攻克世界難題

4.1.1 哥德巴赫猜想證明及其成敗原因

摘要：人們為什么解答不了蓋世難題哥德巴赫猜想？到底怎樣才能攻克它？這是研究者首先要解答的問題。

攻克哥德巴赫猜想必須具備主觀客觀條件。客觀條件就是“物質”基礎：知識。無“米”下鍋是進攻失敗不可抗拒的客觀原因。主觀條件就是研究方法、能力。

所缺“新知識”或曰全新的數學基本概念、理論，就是連續合數、N值區間之排列、構成形式和規律。

“新方法”就是新的研究思路、計算方法、策略。具體而言，就是新的知識發現法；可以掃除“障礙”的宏觀戰略以及微觀戰役戰術研究法。

發現新知識新方法，克服論證失敗的客觀、主觀原因，問題迎刃而解。反之，應該知難而退。

作者學淺卻不乏此主觀客觀條件，順理成章證明了哥德巴赫猜想“1+1”式數的“區間下限”公式，迎刃而解了難題。

回頭看，突破基礎理論研究，發現了“新知識”，攻克哥德巴赫猜想挺簡單：數列2n由r個“2n值區間”構成，“1+1”式數下限公式=〉公式表明，每個“2n值區間”的“1+1”式數的下限不僅不小于1，而且隨r遞增而遞增。

關鍵詞：哥德巴赫猜想；論證；成敗；原因；方法

問題簡介：哥德巴赫猜想，是德國數學家哥德巴赫（C.Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在給大數學家歐拉的信中提出的。該猜想通常表述為如下兩個命題。

（1）每個>=6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。

（2）每個>=9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。

（2）是（1）的推論，證明了（1）就大功告成了。

在912年召開的第五屆國際數學會上，朗道說過，證明哥德巴赫猜想是現代數學家力所不能及的。

1921年，哈代在哥本哈根召開的數學會上說，哥德巴赫猜想的困難程度可以和任何沒有解決的數學問題相比。

1992年2月13日，中科院數研所所長王元等人在新聞發布會上稱，“200多年了，哥德巴赫猜想都沒被解開，因而再過幾十年，甚至100年也不稀奇”。

因此，該猜想被譽為“數學史上最偉大的猜想”、“世界超級難題”、“數學皇冠上的璀璨明珠”。

其研究經驗教訓、成果已經廣為人知，不必敘述。

4.1.1.1 證明哥德巴赫猜想的成敗原因

（1）論證哥德巴赫猜想成敗的主客觀原因

（說明：為了‘科普’研究常識、便于閱讀理解論文，筆者打破論文寫作慣例，‘創新’增寫了研究思路、方法、條件。如果不被認可，刪除本章便是。）

筆者發現，運用現有的知識不可能解答哥德巴赫猜想，攻克它非得有嶄新的知識不可。做不了無米之炊，至今近300年了，無數人研究由是功虧一簣。因此，未知的“新知識”成為進攻路上“不可逾越的障礙”，是論證猜想必然失敗的不可抗拒的客觀原因。沒有（能力）發現它們，以及怎樣利用它們消除障礙（‘利用’‘消除’必有對錯方法），是論證猜想失敗的主觀原因。

換言之，攻克哥德巴赫猜想必須具備主客觀條件，缺一不可。客觀條件就是“物質”基礎：知識。主觀條件就是研究方法、能力。

不言而喻，發現新知識新方法，克服論證失敗的客觀、主觀原因，問題迎刃而解。反之，應該知難而退。

不但研究哥德巴赫猜想必須具備主觀客觀條件，而且一切科學研究、發現、創新，都必須具備主觀客觀條件。

4.1.1.2 論證哥德巴赫猜想必備的新知識

論證失敗的客觀原因是“無米下鍋”，筆者探討數十年，終于確認此“米”，或曰新知識或曰全新的數學基本概念、理論，就是眾所周知其然而未知其所以然的數列、連續合數、N值區間之排列、構成形式、內涵和規律。

