對一道高三數(shù)列模考題的閱卷思考*

李乃洋

江蘇省海門中學(xué) (226100)

對一道高三數(shù)列模考題的閱卷思考*

李乃洋

江蘇省海門中學(xué) (226100)

一、題目

已知數(shù)列{an}中，a1=1-λ，an+1=3an+λ(2n-1),n∈N*，λ為常數(shù).

(1)設(shè)bn=an+λn，求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；

(3)若S3為數(shù)列{Sn}的最小項，求實數(shù)λ的取值范圍.

二、閱卷反饋

第(3)問考場學(xué)生的主要做法有如下幾種：

點評：上述錯解問題在于“n≥3時，Sn+1≥Sn恒成立；n≤2時，Sn+1≤Sn”?{Sn}中最小項為S3；而S3為數(shù)列{Sn}的最小項推不出{Sn}一定滿足S1≥S2≥S3，S3≤S4≤S5…這樣的單調(diào)特點，該做法的學(xué)生沒有找到問題正確的等價轉(zhuǎn)化思路.

點評：上面不完善的解法利用了最值的必要條件即S3在局部最小，得到的λ范圍并不一定保證使得其為整個定義域上的最小項，所以該解法缺少充分性論證.

(3)漂亮的解法：

點評：解法1從數(shù)列{Sn}自身單調(diào)性入手，通過作差Sn+1-Sn確定其符號，證明發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項開始具有遞增特點，結(jié)合前幾項的大小關(guān)系明確了最值項的位置.

點評：解法2也是從{Sn}單調(diào)性入手，但該類學(xué)生做法是靈活運用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識處理單調(diào)性問題，解題方法能體現(xiàn)對“數(shù)列是一類特殊的函數(shù)”本質(zhì)的理解，不愧為一種漂亮的解法.

(4)沒有(或很少)看到的解法：

點評：解法3也是從數(shù)列{Sn}的單調(diào)性角度論證，但該解法直接將數(shù)列化歸為一般的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究定義域連續(xù)的函數(shù)單調(diào)性，在此基礎(chǔ)上再回歸到研究定義域是正整數(shù)(子集)的數(shù)列{Sn}的大小變化規(guī)律.

點評：解法4是從數(shù)列{an}自身的單調(diào)性出發(fā)，考慮an值的符號對求和Sn的影響.考生要理解S3最小?a1+a2+a3達到和最小，a1+a2+a3+a4+…+ai(i≥4)開始變大，所以需要判斷ai(i≥4)往后的取值符號.

三、閱卷后的思考

1.學(xué)生暴露的理解缺陷

(1)對題目中概念的理解誤區(qū)：“若S3為數(shù)列{Sn}的最小項，求實數(shù)λ的取值范圍”中“最小項”指的是什么含義？誤區(qū)1：S1,S2,S3遞減，而S3往后遞增，這里把{Sn}性質(zhì)過于特殊化，因為題目并沒有說明數(shù)列{Sn}的單調(diào)性情況，存在數(shù)列的波動性可能或周期性可能；誤區(qū)2：最小項?S3≤S4且S3≤S2，這種解法反映部分考生對“最值”是函數(shù)定義域上的“整體”性質(zhì)理解不夠.

2.閱卷帶給教學(xué)的啟發(fā)

(1)復(fù)習(xí)教學(xué)要重視引導(dǎo)學(xué)生對概念學(xué)習(xí)的回歸.此題中涉及最小值的概念，在函數(shù)中最值的定義是：設(shè)y=f(x)的定義域為A，如果存在x0∈A，使得對于任意的實數(shù)x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y=f(x)的最小值，記為ymin=f(x0).從定義中要請學(xué)生辨析“最小值”和“極小值”的區(qū)別，容易發(fā)現(xiàn)最小值是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)，強調(diào)對定義域內(nèi)的x的任意性，也可以轉(zhuǎn)化為一種恒成立問題.

(2)復(fù)習(xí)教學(xué)要重視督促學(xué)生對常見問題(題型)解法的研究.以此題為例，學(xué)生有多種解題思路，但就個體而言參差不齊.所以講評試卷時可以讓更多學(xué)生來說一說(議一議)對題目解法的理解：(Ⅰ)通性通法的角度，數(shù)列的最值問題一般可以從什么角度入手？(Ⅱ)知識與方法的聯(lián)系，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，對研究數(shù)列最值問題有哪些幫助？(Ⅲ)提問中特征表述的歸納.問題是關(guān)于求參數(shù)λ的范圍，平時教與學(xué)中對參數(shù)范圍的常見問題類型及解法做過一定總結(jié)歸類，可以為后續(xù)解題較快找到合理解題思路奠定良好基礎(chǔ).

*本文為海門市徽課題《高中數(shù)學(xué)解題反思能力培養(yǎng)探究》研究部分成果.