基于級數變換法的橢圓柱殼受迫振動分析

張冠軍， 朱翔， 李天勻

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院，湖北 武漢 430074)

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基于級數變換法的橢圓柱殼受迫振動分析

張冠軍， 朱翔， 李天勻

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院，湖北 武漢 430074)

由于橢圓柱殼周向曲率的變化，殼體振動方程中狀態變量的系數是關于周向曲率的變系數，造成振動方程在周向波數域內不解耦，為求解帶來困難。本文基于Flügge殼體理論推導出橢圓柱殼體的受迫振動方程，采用波傳播法將橢圓柱殼位移以雙Fourier級數形式展開，周向曲率以單Fourier級數形式展開，通過級數變換將變系數的偏微分方程組轉換為周向波數相互耦合的有限階常系數線性方程組，通過求解耦合方程得到橢圓柱殼受迫振動下的位移響應。通過與數值仿真及已有文獻結果進行對比，驗證了本文方法的準確性，同時具有較高的求解效率。通過對影響殼體振動的主要參數進行分析，得出激勵力沿長半軸方向激勵的輸入功率流較小，沿短半軸方向激勵的輸入功率流較大；橢圓度對殼體輸入功率流的影響主要在低頻域；殼厚比減小，橢圓柱殼輸入功率流峰值向低頻偏移且幅值增大。

橢圓柱殼；受迫振動；橢圓度參數；輸入功率流；級數變換法；Fourier級數

隨著加工技術的進步，橢圓柱殼在潛器、航空航天、管道輸送等領域的應用日益增多。相比于圓柱殼結構，橢圓柱殼在潛器、航空器倉容及設備布置上具有更大優勢，橢圓形管道相對于方形管道斷面濕周面積小，密閉性更好，相對于圓形管道占用高度空間小。另一方面，即使是針對原設計的圓柱殼結構，由于制造加工工藝及深水壓力等因素的影響，其橫截面也無法保證為一個完美的圓形，不可避免地存在各種幾何缺陷，可能會產生不可忽略的橢圓度等偏差[1]。因此，研究橢圓柱殼的振動特性具有重要意義。

目前在結構工程領域對圓柱殼體的振動特性研究較為全面，而對于橢圓柱殼振動方面的研究還相對較少，且大多關注于橢圓柱殼的自由振動。由于橢圓柱殼周向曲率的改變導致其振動方程是一個變系數的偏微分方程組，成為橢圓柱殼研究的難點，多年來學者們采取各種近似處理方法進行退化或借助于數值解法進行求解，退化等近似處理方法誤差較大且計算范圍受限，數值解法其方程又頗為繁瑣，不便求解，對于橢圓柱殼振動機理的研究還很不充分。Klosner最早運用攝動解法對橢圓柱殼自由振動特性進行了研究，但其方法僅適用于橢圓度較小的情況，應用范圍受到限制[2-3]。Sewall利用實驗法對橢圓柱殼的自由振動進行了分析，將實驗中具有最大橢圓度的橢圓柱殼的固有頻率與圓柱殼進行了對比，發現橢圓柱殼的固有頻率比圓柱殼下降了將近 40%[4]。Shirakawa等則將橢圓截面視為兩段圓弧組合而成，使用圓柱殼的方程來建立橢圓殼體的控制方程，但形式過于復雜，含有大量高階偏微分形式(最高階偏導達到了八階)，不便應用[5]。Khalifa[6]采用傳遞矩陣法研究了嵌入非均勻地基上的各向異性橢圓柱殼的自由振動特性，但傳遞矩陣法受單元傳遞矩陣的計算精度、傳遞矩陣連乘過程中的累積誤差以及計算機的舍入(或截斷)誤差影響，狀態向量在傳遞過程中會產生一定的精度損失[7]。Tornabene等利用有限元微分法研究了復合材料橢圓柱殼的自由振動特性[8]。對于橢圓柱殼聲振特性的研究，由于解析方法存在較大困難，已有文獻大多采用數值仿真方法。張盛等用有限元軟件對包括具有初始橢圓度在內的幾種含有幾何制造誤差的圓柱殼的聲振特性進行了仿真分析和計算[1]。倪樵等采用有限元/邊界元法計算了深水中復合材料橢圓柱殼的的輻射聲功率以及殼體表面、近場和遠場聲壓，但文中并未討論與圓柱殼聲輻射特性的差異及橢圓度參數對其聲輻射特性有何影響[9]。最近石煥文等采用有限元/邊界元方法研究了不同類型的激勵和模型結構參數對兩端帶有封蓋的橢圓柱殼模型聲振特性的影響規律[10]。Zhang提出用于求解圓柱殼的固有頻率，后來該方法廣泛用于求解板殼結構的振動[11-12]，陳美霞等采用波傳播法研究了不同激勵力對圓柱殼的受迫振動特性[13]，李天勻等則采用波傳播法研究了靜壓下錐柱結合殼的自由振動特性[14]，江豐采用波傳播法研究了流體粘性對水下圓柱殼振動特性的影響[15]，葉文兵基于波傳播法研究了自由液面對水下圓柱殼聲振特性的影響[16]。