與論證失敗的主觀原因反其道而行之，發現新知識的正確方法，就是從客觀實際出發進行基礎理論研究，周全探討連續合數與N值區間排列、構成形式規律之“所以然”。

筆者僥幸發現了解答哥德巴赫猜想不可或缺的此兩類平常渺小的“新知識”，或曰數學基礎常識，并證明了“N值區間定理”“連續合數定理”（見下<兩項重大基礎理論突破>）。

4.1.1.3 論證哥德巴赫猜想成敗的方法

“新方法”就是新的研究思路、方法、策略。具體而言，就是新的知識發現法；可以掃除“障礙”的宏觀戰略以及微觀戰役戰術研究法。

a. 解答“1+1”可行性分析

英國杰出數學家哈代（GodfreyHarold）說：“能夠最終證明猜想的方法，應該與我與李特伍德的方法類似，我們不是在原則上沒有成功，而是在細節（有研究家改稱‘余項’‘波動’，筆者認為當叫‘誤差’）上沒有成功”。客觀地說，就是以“1+1”式數“連乘積公式”為代表的大師們的“1+1”答案數估計公式，都表明了“答案數”不僅不小于1，而且隨偶數增大而遞增的趨勢，雖然原則上已經證明了哥偶猜成立，似乎問題解決了。但是該公式存在“根本無法解決”的、從而引發貌似可能改變結論的質疑之“細節”問題。數學界因此不予認可，功虧一簣。此后許多數學家千方百計都攻而不克，“細節”成為攻克“1+1”的“不可逾越的”障礙。

總之，只要化解了“細節”（準確說，完全消除由‘細節’引發的猜想不成立的不實質疑），就大功告成。反之，找不到“細節”及其成因、化解方法，就束手無策。

b. 解答“1+1”的戰略方案

毫無疑問，要想攻克哥德巴赫猜想“1+1”，首先要做宏觀戰略考量，找到證明它的正確、可行的途徑、方法。

證明方案有哪些？哪種方案可行？障礙在哪里，成因是什么，怎樣掃除障礙？還沒有人提出討論這個問題。作者特地開頭，拋磚引玉。

從偶數表成兩自然數和的形式種類推知，可以采取的證明法有“窮舉（驗證）法”，顯然此路不通。“概率法”，即證明2n表成兩素數和的概率，雖可行，但難免被質疑“概率不等于必然”，或有例外。“篩（除合數）法”，“計算（‘答案數’）法”（兩法異名而已）。“公式法”，即證明n-x，n+x同時為素數，再證必有2n=（n-x）+（n+x）。“歸納法”，即證明“不大于（r-1）項素數2倍的偶數集，是奇素數列前r項兩兩素數之和的不同值集的子集”。“反證法”，即假定命題不成立，證明假設成立不成立。

筆者采取了不容置辯的“篩法”：從每個2n表成的所有兩自然數和式中，減去所有有合數和1的式子，都有余式必然是兩個素數和，則命題“1+1”成立。

c. 方案實施具體戰役困難

要篩除合數，必然產生下面的困難。

（1）哪些式子里有兩個、一個合數？

（2）怎樣計算減去有合數的式子？

d. 克服困難的戰術可行性手段

（1）根據合數的定義、性質，推知凡是素數2，3，5，7……直到不大于2n平方根的素數除開其1倍外的倍數，都是合數。

（2）改進革新慣常的（容斥公式）計算方法（在此不議其原因、兩法各自利弊），根據“篩法”運用“乘法分配律”計算，分別逐次減去2，3，5，7……直到不大于2n平方根的素數Pr除開其1倍外的倍數的數目。根據“素數的判定定理”推知，除開已經減去的合數外，余式內沒有合數了。

如果不取整運算，最后得出“1+1”式子數目的近似值（公式）；取整運算，假定每次減去的合數式子數都該進成整數，最后得出“1+1”式子數目的下限（公式）；假定每次減去的合數式子數都該舍成整數，最后得出“1+1”式子數目的上限（公式）。因此，此種證明法又叫“計算法”。

e. 決定公式生死的細節

這些公式都存在哈代指出的致命的“細節”問題。顯然，不必討論近似值公式、上限公式存在的“細節”，只需要研究化解下限公式的“細節”。該式存在以下“細節”問題。

（1）按公式計算，某些大偶數的“答案數”大于實際，或大于小偶數的“答案數”，而實際比小偶數少。

（2）不管多么小，公式存在取整計算誤差。

f. 細節的產生原因

產生細節1的原因有2。其一，連續合數任意多，兩數相差可能特別巨大，而它們內的素數一樣多。其二，各個偶數的素因子大小多少不同，導致減去有合數的式子數不同。

產生細節2的原因，是取整運算勢必舍去尾數或進成整數。

g. 化解細節的具體方法

（1）由《N值區間定理》《連續合數定理》知道，偶數列2n由r個“2n值區間”構成，連續合數任意多，所以特別限定：取每個“2n值區間”的下限即2n=Pr.Pr+1代入該式計算，其結果數就是該“2n值區間”的所有偶數的“1+1”式數的下限！因為有合數和1的式子已經全部減去，所以其它大于Pr.Pr+1的偶數之“1+1”式數比此下限只大不小。已知2n不大時命題（1）成立，該式“模糊約分”表明，2n稍大時不僅每個“2n值區間”的“1+1”式數下限都不小于1，而且隨著Pr增大遞增。因此“1+1”成立無疑。

