讀懂學生，突破難點

摘 要：《認識整體的幾分之一》一課教學，以課前問卷和訪談了解學情為基礎，在抽象與形象中架橋、在正確與錯誤中辨析、在有限與無限中提升，使教學難點切實有效地得到突破，從而提升學生思維，完善學生認知。

關鍵詞：抽象與形象 正確與錯誤 有限與無限

一、問題與分析

“認識整體的幾分之一”是蘇教版小學數學三年級下冊的教學內容，它承接三年級上冊“分數的初步認識”，同時又為五年級學習“分數的意義”奠定基礎，有著承上啟下的作用。由認識一個物體的幾分之一到認識一些物體，即一個整體的幾分之一，這是認識分數的一次大發展，更是思維認知的一個大跨越。這一內容教學，學生認知的起點和教學的難點在哪里？為了解學生的真實學情，教學前我們發放了一份學習任務單（見圖1），讓學生嘗試完成。

學習任務單

猴媽媽把一盤桃（6個）平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？請你先用圓片分一分，再寫一寫。

本班共46人，發放學習任務單46份，回收有效學習任務單45份。將學習任務單收集整理后，發現學生的答案可謂“五花八門”，統計結果見表1。

為了更全面客觀地了解學情，我們還在同年級選擇了兩個平行班同步摸底，結果顯示，選擇答案B和C的學生都比較多。為了把握學生的思維軌跡，對于答案B、C、D，我們選取了學生代表訪談，以了解他們的真實想法，探索答案的由來。訪談反饋如下：

答案B的代表：把一盤桃平均分成2份，每份中都有3個桃，所以用32來表示。

答案C的代表：這盤桃一共有6個，平均分成2份，每份都有3個，所以每只小猴分得的就是36

答案D的代表：每個小猴分了其中的一份，一份是3個，所以是13。

不難發現，這幾個錯誤答案存在共同的問題，即學生將平均分的份數、桃的總個數、取的份數、每份桃的個數這幾個量混淆在一起。分數概念本質上反映的是部分與整體之間的數量關系，而本節課的教學內容是把多個物體組成的整體平均分，用分數表示其中的一份與平均分的份數之間的關系。由于學生原有的對分數的認識加上中年級學生具體形象思維的特點，物體的具體個數對分數概念的建立產生了干擾。所以，上述幾種錯誤也都在情理之中，這也成了本節課教學的一大難點。

以往教學中，為了突破“一些物體”這個難點，大多數做法是將一盤桃用一塊布蓋起來，讓學生在看不到具體個數的情況下先思考：將這盤桃平均分給兩只小猴，初步想象“每只小猴分得這盤桃的12”。然后，揭開這塊“神秘的面紗”，將桃子的個數分別展現：如果這盤桃是6個，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？8個、50個、100個……呢？在學生回答的基礎上，教師引導介紹“把這些桃看成一個整體，平均分成2份，每份就是這盤桃的12”。

這種做法試圖通過用布蓋住盤子先隱藏桃的具體個數，來引導學生將這盤桃看成一個整體來平均分。但此時學生容易產生好奇和疑惑：到底這盤桃有幾個？在教師的引導下，學生即便說出每只小猴分得12，也只是頭腦中的初步想象，離開對具體形象“分一分”的支撐，對于部分學生來說，理解還是不夠清晰和透徹。加上最終還是要揭開“神秘的面紗”，分數的認識仍然要直面具體物體的個數這個窠臼。蓋上布初步感受到的12和具體個數還是存在模糊不清的關系，認知沖突和思維難點依然存在。如何直面認知沖突，突破難點呢？

二、對策與實踐

既然物體的具體個數容易對學生認知產生干擾，模糊學生對分數本質的認識，那么就要想方設法將具體的個數與分的份數之間架上一座橋梁，從而幫助學生比較清晰地認識分數的本質特征。經過一番思考，教學流程如下——

首先讓學生嘗試用6個圓片代替6個桃分一分，將分的結果記錄下來并匯報。教師巡視發現學生中出現12、32和36的結果，將這幾個結果板書在黑板上，暫不評價。教師不直接告知學生“應把這些桃看成一個整體，平均分成2份，每份就是這盤桃的12”，也暫不否定32和36這兩個錯誤結果，而是創設這樣一個小情境：猴媽媽要把一盤桃（6個）平均分給2只小猴，可是小猴用手拿很不方便，聰明的猴媽媽給每只小猴發了1個盒子來放桃，請你分一分并說一說每只小猴分了這盤桃的幾分之幾？介紹完后，用乒乓球代替桃，請一名學生操作演示分的結果。

