由一道高考題引發的猜想與證明

李卓祺 羅衛強

江西省吉安市白鷺洲中學 (343000)

由一道高考題引發的猜想與證明

李卓祺 羅衛強

江西省吉安市白鷺洲中學 (343000)

在平面幾何里，有切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.如圖1，|PT|2=|PA|·|PB|.

圖1

由此進行類比聯想，橢圓中是否也有類似于切割線定理的性質呢？

先看一道高考試題：

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標；

(2)設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P.證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

基于上述結論，可給出以下兩個猜想.

猜想1 從橢圓外一點P引橢圓的切線PT與割線PAB，切線長的平方與這點到割線與橢圓交點的兩條線段長的積成定比.

猜想2 從橢圓外一點P引橢圓的切線PT和割線PAB，并且此割線平行于切點與橢圓中心的連線，則切線長的平方與這點到割線與圓交點的兩條線段長的積成定比.

在不失一般性的前提下，可以給出以下命題：

圖2

λ|PA||PB|.

此時λ與m無關，為常數.故命題得證.

這說明橢圓確實具有類似于“圓的切割線定理”的性質.

能否進一步猜想雙曲線也具有類似于“圓的切割線定理”的性質呢？有興趣的讀者可嘗試探究.

看來解題實踐中處處是學問.我們在做題的同時也應該要多多觀察題目中的小細節，說不定就能得出有趣的結論.