本文采用波傳播法將橢圓柱殼位移以雙Fourier級數形式展開并結合Marguerre[17]對于非圓截面曲率半徑的處理方法對橢圓柱殼的受迫振動方程進行了推導，提出了采用級數變換法將變系數的偏微分方程組轉換為周向波數相互耦合的有限階常系數線性方程組，克服了變系數偏微分方程組求解的困難，系統研究了激勵力位置、殼體橢圓度及殼體厚度對橢圓柱殼輸入功率流的影響。

1 研究對象

引入下列無量綱坐標：

(1)

圖1 橢圓柱殼幾何參數及坐標系Fig.1 Geometry parameters and coordinate system of elliptic cylindrical shell

2 基本理論推導

2.1 殼體中的位移及內力基本關系

根據Flügge薄殼理論[18]，殼體的幾何方程為

(2)

式中：εx和εs為殼體中面內各點的線應變，γxs為剪應變，κx，κs和τ代表了中面內各點主曲率及扭率的改變。

殼體的物理方程為

(3)

式中：K=Eh/(1-μ2)為殼體的拉壓剛度，D=Eh3/12(1-μ2)為殼體的彎曲剛度，Nx、Ns分別為x和s方向單位寬度上的面內力，Nsx和Nxs為平面內單位寬度上的剪切力，Mx、Ms和Mxs、Msx分別為單位寬度上的彎矩和扭矩。

殼體的動力平衡方程為

(4)

式中：Qx和Qs分別為x和s方向單位寬度上的橫剪力，F為殼體法向受到的外力，外法線方向為正。

整理式(4)，可得到一組新的動力平衡方程：

(5)

將方程組(2)、(3)代入方程(5)中，可得到矩陣形式表達的關于位移變量的動力平衡方程：

(6)

式中各算子Lij(i，j=1，2，3)表達式如下：

2.2 外激勵力表達式

設柱殼在點(x0，s0)處受到簡諧點激勵載荷：

F(x，s，t)=F0δ(s)δ(x)exp(iωt-iklx)

(7)

式中：F0表示作用在(x0，s0)處的集中力幅值。當在橢圓柱殼上作用多個集中點激勵力時，將式(7)中的s改寫為sj(j=0，1，2，…)。式(7)中，令x=0，s=s0得：

F(x，s，t)=F0δ(s0)δ(0)exp(iωt)

(8)

對于對稱位移模式，將其展開成周向波數疊加的形式：

(9)

(10)

對式(10)進行正交化處理可得

(11)

對于反對稱位移模式：

(12)

式中：ξn為與周向波數n相關的系數：

2.3 真空中橢圓柱殼體的受迫振動方程

為求解方程(6)，需將各算子Lij(i，j=1，2，3)轉變為常系數的偏微分形式，則需要給出橢圓柱殼截面的曲率半徑r(s)的具體表達式。Marguerre[17]首先提出了用傅里葉級數表示非圓截面曲率半徑的方法。隨后Romano等將Marguerre的方法進行了簡化[19]，只取傅里葉級數的前兩項來表示橢圓截面的曲率半徑，其無量綱化表達式為

(13)

ε=3Q-36/35Q3

(14)

(15)

(16)

