利用積分證明不等式

吳方躍

摘 要：研究不等式的方法可謂眾多，本文主要利用積分不等式這個(gè)高等數(shù)學(xué)中比較重要的證明不等式方法著手，首先簡(jiǎn)明扼要地介紹用積分不等式在解決不等式問(wèn)題中所起到的積極作用，如何解決不等式證明問(wèn)題，接著將推出高等數(shù)學(xué)中其它幾個(gè)常見(jiàn)且極其重要的不等式

關(guān)鍵詞：不等式；積分

引文 不等式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的課題之一，在高等數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位.因此，對(duì)不等式作一些必要的研究具有重大的意義，同時(shí)，也為我們?nèi)绾巫C明不等式問(wèn)題提供了必要的理論指導(dǎo)。

研究不等式問(wèn)題，方法眾多，本文將著重以高等數(shù)學(xué)中利用積分不等式為理論基礎(chǔ)，探討如何解決不等式問(wèn)題。

1這里以詹森（Jensen）積分不等式為例，說(shuō)明積分不等式在解決不等式問(wèn)題中所起到的積極作用

定理1設(shè)和在區(qū)間上連續(xù)， ，，且，是上連續(xù)函數(shù)，則

⑴

例1： 設(shè)，在上為正值連續(xù)函數(shù)，則有Holder積分不等式

⑵

證明 令，則.

為凸函數(shù).

由定理1得

.

即.

也即

.

應(yīng)用積分不等式（2），不難推出積分不等式.

. （3）

在（2）中令，可得積分不等式

（4）

在（3）中令.可得積分不等式

（5）

2 利用施瓦茨不等式證明下列不等式

定理2 施瓦茨不等式：若和在上可積，則

（*）

若在 上連續(xù)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使得時(shí)成立（不同時(shí)為零）.

證明：

這就證明了（*）式.由此看出，若連續(xù)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)（不全為零）使得時(shí)成立。

例2：1）若在上可積，則

證明：根據(jù)施瓦茨不等式知

（ = .

2）若，都在上可積，則有閔可夫斯基不等式：

.

證明：利用施瓦茨不等式可知：

即

.

其實(shí)閔可夫斯基不等式還有其它一般形式：

a 基本形式：

定理3對(duì)于任意實(shí)數(shù)，及，有：

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)與成比例時(shí)成立。

b積分形式

定理4 設(shè)，在上有定義，使下面積分有意義，

則當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，.

參考文獻(xiàn)：

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