低溫沖擊環境下的加筋板骨材裂紋擴展分析

李恒， 楊飏

(大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連 116024)

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低溫沖擊環境下的加筋板骨材裂紋擴展分析

李恒， 楊飏

(大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連 116024)

針對低溫沖擊作用下含裂紋船海結構物易呈脆性斷裂破壞的問題，選取加筋板單元進行了面外橫向沖擊載荷作用下裂紋發展路徑和斷裂規律的研究。構造了骨材裂紋I型和I-II復合型動態斷裂的條件，使用局部應力與損傷模型控制裂紋起裂和發展；采用擴展有限單元法進行數值求解。研究表明：本文方法可以很好的預測此類問題中的裂紋發展；研究I型開裂發現，斷裂能減小，裂紋擴展速度加快；研究I-II復合型開裂發現，裂紋與骨材垂向中心線距離減小或初始長度增加，裂紋起裂時間變早且整體發展路徑偏離裂尖初始方向程度減小。

初始裂紋；加筋板；低溫環境；橫向沖擊；動態斷裂能；裂紋擴展路徑；局部分析方法

高強度鋼材目前已經被廣泛使用在船舶與海洋結構物上，艦艇用鋼強度更高。相對普通強度鋼而言，高強鋼的主要優點在于[1]，使用可以大大減少鋼材用量，減輕結構自重；減小焊縫尺寸，改善焊縫質量，提高疲勞壽命。缺點是低溫韌性相對較差。電鏡下對高強鋼低溫-60～-20℃沖擊斷裂試樣斷口圖樣的觀察發現斷口呈脆性斷裂伴隨較少量的延性斷裂[2]。由于焊接工藝不過關、應力集中、材料自身缺陷以及疲勞等因素的客觀存在，結構上會不可避免的產生裂紋。工作在低溫環境下的含裂紋結構遭受外部砰擊，撞擊以及來自水中或空氣中的爆炸沖擊后，極易發生低應力開裂，裂紋將迅速擴展使結構在很短時間內斷裂失效；而不是像無缺陷結構一樣發生彈塑性變形以抵消外部沖擊作用。解決動態斷裂問題常用的數值方法有：1)有限元的網格重構方法(remeshingtechnique)，裂紋必須和單元網格邊界相一致，每擴展一次，需要重新劃分網格。2)單元間內聚力模型(cohesive zone mode)，在有限單元間插入帶失效本構的接觸單元(cohesive element)，預先設定擴展路徑，利用接觸單元的失效模擬動態裂紋擴展。3)擴展有限單元法(extended finite element method， XFEM)，擺脫了傳統有限單元法中裂紋對網格的依賴，不需網格重構和預設擴展路徑即可實現裂紋的自動擴展。

已有的研究，大多基于以上三種數值方法并結合各自不同的斷裂力學模型很好的解決了一些問題。A.R. Shahani等采用網格重構技術模擬了雙懸臂梁試件的動態斷裂過程[3]。Su Xiangting等在有限元的網格間嵌入接觸單元，對混凝土試件的拉伸、扭轉和三點彎曲沖擊斷裂試驗的真實情況進行了模擬[4]。D. Grégoire等將擴展有限元和動態應力強度因子理論結合模擬PMMA試件的SHPB沖擊斷裂試驗，二者吻合較好[5]。S Lee等采用XFEM模擬了海洋管道表面軸向半橢圓裂紋的低周疲勞擴展[6]。R Dimitri等使用XFEM研究了復合材料板的I型和I-II復合型開裂，結果和理論解誤差很小[7]。低溫沖擊斷裂試驗的實施較為困難，本文采用數值模擬方法研究。本文采用擴展有限元數值方法結合局部應力與損傷力學模型成功的預測了裂紋的擴展路徑。同時分析了斷裂能、初始裂紋長度和裂紋位置對擴展路徑的影響。

1 XFEM數值理論

擴展有限單元法于1999年由Belytschko等[8-9]提出，其基本原理是基于單位分解[10]的思想在常規有限單元法的位移模式中加進能反映裂紋面不連續和間斷特性的擴充函數來加強常規有限元對位移場的近似。其位移逼近由連續和不連續兩部分組成，連續位移采用標準有限單元法逼近，不連續位移根據所分析問題的不連續特性選取相應擴充函數來逼近。擴展有限單元法的提出引起了科學界的極大關注，得到了迅速發展和應用，主要用于解決夾雜界面、裂紋擴展和剪切帶演化等不連續問題。

1.1 擴展有限元位移模式

在常規有限元法中，單元形函數的集合就是一個單位分解，即

(1)

