“圓”中滲透的數(shù)學(xué)思想

趙傳東

“圓”中滲透的數(shù)學(xué)思想

趙傳東

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括和總結(jié)，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉、升華和結(jié)晶，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂.本文就帶你到“圓”形世界去挖掘其中所蘊(yùn)含的分類思想和轉(zhuǎn)化思想，領(lǐng)略其美麗的風(fēng)采.

一、圓中的分類思想

由于圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，在沒(méi)有明確圖形位置的情況下，符合題意的圖形可能有多種.因此在本章中應(yīng)注意圓的問(wèn)題的多樣性，不要忘記分情況討論.

1.點(diǎn)和圓位置關(guān)系中的分類討論.

例1如圖1，直線AB與⊙O相切于B點(diǎn)，C是⊙O與OA的交點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（D與B、C不重合），若∠A=40°，則∠BDC的度數(shù)是（）.

圖1

A.25°或155°B.50°或155°

C.25°或130°D.50°或130°

【分析】點(diǎn)D可以在劣弧上，也可以在優(yōu)弧上.

解：當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧BC上時(shí)，如圖1，連接OB，∵直線AB與⊙O相切于B點(diǎn)，∴∠OBA= 90°，∠AOB=50°，∠BDC=∠AOB=25°；

∴∠BDC的度數(shù)為25°或155°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).由于點(diǎn)D既可在優(yōu)弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分兩種情況討論.

2.直線和圓位置關(guān)系中的分類討論.

例2如圖2，平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（）.

A.1B.1或5C.3D.5

圖2

【分析】⊙P可以在y軸的左邊也可以在y軸的右邊.

解：當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5.故選B.

按照國(guó)務(wù)院對(duì)地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工作總體部署和測(cè)繪地理信息事業(yè)轉(zhuǎn)型發(fā)展需要，從2016年起地理國(guó)情信息獲取進(jìn)入常態(tài)化監(jiān)測(cè)階段。本文通過(guò)對(duì)在地理國(guó)情監(jiān)測(cè)生產(chǎn)中頻發(fā)性、關(guān)鍵性問(wèn)題的分析，總結(jié)歸納了基礎(chǔ)性地理國(guó)情監(jiān)測(cè)成果質(zhì)量控制的方法。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)的應(yīng)用等知識(shí)，由于圓P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，既可能和y軸左邊相切，也可能和y軸右邊相切，所以要分情況討論.

3.圓與圓位置關(guān)系中的分類討論.

例3以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓與小圓的半徑分別為3cm和1cm，若圓P與這兩個(gè)圓都相切，則圓P的半徑為.

【分析】圓P既可以和小圓內(nèi)切同時(shí)也可以和小圓外切.

解：①若圓P與小圓外切，如圖3（1），此時(shí)圓P的半徑=1 2（3-1）=1（cm）；P的半徑

圖3 （1）

圖3 （2）

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，雖然圓P只能和大圓內(nèi)切，但和小圓既可內(nèi)切，也可外切.所以兩圓相切，應(yīng)分情況討論.

二、圓錐中的轉(zhuǎn)化思想

例4如圖4所示，圓錐的母線OA=8，底面的半徑r=2，若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線的長(zhǎng)是.

【分析】將圓錐沿一條母線剪開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，爬行的︵最短路線的長(zhǎng)實(shí)際上是扇形中弦AB的長(zhǎng)度.AB的長(zhǎng)度就是圓錐的底面周長(zhǎng).

圖4

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于立體圖形研究?jī)牲c(diǎn)間的最短距離，往往是先把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，再根據(jù)“在平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)解決.解決的關(guān)鍵是明確展開(kāi)前后有關(guān)圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

例5如圖5，在Rt△ABC中，AC=BC= 2 2，若把Rt△ABC繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為（）.

A.4πB.4 2πC.8πD.8 2π

圖5

【分析】Rt△ABC繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)圓錐，而且兩個(gè)圓錐的形狀完全相同.求所得幾何體的表面積的關(guān)鍵是求出錐體的底面半徑.

【點(diǎn)評(píng)】繞直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)，首先要搞清直角三角形的直角邊是圓錐的母線，斜邊上的高是圓錐的底面圓半徑.所以明確圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的弧長(zhǎng)、半徑與圓錐的底面圓周長(zhǎng)、母線的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）