（2）因為每次取整誤差不大于1；而r稍大每增大1“答案數”增大數不僅不小于1而且越來越大，所以再從該式即使減去加大的取整運算的誤差上限（r-2），結論也不會不變。

4.1.2 “1+1”式數“區間下限”公式

——確證哥德巴赫猜想

按照第一章論述，應用篩法原理、乘法分配律，根據“兩個新定理”，（接下，‘提’改‘摘’字、‘下確界’前添加‘區間’二字。非常抱歉，以下圖片筆者還原、修改不了。）。如附錄1所示。

攻克哥德巴赫猜想的功勞價值，數學界、媒體此前已經做出高度評價，人人皆知，沒必要介紹。

更正：（2）式上一行“}”應在“x”前。（4）（5）（6）就是……“式子數目”前掉了“最少”二字。

進、舍成整數號定義見下文。

第4頁第2行“反小”后加“以及得數大于實際”

“結論”“區間下限越大”后添加：也就是說2n稍大，每個2n值區間的素數和式數下限不僅不小于1，而且隨“2n值區間下限”增大而增大。因為有合數和1的式子已經全部減去，所以每個區間其它偶數的“1+1\"式數比該區間的\"1+1\"式數下限只可能多不可能少。

4.1.3 素數個數“區間下限”公式

此式與“摘珠式”雷同。k倍N的方根實際為k倍pr。

4.1.4 素數通項公式及其三類客觀構成形式

摘要：（1）證明該式的原理、依據

x=2n+（或-）1是客觀的奇數通項公式。

排除完上式的合數和1，余下的數全部是素數，即p=2n+（或-）1是客觀“按序排列”的“素數通項公式”。

4.1.5 素數通項公式 及其三類客觀構成形式

摘要 ：（1） 證明該式的原理、依據

x=2n+（或-）1是客觀的奇數通項公式。

排除完上式的合數和1，余下的數全部是素數，即p=2n+（或-）1是客觀“按序排列”的“素數通項公式”。

因此，解析n的素因子構成種類、形式，證明p必然是素數，就是客觀的素數的各種各類判定定理（公式）。p=2n+（或-）1是客觀的素數的各種各類判定（公式）統一表述。各類各種客觀的素數“判定公式”的等價逆命題就是客觀的各類各種素數的“表計公式”。2？+（或-）1=p=2n+（或-）1，能夠“按序排列”表計出客觀的“素數集合”。

總之，p=2？+（或-）1是“素數通項公式”p=2n+（或-）1的“判定公式”的逆向錄像式復原表述，是完全合符客觀實際“按序排列素數”的“素數通項（表計）公式”。

（2）尋找該式的成敗原因

理性認識尋找素數公式成敗的主觀客觀原因，總結經驗教訓，才有可能運用正確的研究辦法，發現兩千多年來數學界尋找無果的素數公式。

筆者力圖找到素數公式，預先科學分析成敗原因，認定未做宏觀戰略方向、道路、方法、可行性以及微觀戰役戰術條件、困難、手段、可行性研究或失誤，是瞎子摸象式尋找素數公式必然失敗的主觀原因。

不從客觀實際出發，憑借愿望想象自然踏破鐵鞋無覓處。尚未全面認識素數分布排列以及構成形式、規律，有待于基礎理論突破進展，是尋找不到素數公式的不可抗拒之客觀原因。

反之，解析客觀現象規律，進行基礎理論探索；克服尋找失敗的主客觀原因；理性預判戰略戰役戰術；正確研究可行性，大功告成，或知難而退。

關鍵詞：尋找；素數；公式；理論；方法

問題簡介百度“素數普遍公式”：“2000多年前歐幾里德在證明素數無窮多時就埋下了尋求素數普遍公式的伏筆，以布勞維爾為首的直覺主義學派認為：“你沒有給出第n個素數是如何構造的，就不能算是好的證明”。2000多年來，數論學最重要的一個任務，就是尋找素數普遍公式，為此，一代又一代數學精英，耗費了巨大的心血，始終未獲成功。”一些當代數學家甚至于認為不可能存在這樣的公式。

這說明了該問題是數學頂級難題，素數普遍公式功用價值不可估量。攻克它不僅是了不起的成果，而且必然大大豐富、發展數學基礎理論。

4.1.6 發數公式的可行性分析現素

（1）宏觀戰略預判到哪里尋找素數公式

素數公式要么不存在，不議。要么存在，即其客觀實際真容隱蔽了而未被發現。因此必須進行基礎理論研究，在自然數客觀存在的規律、形式、構成、運算法則中去尋找。

自然數相乘、乘方是合數；除法、開方，只有其商、根可能為素數，在其運算中尋找素數，相似于牽著牛找牛，沒有功用；多項式和差必然可以合并為兩項。因此，只能在兩數和差運算中尋找素數公式。除此外，絕對不存在客觀以外的理想如意素數公式。