基于單位分解的概念，位移場u(x)可表示成控制域內的離散形式：

(2)

擴展有限元為了反映裂紋附近區域的不連續性，在裂紋附近單元的位移場逼近函數中增添了基于單位分解法的擴充項[11]，即

(3)

式中：Ni(x)是節點標準有限元形函數，ψ(x)是擴充函數，ui是標準節點自由度，aj為附加節點自由度。式(3)右端第一項是標準有限元近似，第二項是基于單位分解的擴充項近似。aj為新增加的節點自由度，它并無明確意義，是用于調整擴充函數ψ(x)的幅值以對真實場達到最佳近似的待定系數。與傳統有限元格式相比，最大區別在于單元節點處引入了多余自由度。在式(3)中，針對具體求解問題需要選用不同的擴充函數。構造擴充函數時，需要使其具有未知場u的真實解的某些特性以增加收斂速度，在實際使用中往往基于真實解的解空間來選取ψ(x)。

1.2 不同節點的擴充方式

不同節點的擴充方式不一樣，如圖1所示。

圖1 裂紋區單元節點的擴充方式Fig.1 Enrichment strategy of nodes in crack region

圖1中iH和iB分別表示被裂紋完全穿過的單元的節點集合(不包括iB)和裂尖所處單元的節點集合。全部節點的集合用i0表示，則擴展有限元的位移逼近模式可表示為

(4)

對于被裂紋完全穿過的單元，裂紋面兩側的位移場發生跳躍，擴充函數為

ψ(x)=Η(ξ)

(5)

式中：H(ξ)為廣義的Heaviside函數(階躍函數)，在裂紋一側等于1，另一側等于-1，即

(6)

對于裂尖單元，擴充函數的選取應能夠反映裂尖的位移場特性，對于各向同彈性體，ψ(x)可以是以下函數基的線性組合，即

ψk(r，θ)=

(7)

式中：r和θ是在裂尖極坐標系中定義的位置參數。式(5)的擴充函數基正是線彈性斷裂力學中平面復合型裂紋的裂尖位移場解析解的各項。用它們來構造裂尖形函數不僅可以表現裂紋面位移的不連續性質，同時可以精確捕捉裂尖位移場。這種類型的擴充函數稱為裂尖擴充函數。由于裂尖擴充函數在計算程序中使用較為復雜，難以實現，本文的研究只采用階躍函數擴充裂紋完全穿過的單元的節點，即裂紋擴展過程中將裂尖置于單元邊界，將網格細化，可以計算得到較高精度的真實裂紋擴展情況。

1.3 裂紋追蹤

由于擴展有限單元法允許不連續面(如裂紋等)穿過單元，即網格獨立于間斷面，因此需要對不連續面進行幾何描述，常用的方法是水平集方法(level sets method)。另一方面，構造階躍函數時候也需要借助水平集方法。

水平集方法是一種跟蹤間斷(如裂紋、界面等)運動的數值技術。其基本思想是將間斷面γ看成高一維空間中某一函數φ(稱為水平集函數)的零水平集(φ=0)。本文追蹤裂紋使用的水平集函數是符號距離函數(signed distance function)，其表達式為

ξ(x)=min‖x-xr‖sign(n+·(x-xr))

(8)

式中：n+是間斷處的單位法向量。對于不在間斷處的任何點x，ξ(x)是從點x到間斷處γ的最短距離。并且對ξ(x)以如下方式定義正負：如果點x所在的位置與n+指向一致，取正；如果點x在另一側，取負。

2 局部應力與損傷力學模型

局部應力與損傷模型關注斷裂過程區的力學行為，由裂尖區的應力和損傷狀態決定裂紋如何擴展，主要包括損傷起始和損傷演化，分別用于預測起裂和控制擴展，對脆性斷裂和延性斷裂都適用。

損傷起始即裂紋擴展方向垂直于裂尖點的最大主應力方向，最大主應力值達到損傷開始的臨界值時裂紋開始擴展。關于損傷演化，在裂紋面間引入內聚力模型，該模型核心思想為裂紋的張開變形導致了內聚力τ(δ)，它是張開位移δ(x)的函數。內聚力隨著裂紋張開位移的增大而減小，當裂紋張開位移增至δ*時，內聚力τ衰減為零，如圖2所示。

圖2 內聚力裂紋模型Fig.2 Cohesive crack model

假定裂紋損傷起始前內聚力按線彈性關系發展至最大值Tmax，Tmax可由裂紋區域擴充單元的彈性材料屬性計算得到；損傷起始后即裂尖張開后內聚力按圖3所示的線性關系退化。即

tn=(1-D)Τn

(9)

