用張量級數表示特殊函數

征夏明

摘 要：在數學和物理的研究過程中，出現了許多特殊函數，在各領域有其重要作用。一部分特殊函數是由多項式級數表示的，本文中，將運用一種新的思路，用對稱張量的級數表示出球諧函數和埃爾米特多項式，同時給出了定義高維球諧函數的方法，這將對理解其數學本質上有所幫助。

關鍵詞：對稱張量；球函數；埃爾米特多項式

中圖分類號：O411.1 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）05-0252-05

Abstract：Many special functions exist in mathematics， physics or other applications. Some of them are expressed by series of polynomial. In this paper， with a new method， spherical harmonic and Hermite polynomial will be represented.

Key words：Symmetric Tensors； Spherical Harmonic； Hermite Polynomial.

1 球函數

我們知道球函數是在球坐標系下用分離變量法解拉普拉斯方程得出的。球坐標系下，拉普拉斯方程為：

（1.1）

其中關于角變量的部分可由角動量算符的平方表示：

（1.2）

這里的略去了-，只是為了便于表示，并不影響結果。

將分離為：，帶入（1.1）整理得：

（1.3）

我們想求出的特征向量，這正是所需要的球函數. 解特征方程 （1.4）

同時有 （1.5）

在球坐標系中，一點的位置可由r=r表示。其中=sinθcosφ+sinθsinφ+cosθ，，，分別為x，y，z軸正方向的單位向量，用分量可寫成

。

從而我們可以將關于θ，φ的函數F看作關于的函數。

筆者在這里不加證明的做出猜想：任何關于θ和φ的函數可以展開成關于的冪級數：

（1.6）

式中是三位空間的l階張量，式中第l項是l個向量的l重點積。

事實上這是比較直觀的展開，因為任一l階張量與l個單位張量做點積，其結果確實是一個l次多項式，結合關于函數用多項式展開的知識，這二者應當是等價的。

思考一下，若想表示球函數，從幾何上說必須滿足空間中點的中心調和性和與長度無關的性質，即其被定義在球面上，并且與空間中一點到原點的長度無關。

這樣我們就可以對（1.6）中的張量做出限制：

1.是對稱張量.

，是關于的任意排列（交換群）。

2.的跡為零.

，

即任取兩指標，將其設為相同的指標，再對這個指標求和（就是對任意二指標收縮）所得的l-2階張量是零張量.由于我們已經將張量限制為對稱的，因此張量只要對某兩個指標滿足條件，則對任意兩個指標收縮求得的跡都等于0。

（注：，，…是l個不同的指標，與i，j，k等的意義相同，可在1，2，3中取值，下文同理，表示對指標收縮求跡，.為一l-2階張量。）

解，定義（）= （1.7）

對于一個給定的（），可以構造一個新函數（r），

（1.8）

這里的和（1.7）中的是相同的，只是將其與而不是相乘后再對各指標求和，其中，即.

聯想到前面的（1.1）式，如果將（r）看作其中的j，那么（r）是否是（1.1）的解（r）=0？答案是肯定的. 那么在（1.3）中，R（r）=，F（θ，φ）=（），

可得，

（1.9）

這樣我們求得了的特征值為-l（l+1），對應的特征向量即（），這正是球諧函數.從而我們推出了球函數與對稱且跡等于零的張量間的內在關系.下面證明（r）是（1.1）的解。

（r）=0 從l=0的情況開始，；

這是顯然的，因為是零階張量，為一常數.同樣，當l=1，（r）=0；

一般情形時，，是對第m個指標的自變量求偏導，即。

（r）=//

=（+…）+（…）+…）

=

//運用了δ函數交換指標的性質

=（+...）+（（）+（…）+…）

由于我們限定張量是對稱且即等于0的，對任意二指標收縮等于0，從而最后一個等式中第一個括號是等于0的，而后面的部分都是與第一個括號對稱的，只是調換了指標次序.從而可以斷定（r）=0，QED.

