考慮鉸接間隙影響的液壓支架四連桿機構(gòu)運動誤差分析

王帥

(平頂山天安煤業(yè)股份有限公司 五礦， 河南 平頂山 467000)

0 引言

液壓支架是煤礦井下綜采系統(tǒng)的重要機械設(shè)備，其主要作用是支護頂板和保障作業(yè)空間，因而液壓支架的運動軌跡和運動精度受到越來越多的關(guān)注[1]。由掩護梁、底座和前后連桿組成的四連桿機構(gòu)是液壓支架的重要組成部分，該機構(gòu)直接決定了支架頂梁前端的運動軌跡。理想的雙紐線軌跡及其振動幅度是液壓支架四連桿機構(gòu)的設(shè)計基礎(chǔ)[2-3]。然而，在生產(chǎn)過程中四連桿機構(gòu)的尺寸誤差和裝配誤差使運動副產(chǎn)生了鉸接間隙，尤其在使用過程中摩擦磨損導(dǎo)致鉸接間隙進一步增大[4]。鉸接間隙使液壓支架在使用過程中產(chǎn)生偏擺，支架頂梁前端實際運動軌跡偏離期望軌跡，導(dǎo)致液壓支架穩(wěn)定性下降，影響了支架的使用壽命[5]。鑒于液壓支架四連桿機構(gòu)鉸接間隙對支架運動性能產(chǎn)生了負(fù)面影響，需要研究鉸接間隙對支架運動誤差的影響，為提高液壓支架的設(shè)計質(zhì)量和運動精度提供基礎(chǔ)。

1 液壓支架四連桿機構(gòu)運動方程

以兩柱掩護式液壓支架為例，對其四連桿機構(gòu)進行運動分析。兩柱掩護式液壓支架四連桿機構(gòu)的運動簡圖如圖1所示，其中ABCD為液壓支架的四連桿機構(gòu)，E點為掩護梁與頂梁的鉸接點，CE桿為掩護梁，AB桿為前連桿，長度為L1，CD桿為后連桿，長度為L2。

圖1 兩柱掩護式液壓支架四連桿機構(gòu)

頂梁上下運動時，由鉸接點E帶動掩護梁CE桿運動，同時鉸接點B驅(qū)使前連桿AB圍繞機架鉸接點A擺動，而鉸接點C驅(qū)使后連桿CD圍繞機架鉸接點D擺動。這樣四連桿ABCD就形成了一個封閉的運動矢量環(huán)，如圖1所示，該四連桿機構(gòu)的運動矢量方程可表示為

AB+BC=AD+DC

(1)

上式的復(fù)數(shù)表達式為L1eiβ+L3eiθ=L5eiγ+L2eiα，利用歐拉公式eiφ=cosφ+isinφ展開，并將實部和虛部分離，可得液壓支架四連桿機構(gòu)運動方程:

(2)

機架AD桿的水平傾角γ是固定值，如果前連桿AB的水平傾角β已知，則上述運動方程是關(guān)于α和θ的非線性超越方程組。該方程組難以通過三角函數(shù)關(guān)系直接求解，需要借助MATLAB工具編制牛頓—辛普森算法對非線性超越方程組進行數(shù)值求解。對于每個給定的β都對應(yīng)兩組解，通過程序控制，對求出的解進行判斷和篩選。

獲得各連桿的水平傾角后，掩護梁與頂梁的鉸接點E的坐標(biāo)可表示為:

(3)

2 含間隙四連桿機構(gòu)位姿分析

液壓支架四連桿機構(gòu)中各連桿通過回轉(zhuǎn)副連接，由于制造誤差的影響，回轉(zhuǎn)副的銷軸和孔在機構(gòu)運動過程中會出現(xiàn)間隙，而間隙將會使機構(gòu)位姿產(chǎn)生變化。考慮間隙的回轉(zhuǎn)副如圖2所示，圖2中的間隙進行了放大處理。假設(shè)回轉(zhuǎn)副運動過程中銷軸和孔始終保持接觸，銷軸不會懸浮于孔中，則孔中心與銷軸中心形成偏心距。為了便于分析，將偏心距看作一無質(zhì)量的連桿，其桿長為r，方位角為δ，δ∈[0, 2π]。由于銷軸和孔的制造誤差服從正態(tài)分布，因而隨機變量r服從正態(tài)分布。

圖2 考慮間隙的回轉(zhuǎn)副

考慮回轉(zhuǎn)副間隙影響的液壓支架四連桿機構(gòu)位姿如圖3所示(間隙放大)，機構(gòu)的理想位姿為ABCD，間隙影響后的位姿變?yōu)锳1B1C1D1。各回轉(zhuǎn)副的偏心距分別為ra、rb、rc、rd，對應(yīng)的方位角分別為δa、δb、δc、δd。考慮間隙影響后連桿長度將會發(fā)生變化，如連桿A1B變?yōu)檫B桿A1B1，水平傾角由β變?yōu)棣?。

圖3 考慮間隙影響的液壓支架四連桿機構(gòu)位姿

3 平面連桿機構(gòu)間隙模型

根據(jù)閉環(huán)矢量原理，回轉(zhuǎn)副間隙影響的液壓支架四連桿機構(gòu)位姿矢量方程可表示為A1B1+B1C1=A1D1+D1C1。與式(1)相比，由于偏心距的影響，各桿件的有效桿長和方位角均發(fā)生了變化。有效桿長和方位角與連桿兩端連接的運動副結(jié)構(gòu)要素密切相關(guān)，如兩孔型、孔銷型和兩銷型桿件。以下將對這3種類型桿件的有效桿長和方位角進行具體分析。