式中：Τn是矢量，包含一個法向和兩個切向分量。Τn是損傷起始前計算出來的內聚力。損傷起始后的退化規律，也可以采用其他退化方式以更好的控制裂紋的真實擴展。Hillerborg等[12]將斷裂能引入內聚力裂紋模型，損傷演化由損傷過程中耗散的能量Gc(斷裂能)來控制，其值等于圖3曲線下的面積。斷裂能是材料本身的屬性，可以通過實驗測得。

圖3 內聚力-裂紋分離法則Fig.3 Cohesive traction-separation law

采用局部應力與損傷模型后，裂紋穿過區域的單元應力應變關系將按圖4中的曲線發展。εr點對應損傷起始時即裂尖開始張開時的應變，此時單元損傷指數D為0；εR點對應完全損傷即內聚力降為零時的應變，此時單元損傷指數D達到1。

圖4 裂紋穿越單元的應力-應變關系Fig.4 Stress-strain curve for element split by crack

3 加筋板骨材裂紋擴展分析

3.1 分析模型的建立

本文選取縱向加強結構的加筋板單元建立分析模型，如圖5所示。面板尺寸為0.6 m×0.6 m，厚度為12 mm，縱骨截面尺寸為120 mm×8 mm。面板和縱骨相交的兩邊采取簡支約束，剩余兩邊自由。考慮實際結構中縱骨端部下端一般會有強框架支撐，在縱骨底部兩端 12 mm范圍內約束其垂直面板方向的位移，整個面板均勻施加橫向向內壓力沖擊載荷。

圖5 分析模型Fig.5 Analysis model

所用材料為船用高強鋼，屈服強度620 MPa，密度7 850 kg/m3，楊氏模量210 GPa，泊松比0.3。選取材料本構為Ramberg-Osgood模型，參數n為5，α為0.002。其應力應變關系為

(10)

式中：E是楊氏模量，船舶實際營運中最大名義彎曲應力范圍為69～90 MN/m2[2]，大量斷裂事故在正常營運中發生，即斷裂應力值遠低于材料屈服強度值。因此最大主應力定為80 MPa。低溫動態斷裂能Gc為

(11)

式中：KId是鋼材在NDT(無塑性轉變溫度)時的動態斷裂韌度。歐文得出NDT溫度下的KId[2]:

(12)

式中：σyd為沖擊動態屈服應力，一般高出屈服強度138 MPa左右[2]，系數0.079 7≤C≤0.124 3。計算得到低溫動態斷裂能Gc約為40 kN/m。

圖6 沖擊力時程曲線Fig.6 The impact force-time history

3.2 縱骨Ⅰ型裂紋擴展分析

假定縱骨垂向中心線處下緣存在8 mm長初始裂紋，分析Pmax=0.5 MPa時的擴展情況。由于對稱，裂紋呈I型張開擴展，擴展路徑為垂直于面板的直線，如圖7所示。溫度降低，材料的斷裂能也會減小[2]。改變低溫范圍內的斷裂能，分別計算20、40和60 kN/m斷裂能下的擴展發現不同斷裂能下的裂紋擴展路徑均為直線，均在t=0.590 ms時刻起裂，分別在1.407、1.508和1.560 ms時刻引起面板的開始斷裂。此外，還得到不同斷裂能下初始裂紋尖端的張開位移時程曲線，如圖8所示。

圖7 Ⅰ型裂紋擴展Fig.7 Crack propagation of mode I

圖8 裂紋尖端張開位移時程曲線Fig.8 Crack tip open displacement-time history

3.3 縱骨I-II復合型裂紋擴展分析

3.3.1 不同初始裂紋長度下的擴展

為了觀察初始裂紋長度對裂紋擴展路徑的影響，分析預測了Pmax=1.0 MPa時，距離縱骨中心0.151 m處，初始裂紋長度4～40 mm范圍內的10道裂紋的擴展路徑。圖9是縱骨上各裂紋路徑的示意圖，均呈I-II復合型擴展，自左向右依次代表4～40 mm范圍內按4 mm大小單調遞增的各初始裂紋長度下的擴展路徑，裂紋起裂時間見表1。

注：圖中坐標原點為縱骨垂向中心線和縱骨底邊(縱骨不與面板接觸的一邊)的交點。圖9 不同初始長度下的裂紋擴展路徑Fig.9 Crack propagation path for different initial crack lengths