這樣（1.9）的結論便得以印證。

下面我們思考一下以這種方式定義的球函數的代數結構.在量子力學中，我們利用對易關系和構造了的特征向量的階梯結構，對于每一個l值，存在m=-l，-l+1，…l-1，l共2l+1個和共有的線性無關的特征向量（因為一個分量上的角動量不可能大于系統的總角動量）。

我們也可以從另一個角度理解這個概念，由（1.9）已知l階對稱且跡為零的張量與的點積是和的特征向量，那么對于一個給定的非負整數l，最多有多少個線性無關的對稱且跡為零的張量？（換句話說，是所有l階線性無關且跡為零的張量構成的線性空間的維數是多少？）

先考慮l階線性無關的對稱張量的個數，記作。事實上這和求構造一個l階對稱張量需要的最多獨立元素的個數是等價的，在下面的說明里可以看出。

從l=0開始，顯然一個元素就能確定，于是。

當l=1，本身就是對稱的，其三個分量需要3個不同的數確定，則.

當l=2，對稱矩陣可表示為：

=

需要6個分量確定.顯然所有的三維對稱矩陣構成了一個六維的線性空間。

考慮一般情形，因為我們的張量是處于3維空間中的方形張量，每個指標可以從1取至3，這樣可以抽象成一個問題，l個指標分別如何取值的問題，也就是將l個不同的球放進標上1，2，3的箱子里有多少種放法的問題.可以用隔板法解決：將l個球和兩塊隔板放在一起混合后不考慮順序地將l個球取出（對稱），有：==其中是組合數，這樣可以得出

.

再來分析張量滿足跡等于0的條件.對稱張量滿足

方程等號左端是l-2階張量，容易驗證其仍是對稱的，因為對任意二指標收縮都等于0，這會得到多個方程.其左端都是l-2階張量，則方程的個數是.最后可得線性無關的對稱且跡為零的l階張量的最大個數為，與其他方法給出的結論相同。

目前為止，我們已經說明了對稱且跡等于零的張量的一些性質，下面將構造出一組滿足這樣條件的2l+1個l階張量，且與球函數的分析性質一一對應，并證明與勒讓德多項式的相關性，從而達到用張量表示球函數的目的。

先考慮軸對稱的情況，則連帶勒讓德多項式退化為勒讓德多項式.此時（1.1）中的和j（1.3）中的F都是與φ無關的，我們任意地選z軸作為對稱軸，當然j和F是關于z軸對稱的.我們想到一種直接的構造方式，即多個z軸的單位向量的并積的形式，z軸正方向單位向量記作，用坐標表示為（0，0，1），用分量表示為=，同時有·=cosθ。

我們看到，當然是對稱的，下面將證明通過加減運算，將轉化為跡為0的張量。

定義映射T：，可將滿足一定條件的對稱張量映為跡等于零的對稱且跡等于零的張量.是所有3維空間下l階對稱張量組成的集合，是所有3維l階對稱且跡為零張量的集合.先看l=0和1的情形，此時，，顯然此時跡已經等于0了，有T[1]=1和.再看l=2時，，可寫成矩陣：。

想將的跡化為0的一種形式較為簡單的方法是減去，I是三維的單位矩陣.寫成分量表示為，從而T[]=-.

當l=3，，可以想象出，只有一個頂點上的元素是1，其余都是0。同樣可將其減去另一個跡為（0，0，1）的張量，也就是，形狀類似于爪形.所以T[]=。

我們發現了規律：將的跡化為零需要加減的張量都是和δ函數的乘積的形式，并將一直加減至δ函數的個數所可能達到的最大值[]（[n]為不超過n的最大整數）.從而對稱且跡等于零的張量

（1.10）

其中是待定系數。

在確定這些系數之前，我們先數一下這樣的l階張量的個數，由m個δ函數，l-2m個單位向量組合而成的l階張量的個數。當m=0，顯然是1個；m=1時，是從l個指標中任選兩個指標，由于δ函數關于兩個指標是對稱的，因而與次序無關，可用組合數計算出有個這樣的張量（對應系數為的括號中的）.再看m=2的情況，這時需要兩次連續選取兩個指標，由于δ函數之間的乘積也是可交換的，所以要再除以（為避免重復），得出m=2時有個.這樣通過歸納，可以得出由m個δ函數，l-2m個單位向量組合成的所有可能的l階張量的個數為：

（1.11）

我們可以通過解方程來確定各待定系數，也可從其與勒讓德多項式的等價性計算，最后可得出各系數。

這樣得到

（1.10）

注：式中最后一項的意義是在l為奇數時出現，偶數時則不存在.符號表示對的所有可能排列求和。

這是前幾階構造出的對稱且跡為零的張量：

.