（2）微觀戰役戰術分析兩數和差構成形式、規律及種類

因為素數的構成單一，不可改變，無法解析，所以只能夠反向探究合數結構、自然數四則運算。

既然是素數公式=〉它必然是自然數運算形式、數量的表示=〉奇素數是奇數=〉n表自然數，則x=2n+1（或減1）是奇數通項公式，篩除其中全部合數，余下非合數Px=2n+1（或-1）就是素數通項公式。

至此，尋找素數通項公式的任務，就是解析n的構成種類、形式、規律、和差運算，判定是素數，再還原表示罷了。

Px=2n+或-1可表素數的完善性=〉解析n的全部構成種類、規律、形式、證明2n+1（或減1）表素數的純粹性，再進行歸納統一=〉2n+1（或減1）=Px為素數的判定定理，再逆向還原等價逆命題即是素數通項公式。

4.1.7 探尋素數通項公式的實踐及結果

概念界定所謂素數通項公式，要滿足三個條件：

（1）以自然數表計；

（2）每個表計結果必是素數；

（3）公式能夠表計出全部奇素數。

定義 令Pr、Px、Py表素數，n、r、x、y、k表自然數，且{n}={1、2、3、4、5···n}，k≥Pr，{k}={1、2、3、4、5···k}，{r}={1、2、3、4、5···r}，√Px≥Py>Pr。“|”為整除號，“”為不整除號，（因為沒有，作者暫時在此文以）“i”為素因子指數任意改變號（簡稱變冪號）。

三類客觀存在素數的判定定理 2n加上或減去1，當n=自然數前k項之積（即k！），和或差都不被大于k的素數、小于或等于和或差的平方根的素數整除時，必為素數；任意改變k！各項素因子的指數（改記積為k！i，顯然k！∈k！i），定理依然成立；k！空缺若干項（非全部項）時（因為空缺項可以視為改其指數為0，所以依然改記積為k！i），和或差不被所缺項的素因子整除時，定理依然成立。判定定理的等價逆命題的表計公式即為：

素數通項公式Px=2n+1=2k！+1=2Pr！i+1或Px=2n-1=2k！-1=Pr！i-1Pyp缺項素因子Px時，Px必為素數；Px值集就是奇素數集；當和與差都為素數時，即是孿生素數。

客觀實際之2k！+1（或減1）=Px為素數，有，且只有三類形式。

（1）例如當n=k！時，由2k！+1（或減1）=Px得：

k=12（1×1）+1=3=Px

k=22（1×2）+1=5=Px2（1×2）-1=3=Px（孿生素數）

k=32（1×2×3）+1=13=Px2（1×2×3）-1=11=Px（孿生素數）

k=42（1×2×3×4）-1=47=Px

k=52（1×2×3×4×5）+1=241=Px2（1×2×3×4×5）-1=239=Px（孿生素數）

k=62（1×2×3×4×5x6）-1=1439=Px

此類素數構成形式：k！的各素因子指數為1，素因子列不缺項。

（2）任意改變例式中k！的各項素因子指數時得：

k=12（1×1×1）+1=3=Px

k=22（1×2×2）-1=7=Px2（1×2×2×2）+1=17=Px

2（1×2×2×2×2）-1=31=Px2（1×2×2×2×2×2）-1=127=Px

k=32（1×2×2×3）-1=23=Px2（1×2×3×3）+1=37=Px

2（1×2×2×3×3）+1=732（1×2×2×3×3）-1=71=Px（孿生素數）

k=42（1×2×2×3×4）+1=97=Px2（1×2×2×2×3×3×4）+1=577=Px2（1×2×3×3×3×4）+1=433=Px2（1×2×3×3×3×4）-1=431=Px（孿生素數）

