知m∈R,命題p:?x∈[-1,1],x2-2x-4m2+8m-2≥0成立;命題q:?x∈[1,2],(x2-mx+1)＜-1成立。如果“p∨q”為真,“p∧q”為假,求實數m的取值范圍。

解析：若p為真:?x∈[-1,1],4m2-8m≤x2-2x-2恒成立。

設f(x)=x2-2x-2,配方得f(x)=(x-1)2-3,所以f(x)在[-1,1]上的最小值為-3。因此,4m2-8m≤-3,解得≤m。所以當p為真時,≤m≤。

若q為真:?x∈[1,2],使x2-mx+1＞2成立,所以m＜在 [1 ,2]上能成立。

設g(x)==x-,易知g(x)在[1 ,2]上是增函數,所以g(x)的最大值為g(2)=,m＜,q為真時,m＜。

因為“p∨q”為真,“p∧q”為假,所以p與q一真一假。

綜上所述,實數m的取值范圍是