與圓有關(guān)的陰影部分面積

季明拓

與圓有關(guān)的陰影部分面積

季明拓

求圖形陰影部分面積，是中考試題的重要內(nèi)容之一.這些題目除了著重考查基礎(chǔ)知識(shí)之外，還十分重視對(duì)數(shù)學(xué)方法的考查，對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解和應(yīng)用，現(xiàn)對(duì)各類解法加以歸類說(shuō)明.

一、利用扇形的面積公式

例1如圖1，一個(gè)圓心角為90°的扇形，半徑OA=2，那么圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留π）

圖1

【分析】扇形AOB的面積減去△AOB的面積就是陰影部分的面積.

S△AOB

則S陰影=S扇形-S△AOB=π-2.

二、作差法

例2如圖2，在邊長(zhǎng)為2的正三角形中，將其內(nèi)切圓和三個(gè)角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為.

【分析】△ABC的面積減去四個(gè)圓的面積就是陰影部分的面積.

圖2

解：如圖2，連接OB、OD.設(shè)小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點(diǎn)為G，過(guò)G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，則∠BEF=∠BFE= 90°-30°=60°，所以△BEF是等邊三角形.

由于⊙P是等邊△BEF的內(nèi)切圓，所以點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心，也是重心，故

∴S⊙

∴S陰影=S△ABC-S⊙O-3S⊙P=

三、圖形變換法

圖3

【分析】A點(diǎn)處的陰影部分平均分成兩個(gè)弓形，將這兩個(gè)弓形移至△OBC的空白處，可得陰影部分的面積為△OBC的面積.

四、割補(bǔ)法

例4如圖4，AB是半圓O的直徑，且AB= 8，點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn).將此半圓沿BC所在的直線折疊，若圓弧BC恰好過(guò)圓心O，則圖中陰影部分的面積是.（結(jié)果保留π）

圖4

【分析】將弓形OB補(bǔ)到弓形OC處，陰影部分的面積為扇形OAC的面積.

解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥︵BC于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接OC，則點(diǎn)︵E是的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴S弓形BO=S弓形CO，

∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，

∴S陰影=S扇形AOC=

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點(diǎn)O是BOC的中點(diǎn)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積.割補(bǔ)法可以將不規(guī)則圖形割補(bǔ)成規(guī)則圖形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形面積求解.

五、等積法

例5 如圖5，以AD 為直徑的半圓O 經(jīng)過(guò)Rt△ABC 的斜邊AB 的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊AC于點(diǎn)E.B、E 是半圓弧的三等分點(diǎn)，弧BE 的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為（）.

圖5

解：連接BD，BE，BO，EO，

∵B，E是半圓弧的三等分點(diǎn)，

∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∠BAC=30°，

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面積相等，

∴S陰影=S△ABC-S扇形BOE=

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的面積計(jì)算以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題關(guān)鍵.把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為和它面積相等的特殊圖形的面積，是求不規(guī)則圖形面積常用的方法之一.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）