k=52（1×2×2×3×4×5）-1=479=Px2（1×2×3×3×4×5）-1=719=Px

2（1×2×3×3×3×4×5）+1=2161=Px2（1×2×3×4×5×5）+1=1201=Px

k=62（1×2×2×3×4×5×6）-1=1439=Px2（1×2×2×2×3×4×5×6）+1=2801=Px

此類素數構成形式：k！的素因子列不缺項，各素因子指數可除開0外隨意改變。

（3）當例式中k！i缺2外的項時（舉例恕未指出缺項），得：

k=32（1×3）+1=7=Px2（1×3）-1=5=Px（孿生素數）

2（1×3×3）+1=19=Px2（1×3×3）-1=17=Px（孿生素數）

2（1×2×2×2）+1=17=Px2（1×3×3×3）-1=53=Px

k=42（1×2×3）+1=13=Px2（1×2×3）-1=11=Px（孿生素數）

2（1×2×2×4×4）-1=127=Px2（1×3×4）-1=23=Px

k=52（1×3×5）+1=31=Px2（1×3×5）-1=29=Px（孿生素數）

2（1×2×3×5）+1=61=Px2（1×2×3×5）-1=59=Px（孿生素數）

2（1×4×5）+1=41=Px2（1×2×4×5）-1=79=Px

2（1×3×3×5）-1=89=Px2（1×4×5×5）-1=199=Px

k=62（1×2×3×5×6）+1=181=Px2（1×3×5×6）-1=179=Px（孿生素數）

2（1×5×5×5）+1=251=Px2（1×5×6×6）-1=359=Px

非上列例式k！i缺項舉例，依然由2pr！i+1（或減1）=Px得：

k=72（1×3×7）+1=43=Px2（1×3×7）-1=41=Px（孿生素數）

2（17）-1=13=Px2（1×2×3×7）-1=83=Px2（1×7×7）-1=97=Px

k=82（1×3×8）-1=47=Px2（1×2×3×8）+1=97=Px

2（1×3×3×4）+1=73=Px2（1×3×3×4）-1=71=Px（孿生素數）

k=92（1×5×9）-1=89=Px2（1×7×9）+1=127=Px

2（1×2×5×9）+1=181=Px2（1×2×5×9）-1=179=Px（孿生素數）

k=102（1×3×10）+1=61=Px2（1×3×10）-1=59=Px（孿生素數）

2（1×3×3×10）+1=181=Px2（1×3×3×10）-1=179=Px（孿生素數）

k=112（1x2x11）-1=43=Px2（1x3x11）+1=67=Px

2（1x3x3x11）+1=199=Px2（1x3x3x11）-1=197=Px（孿生素數）

……

k=192（1x19）-1=37=Px2（1x2x5x19）-1=379=Px

2（1x3x19-1）=113=Px2（1x5x19）+1=191=Px

……

k=972（1x97）-1=193=Px2（1x5x97）+1=971=Px

此類素數構成形式：k！的素因子列缺2外若干項，各素因子指數可隨意改變。

證明：當n=k！時，k！中的合數分解質因數后轉化成若干個≤k的素數積、空缺了該合數項=〉k！=Pr！i例如k！=1×2×3×4=Pr！i=1×2×3×2×2空缺了合數4（這個簡單等式代換是合數很重要的構成形式、轉化定律。其應用價值非少非小，例如推導各類各種素數公式。）

=〉n=k！+1（或減1）=Pr！i+1（或減1）

=〉Pr|Pr！i、k！又，Pr1=〉PrPx，已知k≥Pr，PyPx√Px≥Py>Pr=〉≤√Px的素數都Px。

假定另有>Py的素數|Px，已知Pr≤k√Px≥Py>Pr=〉必有一個Pr或Py|Px這與PrPxpyPx矛盾=〉假設不能成立，公式成立。

同樣可證任意改變k！的素因子指數時，公式依然成立；當k！i缺項時，Px不被缺項素因子整除，公式依然成立。=〉三類2k！+1（或減1）=Pr！i+1（或-1）=Px必是素數。

2n+1、2n-1可以表計奇自然數列、奇素數列，n只有公式中的三類客觀存在形式=〉任意一個素數的構成必是其一=〉Px的值集就是奇素數集=〉公式能夠表計出全部奇素數；每個表計結果都是素數=〉2k！+1（或減1）=Pr！i+1（或-1）=Px的逆命題Px=2k！+1（或減1）=Pr！i+1（或-1）與它等價，就是素數通項公式。它是素數公式之母，包括了所有各類各種特殊素數公式，例如，形似“費馬、梅森素數”多如牛毛的代數式，都可視為可表計部分素數的公式。

由是結論，“素數通項公式”不僅是曠世發現，解決了了千百年來有無素數公式存在、能否找到素數公式的疑問，又剖析認識了全部素數客觀存在的規律、形式、種類，發展了數學基礎理論。除了它及其子公式外，不存在其它客觀不存在的素數公式。