接著，引導學生觀察盤子里分的結果，想一想黑板上寫的這幾個分數，哪個符合分的結果？讓學生評價、交流、討論。此時，絕大部分學生都認為每只小猴分得這盤桃的12。理由是：這盤桃被平均放在2個盒子里，就是被平均分成了2份，所以每份用12來表示。此時再追問：32和36這兩個分數為什么不對？讓學生在討論交流中明確錯誤的原因，只要看分在幾個盒子里，就是被平均分成了幾份，每份就是總份數的幾分之幾，初步領悟到具體的個數與分的份數沒有直接的關系。

之后，再讓學生思考：如果這盤桃有8個，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？學生不約而同地回答是12。接著，請一名學生將桃分一分驗證，發現分的結果仍然是裝在2個盒子里，還是平均分成2份，每份是這盤桃的12。如果是20個、50個、100個……呢？學生異口同聲地說都是12，因為不管有多少個桃，只要平均放在2個盒子里，就是平均分成2份，所以都用12來表示；還有學生補充道：小盒子不夠裝，要換成大盒子，但還是把這些桃平均分成2份，每份就是它的12。

三、反思與啟發

（一）在抽象與形象中架橋

數學是研究現實世界中數量關系與空間形式的一門科學，抽象性是數學的本質——不僅數學概念是抽象的，而且很多數學方法也是抽象的。從認識論角度看，人們對客觀世界的認識過程多是由具體到抽象、由感性到理性。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“義務教育階段數學課程的設計，充分考慮本階段學生數學學習的特點，符合學生的認知規律和心理特征，有利于激發學生的學習興趣，引發學生的數學思考。”所以，在數學教學過程中，將抽象的數學知識與生動形象的教學手段相結合，能夠促進學生對知識的深刻理解和掌握。《認識整體的幾分之一》一課教學，難點是具體物體的個數會干擾抽象的分數概念的建立。學生特別容易將分的份數和具體的個數混淆。如果采用直接告知的方法，學生對于12的理解還是囫圇吞棗、模糊不清。而通過創設情境“運用盒子裝每只小猴分得的桃”，巧妙地將每份中桃的個數隱藏到盒子中，將思考點聚焦于盒子：2只小猴對應2個盒子，2個盒子對應分成了2份。這樣在抽象的知識和形象的教學手段之間，利用“盒子”這個橋梁，將分得的份數凸顯、具體桃的個數隱藏，在這一隱一顯中，學生對抽象的12的認識變得形象直觀、有理有據。

（二）在正確與錯誤中辨析

課堂上出現的錯誤資源是視而不見還是合理利用，這體現的是兩種截然不同的教學理念。一種是教師權威，強勢主導課堂，學生跟著教師的節奏走；另一種則是貼近學生思維，具有兒童視角，以學定教。上述教學中，當學生初步嘗試用分數表示每只小猴分得這盤桃的幾分之幾時，出現的32和36都是典型、具有代表性的答案。以往為了課堂的順風順水，這兩種錯誤答案很快被帶過或者直接被忽視，教師直接引導到正確答案12。實際上，通過前測后的訪談，仔細傾聽學生便會發現，這些錯誤答案的背后都有學生真實的思維軌跡，有他們自己認可的合理性。只有認真傾聽學生才能更好地理解學生，只有直面錯誤才能深刻地剖析錯誤背后的原因，從而針對問題的癥結點對癥下藥，尋求思考解決問題的方法。以上案例通過增加放桃的盒子這個環節，有效地突破了教學中理解的難點，引導學生在正確與錯誤之間自省、自得、自悟。表面上看，這樣的課堂與傳統課堂相比，課堂的節奏被拉長、放慢了，但深度和厚度卻增加了，真正體現了以生為本、以學定教。

（三）在有限與無限中提升

“數學是關于無限的科學”，其中無限的方面使學生充滿想象，對數學更多一份理性的思考。以上教學對分數12的認識，首先從分6個桃開始初步感知；接著分8個桃再次理解；最后分20個、50個、100個……隨著桃的個數從有限多個拓展到無限多個，原來裝桃的盒子已經不能裝下更多個桃，原來具體的生活問題上升到了抽象的數學問題。此時，學生的認知也上升到了另一個層次，即不管這盤桃有多少個，也不管是小盒子還是大盒子，只要平均分成2份，每份都是這盤桃的12。學生的思維脫離了具體的動手操作、脫離了盒子大小，只需借助之前形成的關于12的認知表象遷移類推便能完成。從幾個桃到多個桃，從有形的盒子到無形的想象，學生的思維從有限走向無限。再從不同個數的對比中尋找相同：為什么個數不同，都能用12來表示？使學生對于分數12的認識逐步上升到數學模型，凸顯出概念的本質特征，從而提升思維、完善認知。

《認識整體的幾分之一》一課教學，通過前測收集整理學生的作品，通過訪談分析讀懂學生的思維，在把握學情的基礎上，有效分析教學難點，從而針對性地設計出突破難點的對策和方法。這樣的教學基于學生、貼近學生，真正體現學生立場，做到以學定教，從而事半功倍地促進有效教學的落實。