姜鴻雁
理知識脈絡抓重點難點看問題本質
姜鴻雁
無論哪類圖形變換,關注圖形變化前后的對應關系是關鍵,關注對應點、對應角、對應邊,則便于發現平移的距離、旋轉的角度、對稱軸或比例線段等關于圖形變換的重要“指標”,也便于運用各類圖形變換的性質,使問題迎刃而解.
例1(2016·新疆)如圖1,將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉,使得點B、A、C′在同一條直線上,則三角板ABC旋轉的角度是().

圖1
A.60°B.90°C.120°D.150°
【解析】C、C′是對應點,AC、AC′是對應邊,因為對應邊夾角是旋轉角,所以∠CAC′是旋轉角,所以本題選D.
例2(2016·泰州)如圖2,在△ABC中,BC=5cm,將△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的對應位置時,A′B′恰好經過AC的中點O,則△ABC平移的距離為cm.

圖2
【解析】圖形平移的距離是指對應點之間的距離,即BB′或CC′的長,由平移的性質知對應邊平行,易得△OB′C∽△ABC,因為O為AC中點,所以相似比為,則B′C=2.5(cm),所以BB′=2.5(cm).
無論哪類圖形變換,部分與整體之間都存在著依存關系:圖形上每個點隨著圖形整體做相同方式運動.
例3(2016·青島)如圖3,線段AB經過平移得到線段A′B′,其中點A、B的對應點分別為A′、B′,這四個點都在格點上.若線段AB上有一個點P(a,b),則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為().
A.(a-2,b+3)B.(a-2,b-3)C.(a+2,b+3)D.(a+2,b-3)

圖3
【解析】因為在運動過程中,圖形上所有的點都按相同的變化規律運動,雖然點P不是格點,但可以從線段端點A或B(它們是格點)容易發現變化規律是:向左平移2個單位,向上平移3個單位,所以答案為A.
當圖形放置在平面直角坐標系下,坐標可以確定圖形的位置,圖形的運動方式也可以通過坐標的方式來體現,善于發現坐標中的“秘密”,是我們發現問題本質的一條重要途徑.
例4(2016·濱州)正五邊ABCDE放入某平面直角坐標系后,若頂點A、B、C、D的坐標分別是(0,a)、(-3,2)、(b,m)、(c,m),則點E的坐標為().
A.(2,-3)B.(2,3)
C.(3,2)D.(3,-2)
【解析】正五邊形是軸對稱圖形,由A點坐標可知它在y軸上,C、D兩點的坐標“告訴”我們CD平行于x軸,所以本題的本質就是求B點關于y軸的對稱點E的坐標,故選C.
例5(2016·河南)如圖4,已知菱形OABC的頂點O(0,0),B(2,2),若菱形繞點O逆時針旋轉,每秒旋轉45°,則第60秒時,菱形的對角線交點D的坐標為().

圖4
【解析】點B坐標(2,2)“藏”著OB與x軸夾角是45°,每秒旋轉45°,則意味著每8秒,點B回到原處,60秒時,點B旋轉到第三象限,而菱形繞O點旋轉時,點B、對角線交點D也同樣隨整體一起旋轉,所以此時點D的坐標是(-1,-1).
圖形的變化不僅是一個個具體的知識,也是我們解決問題的重要思想方法與策略,巧妙運用圖形變化思想,有助于我們發現問題的本質,繞開易錯的煩惱,達到事半功倍的效果.
例6(2016·淄博)如圖5是由邊長相同的小正方形組成的網格,A、B、P、Q四點均在正方形網格的格點上,線段AB、PQ相交于點M,則圖中∠QMB的正切值為.

圖5
【解析】在網格問題中,應該關注格點,也“希望”要求的目標與格點相關,將線段AB上移一格再右移一格,使B、Q重合(如圖6),由平移性質得∠QMB=∠FQP,且△FQP是直角三角形,所以tan∠QMB=tan∠FQP=2.

圖6
例7(2015·婁底)一塊三角板ABC按如圖7所示的方式放置,頂點A的坐標為(0,1),直角頂點C的坐標為(-3,0),∠B=30°,則B點的坐標為.

圖7

圖8
【解析】過B點作BD⊥x軸于D,由相似變換可知△OCA∽△DBC,又因為在Rt△ABC中,∠B=30°,所以兩個三角形的相似比為1∶,則DC=,DB=3.在求B點坐標時,我們可以這樣思考:B點是由C點向左平移再向上平移33個單位得到的,則B點的坐標為(-3-3,33).用動態的思想求點的坐標,可以免去線段的長與坐標符號的正負性導致的錯誤.
結束語:圖形的變化既體現在位置關系的變化上也體現在數量關系的變化上,可以單一變化,也可以組合變化,可以從知識認識它們,更要從解決問題的方法和策略上去認識它們,它們在呼喚我們要善于用動態的眼光去看待一個靜態的圖形,用這種獨特的方式可以提升我們的思維能力.
(作者單位:江蘇省無錫市河埒中學)