（待定新符號問題：以Pr！i表代Px的三種類型，還是分類表代？確定i為變冪號？）

4.1.8 恒表質數公式

此式與素數通項公式殊途同歸，都是“解析客觀，復原客觀”。不同的是，解剖分析對象改成了“兩自然數”，窮舉了其和或差為素數的種類、構成形式、內容、規律。

重要更正變冪號改成“i”。

4.1.9 孿生素數公式

摘要孿生素數猜想是數論中的著名未解決問題。這個猜想產生已久；在數學家希爾伯特在1900年國際數學家大會的著名報告中，它位列23個“希爾伯特問題”中的第8個問題，可以被描述為“存在無窮多個素數p，并且對每個p而言，有p+2這個數也是素數”。

由于孿生素數猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯系，因此不斷有學術共同體外的數學愛好者試圖證明它。有些人聲稱已經證明了孿生素數猜想。然而，尚未出現能夠通過專業數學工作者審視的證明。（引自百度‘孿生素數’詞條。）因此，在此不介紹該問題的研究進展和成果。

由此可見孿生素數問題，特別是孿生素數公式是數論研究的一個重大的熱門課題。

根據素數判定定理即可推導證明恒表孿生素數公式。

關鍵詞：恒表孿生素數公式

作者先解析孿生素數全部客觀存在形式、構成類型、四則運算及其判定，再逆向還原推導出了“恒表孿生素數公式”。

引理素數列前r項之積加上或減去1，都不被大于第r項素數、小于和或差平方根的素數整除時，必為孿生素數。

推論一任意改變積的若干個因素的指數，引理依然成立。

推論二當積的因數（除開2外）缺項（即其指數改變為0）時，和或差不被所缺項素因數整除時，引理依然成立。

定義令p、Px、Py、Pr表素數。

n、r表自然數，且{n}={1、2、3、4、5…n}，n≥Pr，{r}={1、2、3、4、5…r}，r=1時，2的指數≥2。

Pr！i=自然數列前r項或其中若干項之積，且除開2的指數不為0外，各項的因數指數可以任意改變。

Pr

Px表Pr！缺項的素因子。

“|”為整除號，“”為不整除號。“i”為任意改變指數號（簡稱變冪號）。則引理可表述為：

孿生素數公式p=Pr！-1p+2=Pr！+1Px、Pyp、p+2

證明Pr|Pr！Pr1、2=〉Prp、p+2；又Px≤PrPxp、p+2，{r}={1、2、3、4、5···r}，所以前r項素數都p、p+2。

已知Pyp、p+2。=〉小于或等于√p、√（p+2）的素數都p、p+2。

假定有一個大于Py的素數|p、p+2，已知Py≤√p、√（p+2）=〉必然同時有一個Pr或Py同時|p、p+2，這與前面已證Pr、Pyp、p+2矛盾。=〉假設不成立。

綜上=〉p、p+2必為孿生素數。引理得證。

同理可證推論一、二成立。

例如根據引理可得孿生素數：

p+2=2×2+1=5p=2x2-1=3

p+2=2×3+1=7p=2×3-1=5

p+2=2×3×5+1=31p=2×3×5-1=29

（各式積的末位因數即Pr的取值，下同。）

根據推論一，改變引理例式中各因數的指數可得孿生素數：

p+2=2×2×3+1=13p=2×2×3-1=11

p+2=2×3×3+1=19p=2×3×3-1=17

p+2=2×3×5×5+1=151p=2×3×5×5-1=149

p+2=2×2×3×5+1=61p=2×2×3×5-1==59

p+2=2×2×2×3×3+1=73p=2×2×2×3×3-1=71

p+2=2×2×3×3×3+1=109p=2×2×3×3×3=1=107

p+2=2×2×3×3×5+1=181p=2×2×3×3×5-1=179

p+2=2×2×2×2×2×2×3+1=193p=2×2×2×2×2×2×3-1=191

p+2=2×2×3×5×7+1=421p=2×2×3×5×7-1=419

根據推論二，改變引理例式中Pr的值和各因數的指數可得孿生素數：

p+2=2×3×7+1=43p=2×3×7-1=41

p+2=2×2×5×5+1=101p=2×3×17+1=103

p+2=2×3×23+1=139p=2×3×23-1=137

p+2=2×3×3×11+1=199p=2×3×3×11-1=197

又因為偶數都是2的倍數；任意一個奇合數都是若干個奇素數的積，所以任何奇合數分解質因數都必然是引理及推論中的一種形式；由此推知引理及推論可以表出任意奇數，包含了所有孿生素數，從而推知引理及推論可以表計全部孿生素數，證畢。

引理及推論合并表述為：

恒表孿生素數公式

p=Pr！i-1p+2=Pr！i+1Px（表缺項素因子）≤Pr

Pr≤自然數n，n！（分解合數項質因數）=Pr！i=>此式又可表述為：

孿生素數定理自然數列前n項之積，或n內任意若干項（除開2的指數不為0外，各項或其素因子指數可以任意改變）之積，加上或減去1，和或差都不被缺項的素因子、大于n的素數小于或等于和或差的平方根的素數整除時，必為孿生素數。且所有孿生素數都可以如此表計。

