淺談初中數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法

鮑仲玲

目前，隨著課程改革的不斷深入，對學(xué)生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識，基本技能，更加注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)、思想方法的引導(dǎo)、個性品質(zhì)的形成。因此在基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)過程中，不僅要求學(xué)生能掌握基礎(chǔ)知識，還要能闡述出在結(jié)論的探索過程中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法，重視對學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略的指導(dǎo)，使學(xué)生逐步樹立數(shù)學(xué)思想方法意識，讓他們在探索中學(xué)會學(xué)習(xí)。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此數(shù)學(xué)家喬治波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”

所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識，是屬于數(shù)學(xué)觀念，比較抽象。所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的基本策略，是數(shù)學(xué)思想的具體反映，它是實施數(shù)學(xué)思想的手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為。運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，要求了解的數(shù)學(xué)思想有：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、方程函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化的思想、整體代換的思想類比的思想等。要求理解或會運用的方法有：配方法、待定系數(shù)法、圖像法、消元法、特殊值法等。其實思想和方法是不能截然分開的，初中數(shù)學(xué)中用到的各種方法都體現(xiàn)著一定的思想，而數(shù)學(xué)思想又是對方法的理性認識。因此，通過對數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用以達到對數(shù)學(xué)思想的了解，是使思想與方法得到交融的有效方法。

數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識。由于中學(xué)生認知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。如在學(xué)習(xí)有理數(shù)、三角形、四邊形、圓周角，一元二次方程求根公式的推導(dǎo)等知識時，會涉及到分類討論的思想。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題都具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，重點考察學(xué)生的思維條理性和概括性，所以在試題中占有重要的位置。分類討論應(yīng)遵循的原則：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏，不重復(fù)，分類討論的一般步驟是：明確討論對象，確定對象的全體→確定分類標準，正確進行分類→逐步進行討論，獲取階段性結(jié)果→歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論；方程思想實現(xiàn)了由小學(xué)的算術(shù)法向初中代數(shù)法的轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)思想的一個重大轉(zhuǎn)變。方程思想是指對于數(shù)學(xué)問題中的未知量和已知量之間的關(guān)系，用構(gòu)建方程的方法來解決。我們能發(fā)現(xiàn)，許多較難的問題用方程都能迎刃而解；數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的思想有利于把抽象的知識形象化。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，“數(shù)”與“形”是密不可分的，如借助數(shù)軸能很好地理解不等式及不等式組的解得問題，借助于圖像能很好解決二次函數(shù)問題；轉(zhuǎn)化的思想具體表現(xiàn)為從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般到特殊的轉(zhuǎn)化等。如圓中的角相等問題可以轉(zhuǎn)化為弧相等來解決，“平行四邊形的面積求法”的問題，通過探求解決問題的思想和策略，得到以化歸思想指導(dǎo)將思維定向轉(zhuǎn)化成求已知矩形的面積。這樣以問題的變式教學(xué)，使學(xué)生認識到求解該問題的實質(zhì)是等積變換，即要在保持面積不變的情形下實現(xiàn)化歸目標，而化歸的手段是“三角形位移”，還有可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。

數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，掌握這些策略就很容易解決許多數(shù)學(xué)問題。如配方法：所謂配方，就是把一個代數(shù)式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡二次根式、解一元二次方程、證明不等式恒大于零、求函數(shù)的極值等方面都經(jīng)常用到它；整體代入法，整體代入法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子看成一個整體，用它代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決：待定系數(shù)法，在解數(shù)學(xué)問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是求函數(shù)解析式中常用的方法之一。特殊值法：用合適的特殊元素（如數(shù)或圖形）代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。圖像法：借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖像法。圖解法是解選擇題常用方法之一。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，一定要全面滲透數(shù)學(xué)思想與方法，學(xué)習(xí)了一個知識點或做了一道題，要認真思考一下，用到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法。數(shù)學(xué)思想與方法雖然說法各異，但畢竟是有限的，正確運用數(shù)學(xué)思想與方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或解題，有利于對知識進行比較歸類，只有這樣，才能把所學(xué)知識學(xué)得系統(tǒng)，學(xué)得靈活，才能把所學(xué)的知識真正納入到你的知識結(jié)構(gòu)中去，變成自己的能力。

總而言之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法都不是單獨存在的，在解決問題的過程中要相互轉(zhuǎn)換、相互補充，當我們在一種方法受阻的情況下，就應(yīng)自覺地轉(zhuǎn)向另一種方法。只要我們能把數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法滲透到平時的解題過程中，并且能夠站到哲學(xué)的高度去反思自己的數(shù)學(xué)思維活動，我們就一定能夠?qū)W好數(shù)學(xué)。