1) 兩孔型桿件。連桿的兩端回轉(zhuǎn)副要素均為孔，則該連桿為兩孔型桿件。假設(shè)連桿機構(gòu)中AB桿為兩孔型桿件，如圖4所示，AB桿的原桿長為L1，考慮間隙影響后變?yōu)锳1B1桿，其有效桿長為LA1B1。通過圖4可得閉環(huán)矢量方程AA1+A1B1=AB+BB1，采用歐拉公式將該方程表示為復(fù)數(shù)形式，并分離實部和虛部，可得:

圖4 兩孔型桿件

(4)

根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，將上述兩式平方求和，忽略高階分量后可得LA1B1與L1的關(guān)系為

L1+rbcosφb-racosφa

(5)

式中:φa為無質(zhì)量桿AA1與AB桿形成的方位角，φa=β+δa；φb為無質(zhì)量桿BB1與AB桿形成的方位角，φb=β+δb。

δa和δb兩個隨機變量在[0, 2π]內(nèi)均勻分布，因而φa和φb也在[0, 2π]內(nèi)均勻分布。ra和rb兩個偏心距隨機變量服從正態(tài)分布，其數(shù)值相對于桿長很小，故在進行分析時可取β1≈β。

2) 孔銷型桿件。當(dāng)連桿兩端分別為孔和銷軸時，該連桿為孔銷型桿件，如圖5所示的A1B桿。該桿件的原桿長為LA1B，考慮回轉(zhuǎn)副間隙偏心距rb后，桿長變?yōu)長A1B1。由圖5可知孔銷型桿件的閉環(huán)矢量方程為A1B1=A1B+BB1。利用歐拉公式分離該矢量方程的實部和虛部，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，將實部和虛部等式兩邊平方求和，忽略高階微量后可獲得孔銷型桿件的有效桿長表達式:

圖5 孔銷型桿件

LA1B1=LA1B+rbcosφb

(6)

由式(6)可知，孔銷型桿件的有效桿長等于原桿長加上一個隨機變量。

3) 兩銷型桿件。兩銷型桿件是指連桿的兩端均為銷軸，如圖6所示的A1B1桿。由圖6可知，該型桿件的原桿長LA1B1與有效桿長相等，因而回轉(zhuǎn)副間隙對兩銷型桿件的有效桿長沒有影響。

圖6 兩銷型桿件

4 誤差分析

以ZY4000/09/19型液壓支架為例，計算考慮鉸接間隙影響的四連桿結(jié)構(gòu)運動誤差。該機構(gòu)各連桿的長度分別為：L1=730 mm，L2=940 mm，L3=340 mm，L4=1 030 mm。各回轉(zhuǎn)副的偏心距服從正態(tài)分布，其均值為0.165 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.031 8 mm。圖1中AB桿和CD桿為兩銷型桿件，AD桿和BC桿為兩孔型桿件，在進行誤差分析時需要分別采用兩銷型和兩孔型桿件間隙模型。

先不考慮各回轉(zhuǎn)副間隙，利用式(1)和式(2)計算前連桿不同角度下絞接點E的理想坐標(biāo)值。然后，將各連桿的桿長間隙模型繼續(xù)代入式(1)和式(2)，計算考慮間隙影響下鉸接點E的實際坐標(biāo)值。不同前連桿角度下鉸接點E實際坐標(biāo)值與理想值的相對誤差如圖7所示。由圖可知，橫坐標(biāo)誤差大于縱坐標(biāo)誤差，最大誤差小于2%，說明鉸接間隙會使液壓支架運動軌跡偏移，導(dǎo)致液壓支架使用過程中不穩(wěn)定因素增加。作為機架的AD桿對機構(gòu)運動精度影響較小，AB桿和CD桿為兩銷型桿件，回轉(zhuǎn)副間隙對這兩個桿件的有效桿長沒有影響。兩孔型桿件CD桿不僅影響連桿的有效長度，還會導(dǎo)致方位角產(chǎn)生變化，因此連桿CD對液壓支架四連桿機構(gòu)的運動誤差影響最大。后期需要結(jié)合國內(nèi)外先進制造技術(shù)，不斷提升液壓支架連桿孔、底座孔、銷軸的加工和裝配工藝，減小銷軸與孔的配合間隙。

圖7 鉸接點E實際坐標(biāo)值與理想值的相對誤差

5 結(jié)論

基于閉環(huán)矢量原理推導(dǎo)了液壓支架四連桿機構(gòu)的運動方程，采用牛頓-辛普森方法對該方程進行求解。考慮連桿兩端回轉(zhuǎn)副元素，建立了兩孔型、孔銷型和兩銷型三種桿件的間隙模型。將相應(yīng)的連桿間隙模型應(yīng)用于液壓支架四連桿機構(gòu)運動方程進行運動誤差仿真分析，分析結(jié)果表明最大運動誤差低于2%，鉸接間隙會使液壓支架運動軌跡偏移，導(dǎo)致運行過程中不穩(wěn)定因素增加。