例如p+2=1×2×3+1=7p=1×2×3-=5

p+2=1×2×3×3×4+1=73p=1×2×3×3×4-1=71

p+2=1×2×3×7+1=43p=1×2×3×7=41

p+2=1×2×3×4×13+1=313p=1×2×3×4×13-1=311

綜上結論，本文證明了孿生素數公式成立；揭示了孿生素數三類客觀排列、構成形式、規律，推進了相關數學基礎理論研究、發展。

4.1.10 對偶素數公式

摘要：素數研究，除開素數普遍公式外，最著名的猜想是哥德巴赫猜想。

所謂“對偶素數”，即n、y為自然數，（n+y），（n-y）都是素數的名稱。是作者采取“公式法”證明哥德巴赫猜想時發現的一種素數類型的命名。因為（n+y）+（n-y）=2n，所以只要找到對偶素數公式，能夠證明每個不小于6的2n都必然可以表成一式（n+y）+（n-y），則哥德巴赫猜想“1+1”成立。

運用、推廣素數判定定理即可證明恒表對偶素數公式。

關鍵詞：恒表 對偶素數 公式

定義 Pr！=素數列前r項之積，r分別取值除開1外的前r項自然數；p表素數，y表大于Pr的素數；Px表Pr！缺項素因子、大于Pr小于和或差平方根的素數；“i”為除2指數不為0外的素因子指數自由改變號。

引理 素數列前r項之積，加上或減去1個大于Pr的素數y，和與差都不被大于Pr的素數整除時，即為“對偶素數”。即：

特殊對偶素數公式p=Pr！+yp-2y=Pr！-yPr！表前r項素數的積，各素因子指數為1

{r}={1、2、3、4、5···r}Pxp、（p-2y）p、p-2y必表對偶素數。

證明 已知Pr|Pr！Pr>y=>Prp。同理yp，已知Pxp=>不大于p的平方根的素數都p。

=>假設有一個素數大于Px且|p=>同時必有一個Pr或Px|p，這與已證不大于p的平方根的素數都p矛盾=>假設不能成立=>p必是素數。

同理可證p-2y必是素數。例如

p=2×3×5+7=37p-2y=2×3×5-7=23

p=2×3×5+11=41p-2y=2×2×5-11=19

p=2×3×5×7+11=221p-2y=2×3×5×7-11=199

p=2×3×5×7+13=223p-2y=2×3×5-13=197

推論一 任意改變Pr！的因數的指數，定理依然成立。例如

p=2×2×3+5=17p-2y=2×2×3-5=7

p=2×2×3×5+13=73p-2y=2×2×3×5-13=47

p=2×3×3+5=23p-2y=2×3×3-5=13

p=2×3×5×5+7=157p-2y=2×3×5×5-7=143

推論二 Pr！的因素除開2不缺項外，和或差不被缺項素數整除時，定理依然成立。

例如p=2×5+7=17p-2y=2×5-7=3

p=2×2×2×3+13=37p-2y=2×2×2×3-13=11

p=2×2×2×3+17=41p-2y=2×2×2×3-17=7

Pr≤自然數n，n！（分解合數項質因數）=Pr！i；統一引理與推論的表計=>：

對偶素數定理自然數前n項、或n內若干項（除開2的指數不為0外，各項或其素因子的指數可以任意改變）之積，加上1個大于n的素數（或者一個大于n，不被小于等于n的素數整除的自然數），和或差都不被缺項素因子、大于n小于或等于和或差平方根的素數整除時，必是對偶素數，其值集是對偶素數集。

=>恒表對偶素數公式p=n！+y=Pr！i+yPr！i-y=p-2y=n！-2y=Pr！i-2yPx≤√p、

√（p-2y）Pxp、（p-2y）p、p-2y必表對偶素數，其值集即是全部對偶素數。

證明 p、p-2y必為對偶素數的證明同引理。

公式表示了引理及其推論的三類素數，任意對偶素數的構成必是其一=>p、p-2y值集是對偶素數集。例如

p=1×2×3×4+7=31p-2y=1×2×3×4-7=17

p=1×2×2×2×3+7=31p-2y=1×2×2×2×3-7=17

p=1×5×6+7=37p-2y=1×5×6-7=23

證明 每個不小于6的2n都必然可以表成一式p+（p-2y），哥德巴赫猜想成立。證明非本文內容、要求，另議。

綜上結論，“對偶素數公式”得證；奠定了“公式法”證明哥德巴赫猜想的基礎；揭示了部分未知的特殊素數排列、構成的形式、規律，發展了數學基礎理論。

4.1.11三個特殊素數公式

摘要《數學通報》8（1990）邵品琮文介紹說，幾百年來，經過全世界許多優秀數學家的努力，都沒有找到恒表素數公式，連表示部分的也沒有，甚至于還不知道有沒有這樣的公式。由此看來，尋找素數公式是個數論大難題，發現素數公式既豐富發展了數學基礎理論，貢獻了不起，又彰顯超凡智慧和創新能力！

踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫。作者宏觀探討了素數公式存在于哪種運算中，微觀解析了參與運算的數之客觀種類、形式，僥幸發現一系列各類各種素數公式，突破、推進了數學基礎理論。口說無憑，事實為證。雖然素數公式的基本類型只有三類，但是種屬繁多，且種類可以轉化、表計同一個素數運算數據可以任意變化。因此一文中不可能一一論述，在此先奉獻三類素數公式，及計算較為簡便的三個特殊素數公式。

關鍵詞：素數 公式 發現

問題簡介作者發現三個相對簡單、特殊的素數公式，打破了兩千連來尋找不到素數公式的紀錄，平息了到底有沒有素數公式的爭論。介紹、證明如下。

定義 Px、Py、Pr表奇素數，Pr≤n≤√Px，√Px≥Py>Pr，n、k表自然數（注意：下文各式n值有變化、限定），“i”為“變冪號”表示素因子的指數可以不為0隨意改變，“”為不整除號。

定理 Px=2^k+（或-）n！（n≠2）Px≤Pr^2時除1外必是素數。

（此式為第一類素數公式，2^k、n！的素因子集合為Pr前素數列，素因子指數確定不變。）

證明 2|2^k，2n！=>2Px，Pr2^k，Pr|n！= >PrPx假定Py|Px，已知Py>Pr，Pr≤√Px=>必有1個Pr|Px，與已證PrPx矛盾=>假設不成立，Px=1外必是素數。

例如Px=x×2+3=7Px=2×2×2×2×2-3×5=17

Px=2×2×2×2×2×2×2-3×5×7=23

（本文所有例式都未列舉一目了然的k、n值。）

此外，Px>Pr^2，PyPx時，Px仍然是素數。不證自明。

例如Px=2×2×2×2×2×2×2+1×3×5×7=233

Px=1×3×5×7-2×2×2×2=89

推論1 任意（不為0外）改變2^k、n！的各素因子的指數，引理依然成立。（此為第二類素數公式。）

例如Px=2×2+3×5=19Px=3×3×5-2×2=41

Px=2×2+3×5×5=79Px=3×5×5-2×2×2=67

推論2 定理、推論1中2^k、n！的素因子集合為非2缺項Pr前素數列，缺項素數Px時，定理及推論依然成立。

（此為第三類素數公式。）

例如Px=2×2×2×2+5×5=41Px=2+5×7=37

由定理及其2個推論、≤Px的合數是≤√Px的若干個素數的積，i是變冪號=>n可以是素數，也可以是自然數=>

特例公式一Px=2^k+（或-）n！i，n≠2，PyPx，除1外Px必是素數。

例如Px=2×2+1×3×5×7×9=949Px=1×3×5×7×9-2×2=941

Px=1×3×5×7×9-2×2×2×2×2×2×2=817

特例公式二Px=5^k+（或-）n！i，n≠5，PyPx除1外Px必是素數。

例如Px=1×2×3×4×6-5×5×5=19Px=1×2×3×4×6+5×5×5=269

Px=1×2×2×3×4-5×5=23Px=1×2×2×3×4+5×5=73

Px=5+1×2=7Px=5-1×2=3

特例公式三Px=2^k·5^k+（或-）n！i，n≠2、5，PyPx，除1外Px必是素數。

例如Px=1×3×7-2×5=11Px=1×3×7+2×5=31

Px=2×5+1×3=13Px=2×5-1×3=7

Px=1×3×3×7-2×5=53Px=1×3×3×7+2×2×5=83

這三個公式和推論可能表計全部素數！？

此外，還可同樣證明由定理、推論變形轉化而得的素數通項公式、對偶素數（n+x，n-x同時為素數）公式、孿生素數公式……

結論：發現公式，沖出了找不到素數公式的歷史，平息了有無素數公式的論爭，發展了數學基礎理論，推進了不少相關問題解決。

都說中國數學好久沒出重大成果，不能領先世界了。假如證明了上述全部公式，是否為數學基礎理論重大突破進展？奉獻排名國內外老幾，能夠為中國數學爭口氣否？