季明拓
與圓有關的陰影部分面積
季明拓
求圖形陰影部分面積,是中考試題的重要內容之一.這些題目除了著重考查基礎知識之外,還十分重視對數學方法的考查,對數學思想的理解和應用,現對各類解法加以歸類說明.
例1如圖1,一個圓心角為90°的扇形,半徑OA=2,那么圖中陰影部分的面積為.(結果保留π)

圖1
【分析】扇形AOB的面積減去△AOB的面積就是陰影部分的面積.
S△AOB
則S陰影=S扇形-S△AOB=π-2.
例2如圖2,在邊長為2的正三角形中,將其內切圓和三個角切圓(與角兩邊及三角形內切圓都相切的圓)的內部挖去,則此三角形剩下部分(陰影部分)的面積為.
【分析】△ABC的面積減去四個圓的面積就是陰影部分的面積.

圖2
解:如圖2,連接OB、OD.設小圓的圓心為P,⊙P與⊙O的切點為G,過G作兩圓的公切線EF,交AB于E,交BC于F,則∠BEF=∠BFE= 90°-30°=60°,所以△BEF是等邊三角形.
由于⊙P是等邊△BEF的內切圓,所以點P是△BEF的內心,也是重心,故
∴S⊙
∴S陰影=S△ABC-S⊙O-3S⊙P=

圖3
【分析】A點處的陰影部分平均分成兩個弓形,將這兩個弓形移至△OBC的空白處,可得陰影部分的面積為△OBC的面積.
例4如圖4,AB是半圓O的直徑,且AB= 8,點C為半圓上的一點.將此半圓沿BC所在的直線折疊,若圓弧BC恰好過圓心O,則圖中陰影部分的面積是.(結果保留π)

圖4
【分析】將弓形OB補到弓形OC處,陰影部分的面積為扇形OAC的面積.
解:過點O作OD⊥︵BC于點D,交于點E,連接OC,則點︵E是的中點,由折疊的性質可得點O為的中點,∴S弓形BO=S弓形CO,
∴∠OBD=30°,∴∠AOC=60°,
∴S陰影=S扇形AOC=
【點評】本題考查了扇形面積的計算,解答本題的關鍵是作出輔助線,判斷點O是BOC的中點,將陰影部分的面積轉化為扇形的面積.割補法可以將不規則圖形割補成規則圖形,進而轉化為熟悉的圖形面積求解.
例5 如圖5,以AD 為直徑的半圓O 經過Rt△ABC 的斜邊AB 的兩個端點,交直角邊AC于點E.B、E 是半圓弧的三等分點,弧BE 的長為,則圖中陰影部分的面積為().

圖5
解:連接BD,BE,BO,EO,
∵B,E是半圓弧的三等分點,
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°,∠BAC=30°,
∵△BOE和△ABE同底等高,
∴△BOE和△ABE面積相等,
∴S陰影=S△ABC-S扇形BOE=
【點評】本題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積求法等知識,根據已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題關鍵.把陰影部分的面積轉化為和它面積相等的特殊圖形的面積,是求不規則圖形面積常用的方法之一.
(作者單位:江蘇省豐縣初級中學)