初始裂紋長度/mm起裂時間/ms40.54080.515120.498160.470200.448240.436280.430320.418360.412400.398

3.3.2 不同位置處的裂紋擴展

在縱骨垂向中心線外同一側，約取25 mm間隔，分別計算Pmax=1.0 MPa時，11個不同位置處8 mm 初始長度裂紋的擴展路徑。圖10給出了距離縱骨垂向中心線0.226 m和0.251 m處的兩道典型I-II復合型裂紋擴展路徑的實體圖。各個位置處的裂紋擴展路徑示意圖匯總為圖11(此圖代表一半縱骨的投影圖(沿縱骨厚度方向投影)，x、y軸分別表示縱骨的底邊和垂向中心線，圖的頂線代表縱骨和面板的交界線，右端邊線為縱骨垂向邊緣)。

圖10 典型I-II復合型裂紋擴展Fig.10 Typical mixed-mode I-II crack propagation

圖11 不同位置的裂紋擴展路徑Fig.11 Crack propagation path for multiple locations

其中，距離縱骨垂向中心線較遠的0.275 m處的裂紋，在整個載荷作用歷程中，裂尖最大主應力未達到80 MPa，因此未發生起裂。各個位置裂紋的起裂時間見表2。

表2 不同位置處裂紋起裂時間

綜上所述，低溫環境下位于加筋板骨材上的初始裂紋在外部橫向沖擊載荷作用下會迅速地擴展至面板，引起面板的斷裂，在實際船舶與海洋結構物中表現為結構外板的斷裂。這不僅會使結構承載力下降，還會造成外部海水涌入或者內部液體泄漏等災難性事件。因此應經常檢測外板內部的加強結構上是否存在裂紋(尤其是低溫服役環境下的軍艦和破冰船)，并在裂紋擴展路徑或最終斷裂位置上采取相應的措施修復和制止裂紋擴展，以確保構件的完整性和連續性。

4 結論

本文方法適于解決低溫沖擊作用下加筋板骨材的動態裂紋擴展問題，可以有效的預測裂紋發展路徑和最終引起面板斷裂的位置，為實施裂紋修補和止裂提供指導。

1) 縱骨I型裂紋擴展中，溫度降低，材料斷裂減小，裂尖張開位移速度加快，裂紋擴展速度加快，即結構抵抗裂紋擴展能力減弱。

2) 同一位置不同初始長度裂紋的I-II復合型擴展中，初始裂紋越長，裂紋起裂時間越早，裂紋路徑的整體傾斜度(裂紋擴展路徑和裂尖初始方向的夾角)越小，擴展到面板時的位置離縱骨中心越遠。

3) 縱骨垂向中心線以外，不同位置同一初始長度裂紋的I-II復合型擴展中，裂紋離縱骨中心越遠，擴展路徑的整體傾斜度越大，起裂時間越晚，即越不容易起裂。

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Crack growth analysis of stiffeners in a stiffened panel under low-temperature impact

LI Heng， YANG Yang

(Department of Naval Architecture & Ocean Engineering， Dalian University of Technology， Dalian 116024， China)

Ship and marine structures with cracks inside exposed to the cold tend to fail in typical brittle fractures under external shock loading. To solve this problem， we selected a stiffened plate unit to analyze its crack propagation path and fracture laws under lateral impact. We created mode I and mixed-mode I-II dynamic crack propagation conditions， introduced a local stress and damage model to control the initiation and growth of cracks， and adopted the extended finite element method for our numerical calculations. The research results show that the approach we used can effectively predict crack propagation. The mode-I fracture research results show that crack growth speed increases as the fracture energy decreases. The mode I-II fracture research results show that cracks initiate earlier and the whole propagation path deviates more from the initial direction of the crack tip as the crack′s distance to the stiffener′s vertical center line decreases or the crack′s initial length increases.

initial crack; stiffened panels; low-temperature circumstance; lateral impact; dynamic fracture energy; crack propagation path; local analysis approach

2016-06-20.

日期：2017-03-17.

國家自然科學基金項目(51261120376).

李恒(1991-)，男，碩士研究生； 楊飏(1975-)，女，副教授.

楊飏，E-mail：yyang@dlut.edu.cn.

10.11990/jheu.201606057

U663.2

A

1006-7043(2017)04-0521-06

李恒，楊飏.低溫沖擊環境下的加筋板骨材裂紋擴展分析[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(4): 521-526.

LI Heng， YANG Yang. Crack growth analysis of stiffeners in a stiffened panel under low-temperature impact[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(4): 521-526.

網絡出版地址：http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170317.1631.018.html