常用邏輯用語單元檢測題（B卷）參考答案

一、選擇題

1.A 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.B

10.A 提示:當a=-3時,圓(x-3)2+y2=4的圓心為(3,0),半徑r1=2,與圓x2+y2=1相外切;當兩圓相內切時,a=±1,故選A。

11.D 12.D 13.B

14.B 提示:命題p為假,因為當x＜0時,2x＞3x。命題q為真,因為f(x)=x3+x2-1在(0,+∞)內單調遞增,且f(0)=-1＜0,f(1)=1＞0,所以在(0,1)內函數f(x)必存在零點。則﹁p∧q為真命題,故選B。

15.A

16.A 提示:函數f(x)=x2-4ax+3的對稱軸為x=2a,則在 [2 a ,+∞)上函數遞增;若函數f(x)=x2-4ax+3在區間[2,+∞)上為增函數,則2a≤2,得a≤1。

所以“a=1”是“函數f(x)=x2-4ax+3在區間2,+∞[)上為增函數”的充分不必要條件。

17.D 18.B 19.B

20.A 提示:由題意得,“lgy為lgx,lgz的等差中項”,則2lgy=lgx+lgz?y2=xz,故“y是x,z的等比中項”;而當y2=xz時,如x=z=1,y=-1時,“lgy為lgx,lgz的等差中項”不成立,所以“lgy為lgx,lgz的等差中項”是“y是x,z的等比中項”的充分不必要條件。

21.D 提示:當A、B均為銳角時,由函數的單調性及不等式的性質知都成立;當B為銳角,A為鈍角或直角時,且A、B為三角形的內角,所以≤A＜π,0＜B＜,A+B＜π,即,B＜π-A＜,故tan＞tan,sinB＜sin(π-A)=sinA,cosB＞cos(π-A)=-cosA≥0,所以cos2A＜cos2B。

22.B

23.C 提示:A.可以推得為既不充分也不必要條件;B.可以推得=為必要不充分條件;C.為充分不必要條件;D.同B。所以選C。

42.(2) 提示:(1)中命題的否定為?x0＞0-x0＞0;(2)中A＞B得a＞b由正弦定理得,故sinA＞sinB;(3)中由“an,an+1,an+2成等比數列”可得=anan+2”成立,反之不成立,如an+1=an=an+2=0時;(4)中只有當lgx＞0時函數f(x)的最小值為2,所以真命題為(2)。

43.a≤-2或a=1

44.[1,+∞) 提示:由題設可得p,q都為假命題,命題p:?x0∈R,mex0+1≤0,則﹁p:?x∈R,mex+1＞0,恒成立是真命題,即m＞-＜0?m≥0;命題q:?x∈R,

24.D 25.C 26.D

27.D ﹁q∧r是真命題意味著﹁q為真,q為假(乙沒得第二名)且r為真(丙得第三名);p∨q是真命題,由于q為假,只能p為真(甲得第一名),這與p∧q是假命題相吻合;由于還有其他三名隊員參賽,只能肯定其他隊員得第二名,乙沒得第二名,故選D。

28.B 29.C 30.C

二、填空題

31.真 32.1 33.?x∈R,2x2-3x+9≥0 34.充要

35.若ac≤0,則方程ax2-bx+c=0(a≠0)的兩根不全大于0

36.3≤m＜8 37.充分不必要 38.②④39.-3≤a≤0 40.[3,+∞) 41.[-1,6]x2-2mx+1＞0是假命題,故﹁q:?x0∈R-2mx0+1≤0是真命題,故4m2-4≥0,m≥1或m≤-1,則m≥1,m的取值范圍為[1,+∞)。

45.(-∞,2]

46.(0,2) 提示:﹁p是﹁q的充分不必要條件,等價于p是q的必要不充分條件。由題意得f(x)為偶函數,且在(0,+∞)單調遞增,在(-∞,0)單調遞減,由p:f(x+1)＞f(2x-1)得f(|x+1|)＞f(|2x-1|),即|x+1|＞|2x-1|,解得0＜x＜2。

