由一道選擇壓軸題參考答案引起的探究*

王先義 劉成龍

四川省內江師范學院數學與信息科學學院 (641112)

由一道選擇壓軸題參考答案引起的探究*

王先義 劉成龍

四川省內江師范學院數學與信息科學學院 (641112)

A.[1,e]B.[e-1,1]

C.[1,1+e]D.[e-1,e+1]

上述試題是2013年四川卷理科選擇題中的壓軸題，現將參考答案摘錄如下：

參考答案使用的是排除法，大家不免要問用一般的方法怎么解答該題呢？下文給出試題的一般解法及相關鏈接.

首先給出兩個有用的結論：

結論1 (表達式角度)若f(x)為定義在I上的增函數，則f(f(x))=x?f(x)=x.

證明:“?”任取x1∈I，不妨設f(x1)>x1，因為f(x)是定義在I上的增函數，所以f(f(x1))>f(x1)>x1，這與f(f(x1))=x1矛盾.故f(x)=x.

“?”顯然.

結論2 (方程解角度)若y=f(x)是定義在I上的增函數，則方程f(f(x))=x?方程f(x)=x?方程f-1(x)=x?方程f(x)=f-1(x).

證明:因為y=f(x)是為定義在I上的增函數，所以y=f(x)有反函數，記為y=f-1(x)，設反函數與原函數的交點坐標為(x0,y0)，則(y0,x0)也是它們的交點，且f(x0)=y0,f(y0)=x0.不妨設x0

推論1 若y=f(x)為定義在I上的增函數，則方程f(f(…f(x)…))=x?方程f(x)=x?方程f-1(x)=x?方程f(x)=f-1(x).

對結論2運用數學歸納法即可得推論1，證明過程略.

試題解答：

由推論可以對試題進行推廣：

相關鏈接

1.(2012浙江競賽題)設函數f(x)=x2+bx+c，若方程f(x)=x無實根，則方程f(f(x))=x( ).

A.有四個相異實根B.有兩個相異實根

C.有一個實根D.無實根

解:由f(x)=x2+bx+c開口向上，且方程f(x)=x無實根，得?x∈R，f(x)>x，故f(f(x))>f(x)>x，所以f(f(x))=x無實根.

3.(2013福建三明市質量檢測理10)對于函數f(x)，若f(x0)=x0，則稱x0為函數f(x)的“不動點”；若f(f(x0))=x0，則稱x0為函數的“穩定點”.如果函數f(x)=x2+a(a∈R)的“穩定點”恰是它的“不動點”，那么實數a的取值范圍是( ).

四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目(ZY16001)資助.王先義，內江師范學院的14級本科生；劉成龍系本文

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