式中：l是頻散方程中軸向波數解的序號，n是周向波數，kl為殼體的軸向波數，Ul，n、Vl，n、Wl，n分別為對應于周向波數n的殼體軸向、周向和徑向的位移Fourier幅值系數。

將方程(13)和(15)代入到平衡方程(6)中(周向反對稱振型時則將方程(16)代入方程(6))，通過級數變換可將方程(6)中的變系數轉變為常系數，得到三個關于Ul，n、Vl，n、Wl，n沿周向波數相互耦合的新的方程：

(17)

方程(17)中的位移幅值Ul，n、Vl，n、Wl，n關于不同周向波數n相互耦合成無窮多個線性方程，需對方程組進行截斷求解，即對n進行截斷選取。

當n取有限項p時，可以得到3p個線性方程，并寫成矩陣形式：

[M-Ω2I]X=F

(18)

其中，

X=[Ul，0Ul，1Ul，2…Ul，p-1Vl，0Vl，1Vl，2…Vl，p-1Wl，0Wl，1Wl，2…Wl，p-1]-1；對于對稱位移形式：

[0 0 0… 0 sin (s0) sin(2s0)…sin((p-1)s0)]-1。

M為3p階方陣，由方程(17)中的系數循環迭代而成，I為3p階單位矩陣，X和F均為3p階列向量。

由方程(18)可得

X=[M-Ω2I]-1F

(19)

則殼體位移幅值系數Ul，n、Vl，n、Wl，n可由方程(19)得到。

3 殼體輸入功率流

根據振動功率流的定義，因外激勵力呈簡諧變化，故位移響應和速度響應均呈簡諧變化，設

(20)

(21)

則：

(22)

因此，可以求得外力輸入到結構的振動功率流為

(23)

為便于比較，將輸入功率流無量綱化為

(24)

將振動功率流進行級運算可得

(25)

式中：W0=1×10-12W。

3.1 算法收斂性及準確性驗證

由式(23)可知，要計算結構在外力作用下輸入功率流，必須計算其中的無窮積分，而由于被積函數在對應于傳播波的實軸上的奇點處的值為無窮大，這樣積分便不能進行。這里采用文獻[20]中所采用的加阻尼數值積分法，這種方法是指在求解積分時，沿著復波數域的純實軸進行數值積分，而為了避免積分中奇點的出現，引入阻尼因子η，將材料的楊氏模量變為復模量，即E′=E(1-iη)。本文采用十點高斯積分法處理式(23)中的無窮積分。

對周向波數n的截斷選取進行收斂性分析，殼體輸入功率流隨周向波數的變化如圖2所示，殼體無限長，材料密度為ρ=7 800 kg/m3，楊氏模量為E=2.1×1011Pa，泊松比為μ=0.3，殼體厚度為h=0.01 m，中面半徑r0=1 m，縱波波速CL=5 200 m/s，點激勵力幅值F0=1N，無量綱頻率Ω=3，阻尼因子取η=0.01。

圖2 輸入功率流隨周向波數的收斂性曲線Fig.2 Convergence curves of input power flow with circumferential wave number

從圖2中可以看出，當橢圓度較小時，計算結果收斂所需的截斷項數相對要少，當橢圓度較大時，則需取更高的截斷項數以保證結果的準確性，但相差不大。隨著截斷項數的增加，計算結果的精度會更高，但過多的截斷項數會導致計算效率的降低，從圖中可以看出，在周向模態n=40下，不同橢圓度時橢圓柱殼的輸入功率流均趨于穩定，在本文計算中取n=40。

為了驗證本文計算方法及程序的可靠性，在本文方法中令橢圓柱殼橢圓度ε=0，將其退化為圓柱殼，與已有文獻[20]的無限長圓柱殼結果進行對比，結果如圖3(a)所示。同時選取有限長橢圓柱殼與有限元法(finiteelementmethod，FEM)結果進行了對比(橢圓柱殼長度L=100m，橢圓度ε=0.5，其他參數如文獻[20])，對比結果如圖3(b)所示。對于橢圓柱殼有限元模型，為滿足每個振動彎曲波波長內至少6個單元，則單元尺寸約為0.06m，單元數量為180 036個。同時還列出了采用本文算法和文獻[20]及有限元法所需計算時間的對比，如表1所示。

