基于格網(wǎng)坐標系的極區(qū)慣導誤差分析

孫永侃, 張萍萍, 王海波, 張漢武

(海軍大連艦艇學院, 遼寧大連 116018)

0 引言

傳統(tǒng)慣導方法以地理北作為航向參考基準,以經(jīng)緯度坐標表示位置[1],北極地區(qū)位于地球的最北端,經(jīng)線迅速收斂,尤其在北極點,所有經(jīng)線交叉匯聚,緯線也縮為一點[2],這就造成了在北極地區(qū)依據(jù)傳統(tǒng)方法求解的導航信息精度無法滿足極區(qū)船舶航行需求。

為解決傳統(tǒng)慣導在極區(qū)存在的問題,1941年英國皇家空軍中校K.C.Macl提出格網(wǎng)導航的概念,并對格網(wǎng)導航的應用進行了一系列的研究與探索[3-6]。2013年起國內(nèi)文獻開始出現(xiàn)針對格網(wǎng)導航的相關研究,周琪采用地心地固坐標系下的位置坐標替代傳統(tǒng)經(jīng)緯度坐標用于飛機定位[7]。之后周琪又提出通過游移坐標系和格網(wǎng)坐標系間的方向余弦矩陣,間接獲取格網(wǎng)航向和格網(wǎng)速度[8]。周琪還針對高緯度地區(qū)地理經(jīng)線收斂造成的定位難題,結合軍用大飛機對全自主、高精度、長航時、全球范圍導航能力的需要,提出了極區(qū)格網(wǎng)慣性/天文組合導航方案[9]。吳楓設計了格網(wǎng)導航坐標系下主子慣導信息的“速度+姿態(tài)”匹配傳遞對準算法。并進一步設計了格網(wǎng)系下雷達輔助捷聯(lián)慣導的空中對準算法[10-11]。王榮穎指出在近極點區(qū)域,慣導系統(tǒng)會出現(xiàn)計算奇異值問題[12]。劉文超構建了橢球面柵格航向基準模型,并提出基于極球面投影的慣導高緯導航方法[13-14]。周本川提出基于慣性凝固格網(wǎng)坐標系的傳遞對準算法和載機火控系統(tǒng)極區(qū)導航算法[15]。

針對傳統(tǒng)慣導方法在極區(qū)的使用缺陷,文中提出摒棄以經(jīng)線作為航向參考基準,采用平行于本初子午線的平行線作為航向參考基準來解決因經(jīng)線收斂引起的極區(qū)定向難題,并在此基礎上構建格網(wǎng)坐標系作為極區(qū)定位空間坐標基準,以解決極區(qū)導航信息解算中面臨的坐標基準的數(shù)學理論問題。

1 基于格網(wǎng)坐標系的極區(qū)導航方法

首先建立格網(wǎng)北。理論上格網(wǎng)北的方向可以是任意方向,為了換算方便,文中將格網(wǎng)北定義為平行于0°經(jīng)線的方向,如圖1所示。

圖1 格網(wǎng)北示意圖(虛線為格網(wǎng)北方向)

下面依據(jù)格網(wǎng)北建立如圖2所示的格網(wǎng)坐標系,文中用字母G表示格網(wǎng)坐標系。定義載體所在點處平行于格林尼治子午面的平面為格網(wǎng)平面,載體所在的水平面為切平面,以兩平面的交線作為格網(wǎng)坐標系的北向,格網(wǎng)坐標系的天向與地理坐標系的天向重合,格網(wǎng)坐標系的東向在切平面內(nèi)與格網(wǎng)坐標系的北向垂直且構成右手直角坐標系,該坐標系即為格網(wǎng)坐標系。φ、λ分別表示載體所在地的緯度和經(jīng)度。ex、ey、ez分別為M點在地球坐標系的3軸xe、ye、ze上的投影,eE、eN、eU分別為地理坐標系中的東北天,eGE、eGN、eGU分別為格網(wǎng)坐標系中的格網(wǎng)東、格網(wǎng)北與格網(wǎng)天,由對格網(wǎng)坐標系的定義可知格網(wǎng)天與地理天是重合的。定義σ為格網(wǎng)方位角,表示格網(wǎng)北與地理北的夾角。

圖2 格網(wǎng)坐標系

建立了格網(wǎng)坐標系作為空間坐標基準后,就可以對載體的導航信息進行相應的推算,具體推算過程文中不做詳述。下面對該方法在極區(qū)應用中的誤差進行詳細分析以驗證該方法在極區(qū)的有效性。

2 格網(wǎng)坐標系下導航信息誤差模型的建立

通常慣導定位系統(tǒng)的誤差來源多種多樣,包括元器件誤差、安裝誤差、初始條件誤差、干擾誤差、原理及方法誤差、外信息誤差等,此外慣導定位系統(tǒng)由各電氣及機械與電子線路等分系統(tǒng)組成,各分系統(tǒng)也會各自受本身誤差源的影響,從而影響系統(tǒng)誤差。上述各誤差源盡管來源不一樣,但有些不同誤差源對系統(tǒng)的影響是相似的,為了便于分析,文中在推導慣性導航系統(tǒng)的誤差方程時,只引入初始條件誤差和元器件誤差等幾種主要的誤差源。

本節(jié)在推導誤差方程時,規(guī)定符號“^”表示計算值,“～”表示測量值。

2.1 位置誤差方程的解算

根據(jù)格網(wǎng)坐標系下的位置誤差方程,位置的理想值由下式確定:

(1)

但是在實際系統(tǒng)中存在各種誤差,所以實際的位置計算應由下述方程確定:

(2)

式中:

(3)

用式(2)減去式(1),并略去二階小量,整理后得格網(wǎng)坐標系下的位置誤差方程:

(4)

其中:

(5)

所以:

(6)

把式(6)代入式(4),整理后得格網(wǎng)坐標系下的位置誤差方程:

(7)

2.2 速度誤差方程的解算

根據(jù)格網(wǎng)坐標系下的速度微分方程式,當不考慮任何誤差時,速度的理想值由下式確定:

(8)

但是在實際系統(tǒng)中存在各種誤差,所以實際的速度計算應由下述方程確定:

(9)

式中:

在計算過程中,只考慮加速度計的零位偏置和測量系統(tǒng)噪聲誤差。

用式(9)減去式(8),忽略格網(wǎng)坐標系下重力加速度誤差的影響,并略去二階小量,整理得格網(wǎng)坐標系下的速度誤差方程:

(10)

將式(10)整理后得格網(wǎng)坐標系下的速度誤差方程:

(11)

2.3 姿態(tài)誤差方程的解算

根據(jù)四元數(shù)定義可知,計算四元數(shù)的誤差四元數(shù)為:

(12)

當只考慮陀螺儀常值漂移和測量系統(tǒng)噪聲誤差時,有:

(13)

格網(wǎng)坐標系下的位置定位是以三維直角坐標形式描述,而非通常的經(jīng)緯度。因此,要根據(jù)球面坐標系和直角坐標系的關系進行轉(zhuǎn)換。

格網(wǎng)坐標系下的姿態(tài)誤差方程為:

(14)

2.4 系統(tǒng)誤差方程的解算

式(7)、式(11)和式(14)聯(lián)立就構成了格網(wǎng)坐標系下的系統(tǒng)誤差方程。

記狀態(tài)變量為:

則系統(tǒng)誤差方程可以寫成:

(15)

(16)

式中:

為了便于分析,對誤差模型進行簡化,僅考慮系統(tǒng)在靜基座條件下的情況,即:

VE=VN=VU=0

fE=fN=0

fU=-g

3 仿真與分析

在極區(qū)采用傳統(tǒng)力學編排方案時,從60°N開始,姿態(tài)誤差、速度誤差、位置誤差隨緯度升高而緩慢增大;在緯度高于70°N以后,慣導誤差隨緯度升高而迅速增大;在緯度高于85°N以后,慣導誤差隨緯度升高而增大的程度尤為明顯,緯度僅僅增加幾度的情況下,航向角誤差增大到約原來的兩倍;在緯度高于89.87°N時,水平姿態(tài)誤差和位置誤差隨緯度升高而迅速發(fā)散,慣導系統(tǒng)失去導航能力,慣導系統(tǒng)失去導航能力的最低緯度與載體速度有關,載體速度越大,失去導航能力的最低緯度越低。

為驗證以格網(wǎng)坐標系作為空間坐標基準的定位精度,分析載體靜止時系統(tǒng)的性能,用MATLAB對其靜基座條件下的系統(tǒng)誤差方程進行仿真。

以艦艇運動特性為例,仿真參數(shù)設置如下:載體靜止,所在點為[80°N,120°E];格網(wǎng)坐標系下航向為20°,縱搖角為0°,橫搖角為1°;數(shù)學平臺失準角分別為[1′,1′,2′];載體的速度誤差為δVE=δVN=δVU=0.05 m/s;在地球坐標系下的位置誤差為δx=δy=δz=1 m;陀螺儀的常值漂移為εx=εy=εz=0.05°/h;加速度計的零位偏置為x=y=z=0.000 05g;陀螺儀的測量系統(tǒng)噪聲和加速度計的測量系統(tǒng)噪聲用高斯白噪聲隨機函數(shù)表示;仿真時間為24 h。仿真結果如圖3～圖10所示。

圖3 φE的仿真圖

圖4 φN的仿真圖

圖5 φU的仿真圖

圖6 δVE的仿真圖

圖7 δVN的仿真圖

圖8 δVU的仿真圖

圖9 δL的仿真圖

圖10 δλ的仿真圖

由格網(wǎng)坐標系下的仿真曲線和誤差統(tǒng)計數(shù)據(jù)與傳統(tǒng)力學編排方案的對比可以發(fā)現(xiàn):在極區(qū)以格網(wǎng)坐標系作為空間坐標基準進行慣導信息的解算,可以有效的解決極區(qū)因經(jīng)線快速收斂所引起的定位誤差增大問題,能夠滿足極區(qū)定位精度需求。同時,由仿真曲線可以看出:載體的速度和在地球坐標系下的位置誤差都呈現(xiàn)發(fā)散特性。因此為保證載體在極區(qū)的長航時高精度定位需求,可以利用組合技術抑制格網(wǎng)坐標系定位系統(tǒng)的誤差發(fā)散。

4 結論

文中為了解決極區(qū)導航參數(shù)解算中面臨的坐標基準的數(shù)學理論問題,提出采用格網(wǎng)坐標系作為空間坐標基準進行導航信息的推算,根據(jù)誤差源對系統(tǒng)的影響,推導出在格網(wǎng)坐標系下的導航誤差方程,并進行了仿真試驗。仿真結果表明在極區(qū)采用格網(wǎng)坐標系作為空間坐標基準用來解算導航參數(shù)能夠提供高精度的導航信息。

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