由q:(x-1)(x-m)≤0,知m的取值范圍是(0,2)。

47.a≤-2或a=1 提示:對?x∈[1,2],x2-a≥0,即a≤(x2)min=1,即命題p:a≤1;?x0∈R,x2+2ax+2-a=0,即x2+2ax+2-a=0有實根,則4a2-4(2-a)≥0,解得a≥1或a≤-2,即命題q:a≥1或a≤-2;因為命題“p且q”是真命題,所以a=1或a≤-2,即實數a的取值范圍是a=1或a≤-2。

48.(1,2]∪[3,+∞)

49.0＜a≤或a≥1 提示:p:0＜a＜1;函數y=lg(ax2-x+a)的定義域為R,等價于?x∈R,ax2-x+a＞0,則:

若p∨q為真命題,p∧q為假命題,則p真q假或p假q真,即:

三、解答題

50.逆命題:若x=2且y=-1,則+(y+1)2=0,是真命題。

否命題:若+(y+1)2≠0,則x≠2或y≠-1,真命題。

逆否命題:若x≠2或y≠-1,則+(y+1)2≠0,真命題。

51.(1)這一命題可表述為p:對任意的實數m,方程x2+mx-1=0必有實數根。其否定為﹁p:存在一個實數m,使方程x2+mx-1=0沒有實數根。因為該方程的判別式Δ=m2+4＞0恒成立,所以﹁p為假命題。

(2)﹁p:對于所有的實數x,都滿足3x≥0。顯然﹁p為真命題。

(3)﹁p:若an=-2n+1,則?n∈N,Sn≥0。﹁p為假命題。

(4)﹁p:所有偶數都不是質數。﹁p為假命題。

52.P={x|a-4＜x＜a+4},Q={x|1＜x＜3}。因為x∈P是x∈Q的必要條件,所以x∈Q?x∈P,即Q?P。

53.充分性:因為a2+b2=0,所以a=b=0,f(x)=x|x|。

因為f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|,所以f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數。

必要性:若f(x)為奇函數,則當x∈R時,f(-x)=-f(x),即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立。

令x=0,則b=-b,b=0;令x=a,則2a|a|=0,a=0。故a2+b2=0。

54.由(x-a)(x-3a)＜0,其中a＞0,得a＜x＜3a。a＞0,則p:a＜x＜3a,a＞0。

由≤0,得2＜x≤3,即q:2＜x≤3。

(1)若a=1,解得2＜x≤3,若p∧q為真,則,同時為真,即解得pq2＜x＜3,實數x的取值范圍(2,3)。

(2)若﹁p是﹁q的充分不必要條件,即q是p的充分不必要條件,則:

55.當命題p為真時,Δ=4a2+4a≥0,得a≥0或a≤-1;當命題q為真時,(a+2)·x2+4x+a-1≥0恒成立,a+2＞0且16-4(a+2)(a-1)≤0,即a≥2。

由題意得,命題p和命題q一真一假。

當命題p為真,命題q為假時,a≤-1;

當命題p為假,命題q為真時,a不存在。

故實數a的取值范圍為(-∞,-1]。

56.(1)因為對任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,所以(2x-2)min≥m2-3m,即m2-3m≤-2,解得1≤m≤2。即p為真命題時,m的取值范圍是[1,2]。

(2)因為a=1,且存在x∈[-1,1],使得m≤ax成立,所以m≤1,即命題q滿足n≤1。

因為p且q為假,p或q為真,所以p,q一真一假。

綜上所述,m＜1或1＜m≤2。

57.必要性:因為a+b=1,所以b=1-a。

故a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0。

充分性:a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,(a2-ab+b2)(a+b-1)=0。

又ab≠0,即a≠0且b≠0,故a2-ab+b2=(a -≠0,只有a+b=1。

綜上可知,當ab≠0時,a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0。

因為p為真命題,m≥-1。

當p為真命題時,實數m的取值范圍為[-1,+∞)。

故q為真命題時,m≤。

(2)因為p∨q為真命題且p∧q為假命題時,所以p、q一真一假。

因為x∈(-∞,0)且＞0,所以＜0,故y=在(-∞,0)上是減函數。

要使f(x)=log)在(-∞,0)上3a是減函數,應滿足3a＞1。

(2)由(1)知,若p為真命題,則＜a＜2。

若q為真命題,則函數f(x)=的值域為[0,+∞)。

所以42-20a≥0,解得a≤。

因為p∨q為真命題,p∧q為假命題,所以p、q一真一假。

故實數a的取值范圍為 (- ∞,]∪,2)。