由圖3可見，本文計算結果與文獻[20]結果和FEM結果均吻合很好，說明本文計算方法及程序準確可靠。本文計算方法中將不同周向波數的系數矩陣耦合成一個矩陣，不需要采用周向波數的循環疊加，相較文獻[20]計算速度更快，計算時間約為文獻方法的1/6。FEM方法在計算頻率較高時，單元離散數量和計算時間均大幅增加，相較于數值仿真方法，本文方法依然具有較高的計算效率，計算時間約為FEM方法的1/50。

圖 3 本文結果與文獻[20]和FEM結果對比Fig.3 Results of this paper compared with the Ref[20] and FEM results

Table 1 Computing time of different calculation methods min

3.2 激勵力位置對結構輸入功率流的影響

對于橢圓柱殼，截面各處的曲率沿周向是變化的，激勵力施加在殼體截面不同位置也將對殼體的振動特性產生影響。本節研究了激勵力分別施加在s為0、π/4、π/2位置對殼體輸入功率流的影響，激勵力位置如圖4所示，不同激勵力下的輸入功率流如圖5所示。殼體橢圓度ε=0.5，其他模型參數如上文。

圖4 不同激勵力周向的位置Fig.4 Different exciting force positions in circumferential direction

從圖5可以看出，激勵力施加在不同位置對橢圓柱殼的輸入功率流有明顯的影響：在低頻段(Ω<1)，激勵力施加在s=0的位置殼體輸入功率流相對較小，施加在s=π/2的位置輸入功率流相對較大，主要由于在s=0的位置，殼體截面曲率較大，局部剛度相對也較大，激勵點的位移響應較小，因此輸入功率流也較小，而在s=π/2的位置，殼體截面曲率較小，局部剛度相對較小，響應較大，則輸入功率流也較大。而在中高頻段(Ω>1.5)，激勵力施加在各位置點輸入功率流差異較小，激勵力施加在s=0的位置輸入功率流略大，施加在s=π/2的位置輸入功率流略小，主要由于在中高頻段，殼體振動彎曲波波長較短，殼體曲率對結構振動彎曲波傳播和振動響應的影響降低。

3.3 橢圓度對結構輸入功率流的影響

橢圓柱殼的橢圓度大小不同，對橢圓柱殼的結構剛度、振動特性等影響也不相同，因此本節研究了橢圓度對橢圓柱殼輸入功率流的影響，同時也與圓柱殼(即橢圓度ε=0)作了對比，激勵力位置取s=0。圖6給出了不同橢圓度下橢圓柱殼的輸入功率流隨頻率變化。

由圖6可以看出，不同橢圓度下橢圓柱殼的輸入功率流曲線在總體趨勢上有一定的相似性：輸入功率流隨頻率的增大而不斷出現峰值，峰值對應的頻率差異較小，輸入功率流隨頻率變化的總體趨勢是先增大后趨于平穩。但橢圓度對橢圓柱殼的輸入功率流也有一定影響：在無量綱頻率Ω<1，橢圓度越大則殼體的輸入功率流越小，主要是因為激勵力在s=0處，橢圓度越大則殼體局部曲率較大，相對剛度也較大，因此響應和輸入功率流會變小。同時，由于在低頻段殼體振動波波長較大，橢圓度對振動響應的影響較明顯，而較高的頻率范圍內(Ω>2)，殼體振動波波長較短，曲率影響較小，橢圓度對殼體輸入功率流的影響也較小。

3.4 殼厚比對結構輸入功率流的影響

半徑及壁厚作為橢圓柱殼的主要參數，研究其對橢圓柱殼振動特性的影響是必要的。由于本文采用了無量綱化參數，半徑及壁厚的影響可以用無量綱化的殼厚比h/r0替代，因此，本節研究了不同殼厚比對橢圓柱殼輸入功率流的影響。圖7給出了不同殼厚比橢圓柱殼的輸入功率流隨頻率的變化曲線。

圖5 不同激勵力位置下橢圓柱殼輸入功率流Fig.5 Comparison of input power flow with different exciting force positions

圖 6 不同橢圓度下橢圓柱殼輸入功率流對比Fig.6 Comparison of input power flow with different ellipticities

