“打開抽屜”巧解題

徐婷

抽屜原理是德國數學家狄里克雷最早發現并應用于數論研究的。后人為了紀念他，就把抽屜原理叫做狄里克雷重疊原理。即把多于n個的蘋果放進n個抽屜里，那么，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。如果把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結論，所以有時也把抽屜原理叫做鴿巢原理。不要小看這個原理，利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數學問題。

【例1】一個班里有59名同學，說明其中至少有2名同學在同一個星期里過生日。

【分析與解】把59名同學看作59個蘋果，把一個星期看作一個抽屜，一年有52個星期，即52個抽屜。把59個蘋果放入52個抽屜，一定有一個抽屜里至少放入兩個蘋果，也就是總有一個星期里至少有2名同學過生日。

【例2】在1米長的線段上隨意點上5個點，說明至少有兩個點的距離不大于25厘米。

【分析與解】把1米長的線段平均分成四段，每段長25厘米。把每一段看作一個抽屜，把5個點看作5個蘋果，5個蘋果放入4個抽屜，總有一個抽屜里至少放入兩個蘋果，也就是有一段里至少有兩個點，這兩個點之間的距離一定不大于25厘米，所以結論是成立的。

【例3】有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子顏色配組是一樣的。

【分析與解】首先要確定3枚棋子可以有多少種不同的配組情況，可以有“3黑、2黑1白、1黑2白、3白”共4種，即4個抽屜。把每人的3枚棋子作為一組當作一個蘋果，即有5個蘋果，比抽屜個數多，所以根據抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是至少有兩個小朋友摸出的棋子顏色配組是一樣的。

【例4】上衣和褲子分別有紅、黃、藍3種顏色，同學們可以任意選擇上衣和褲子穿上。至少要有幾名學生，才能保證有兩名學生穿的上衣和褲子顏色相同？

【分析與解】本題中，我們把上衣和褲子的幾種搭配情況看作抽屜，問題就可解決。3種顏色的上衣和褲子的搭配情況有以下9種：紅上衣紅褲子、紅上衣黃褲子、紅上衣藍褲子、黃上衣紅褲子、黃上衣黃褲子、黃上衣藍褲子、藍上衣黃褲子、藍上衣紅褲子、藍上衣藍褲子。把每一種搭配看作一個抽屜，共9個抽屜。要保證有兩名學生穿的上衣、褲子顏色都相同，即要保證有一個抽屜至少放兩個蘋果，所以至少要9+1=10（個）蘋果，也就是說至少要有10名學生，才能保證有兩名學生穿的上衣和褲子的顏色相同。

【例5】某人步行10小時，共走了45千米。已知他第1小時走了5千米，最后1小時走了3千米，其余各小時都走了整數千米。說明：在中間的8小時當中，一定存在連續的2小時，這人至少走了10千米。

【分析與解】為了明確題目中的數量關系，可根據問題的條件找出“蘋果”，構成“抽屜”，使問題得解。中間8小時共走了45 5 3=37（千米），把37千米看作37個蘋果；這8小時按順序分成4段（第2、3小時、第4、5小時、第6、7小時、第8、9小時），把這4段看作4個抽屜。由37=9€？+1知，必有一個抽屜，至少放有10個蘋果，即必有一個連續的2小時，這人至少走了10千米。

【例6】用1、2、3這3個數字任意寫出一個2003位數。從這個數中任意截取相鄰的3個數字，可以得到許多3位數。這些3位數中至少有多少個是相同的？

【分析與解】因為是求從這個2003位數中截取的相鄰的3位數有多少個是相同的，所以“蘋果”應該是截取的所有3位數，而“抽屜”應該是用1、2、3組成的不同的3位數的個數。在這個2003位數中，共能截取出相鄰的3位數的個數有2003 2=2001（個）。用1、2、3這3個數字可以組成的不同的3位數的個數是3€？€？=27（個）。2001€？7=74（組）……3（個）。所以在這些3位數中，至少有75個是相同的。

【小結與提示】在抽屜原理的運用中，主要考慮三個數：蘋果數、抽屜數和結論數。在解題時，我們首先要準確判斷哪個量代表抽屜，哪個量代表蘋果，哪個量代表結論。當題目中沒有直接告訴我們蘋果和抽屜時，我們就要選取和構造蘋果和抽屜，再利用抽屜原理進行解答。

【練一練】

1.某校的小學生年齡最小的6歲，最大的13歲，從這個學校中任選幾位同學就一定保證其中有兩位同學的年齡相同？

2.證明：任取6個自然數，必有兩個數的差是5的倍數。

3.學校體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球。現有66名同學來倉庫拿球，要求每人至少拿一個球，至多拿2個球。問：至少有多少名同學所拿的球是完全一樣的？

4.口袋中放有紅、黃、白、黑四種顏色的襪子各10只，只許用手摸，不許用眼看，至少要從口袋中取出多少只襪子，才能保證配成5雙。

5.“華杯”賽獲獎的87名學生來自12所小學，證明至少有8名學生來自同一所學校。

6.用紅、白、黃三種顏色給一個3€譶的長方形中的每一個小方格隨意涂上一種顏色。n至少為多少時，才能保證至少有2列涂色的方式完全相同？