圖 7 不同殼厚比橢圓柱殼輸入功率流對比Fig.7 Comparison of input power flow with different thickness ratios

由圖7可以看出，橢圓柱殼殼厚比的改變對輸入功率流的大小及峰值頻率均有明顯影響，當殼厚比減小時，輸入功率流的峰值向低頻偏移且較為明顯，說明殼厚比減小，橢圓柱殼的剛度降低，周向波數對應的頻率降低；當殼厚比減小時，結構的輸入功率流增大，說明殼厚比減小，橢圓柱殼抗振能力降低。殼厚比的改變對橢圓柱殼輸入功率流最大值對應頻率沒有明顯影響。

4 結論

本文采用級數變換法將變系數的橢圓柱殼偏微分方程組轉換為周向波數相互耦合的有限階常系數線性方程組，通過求解得到橢圓柱殼受迫振動下的位移響應，分析了激勵力位置、橢圓度ε和殼厚比h/r0對殼體輸入功率流的影響，得到結論：

1)本文計算方法將振動方程不同周向波數的系數矩陣耦合成一個矩陣，不需要采用周向波數循環疊加，計算速度更快，相比于數值仿真方法，本文方法的計算效率也較高。

2)橢圓柱殼的輸入功率流與激勵點的位置有關，相同載荷作用下，激勵沿著長半軸方向激勵的輸入功率流最小，沿著短半軸方向激勵的輸入功率流最大。

3)橢圓度對殼體輸入功率流的影響主要在低頻域，當激勵沿著長半軸時，橢圓度越大則殼體的輸入功率流越小，在高頻域振動波波長變短，橢圓度引起的曲率變化對輸入功率流的影響減弱。

4)殼厚比減小，橢圓柱殼輸入功率流峰值向低頻偏移且幅值增大；殼厚比的改變對橢圓柱殼輸入功率流最大值對應頻率沒有明顯影響。

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Forced vibration analysis of elliptic cylindrical shell based on the series transformation method

ZHANG Guanjun， ZHU Xiang， LI Tianyun

(School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China)

Due to its varied circumferential curvature， the coefficients of the state variables in the vibration equations of the elliptic cylindrical shell also vary with the circumferential curvature. Vibration equations are difficult to solve because they are coupled in the domain of the circumferential wave numbers. We derived the forced vibration equations of the elliptic cylindrical shell based on the Flügge shell theory. We then expanded the displacements of the elliptic cylindrical shell in the form of the double Fourier series using the wave propagation method and expanded the circumferential curvature in a single Fourier series. We then converted the partial differential equations with variable coefficients into a set of linear equations that were coupled to each other with respect to the circumferential wave numbers. We obtained the forced vibration responses of the elliptic cylindrical shell by solving the coupled equations. The results show good agreement with published and FEM results. In addition， our method has higher calculation efficiency. Through the analysis of the influences of the main parameters on the vibration of the elliptic cylindrical shell， we can draw the following conclusions: the input power flow is smaller when the exciting force is activated along the semi-major axis， and the input power flow is larger along the semi-minor axis. The influence of the ellipticity on the input power flow is mainly in the low-frequency domain. The peak of the input power flow has a lower frequency and the amplitude also increases with a decrease in the shell thickness ratio.

elliptic cylindrical shell; forced vibration; ellipticity parameter; input power flow; series transformation; Fourier series

2015-11-26.

日期：2017-03-20.

國家自然科學基金項目(51379083，51479079，51579109)；高等學校博士學科點專項科研基金項目(20120142110051).

張冠軍(1989-)， 男， 博士研究生； 李天勻(1969-)， 男， 教授， 博士生導師.

李天勻，E-mail：ltyz801@hust.edu.cn.

10.11990/jheu.201511067

O327； U663

A

1006-7043(2017)04-0506-08

張冠軍， 朱翔， 李天勻.基于級數變換法的橢圓柱殼受迫振動分析[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(4): 506-513.

ZHANG Guanjun， ZHU Xiang， LI Tianyun. Forced vibration analysis of elliptic cylindrical shell based on the series transformation method[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(4): 506-513.

網絡出版地址：http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170320.1107.002.html