（1.7）式中，（）是與的點積，顯然這就是勒讓德多項式。

.

事實上，

，

考慮到每一項的l階張量的個數和其系數，可以看出：

（）= （1.12）

相差一個因數，可由羅德里格斯公式算出，易得：

（1.12）

綜上，可以完整的寫出（1.6）

F（）=F（θ）=1+++…

+ （1.6）

這就是軸對稱情形下的球函數。

下面分析更為一般的情形，即沒有軸對稱的情況。我們知道此時的球函數。

這個性質說明了在坐標系對z軸作一旋轉變換時，球函數的變化過程為一個相位的變化。

我們可以從這個角度構造出一般情況張量，即用關于z軸的旋轉變換的特征向量。

設想一線性變換，對z軸逆時針（正方向）旋轉α。

可用矩陣表示為，X=RX（1.13）

其特征方程為det（R-λI）=0，解得特征值λ=cos=cosα±isinα=（1.14）。

在實數范圍內的情形正是我們之前計算的軸對稱情況，特征向量是z軸方向的單位向量，特征值為1.現在我們需要尋找其他滿足條件的復特征向量。

將λ=代回方程（1.13），解得=，最后得到，，加上，三者兩兩正交，我們發現

。

嘗試以這樣的方式構造：或，由于， ，顯然這樣的張量是對稱且跡等于零的。

為了使結果與成正比，可令其包含m個或的并積（m>0時用，m<0時用），，同時其余的部分是一個最高次為l的關于cosθ的多項式，化簡后包含sinθ的m次冪和cosθ的l-m次冪的乘積.由于，可以嘗試用l-m個和m個的并積構造張量，.從而可以取其對稱且跡等于零的部分，來匹配滿足上文中討論的滿足條件的張量的代數結構。

先將（下文中記作）化為對稱的形式，再用變換得到同時滿足分析性質和代數性質的張量.定義，M將一張量化為對稱張量。

，就是對所有指標的任意排列求和，再除以l！.

則，再取

，得到我們需要的對稱且跡為零的張量，與（1.7）類似，這里設（1.15）。

這是前幾階的張量。

計算后對應的前幾項為：

注：書寫過于復雜，不妨記作表示為取一張量對稱且跡為零的部分，這也包括了軸對稱的情形，因為永遠對稱。

然而，對于更大的l，會變得難以計算，可以利用如下的等式：

（1.16）

即不直接計算，間接計算 ，從而求得（1.15）中的球函數.

我們知道球函數用多項式表示為：

（1.17）

是連帶勒讓德多項式。

同時，可用羅德里格斯公式推知系數

（1.18）

可得。

現在觀察中或的個數，若依次增大或減小的個數，則有2l+1種可能的（這里限定和不能同時存在），對應有2l+1種可能的，聯想到量子力學中角動量算符的特征向量的階梯結構，其中的關聯是顯然的。

當用升降算符作用于一個球函數時，將會得到或的量子態，其結果正是將的的個數增大或減小（m≥0時作用會將一個替換為，作用將一個替換為；m<0時相反.）再取的對稱且跡為零的部分.

最后，可以寫出以球函數為基底的張量級數展式：

（1.19）

事實上這樣的球函數張量不僅適用于三維空間，也可以推廣至更高維空間，只需取更高維數中的，和，用類似的方法計算系數，便可得出高維空間內的“超球函數”。

2 埃爾米特多項式

在之前討論的基礎上，埃爾米特多項式也可以用同樣的方法以張量級數表示。

我們知道埃爾米特多項式是埃爾米特方程的解：

y-2xy+2ny=0 （2.1）

設一n階張量是對稱的，可以將上式改寫為張量方程的形式：

（2.1）

式中是Nabla（Del）算符，為，I是d×d的單位矩陣，表示張量積，ζ是方向上的長度為x的向量（x，0，0…，0），用分量表示為=x.

這個方程也可寫成分量的形式：

（2.1）

其各指標可在1，2…d中取值，意義是我們是在d維空間中討論這個問題的。

定義算符

（2.2）

式中最后一項的意義是n為奇數時ζ存在，偶數時則不存在.的形式與（1.10）相似，區別在于其目的不是將對稱張量的跡化為零，而是將其轉化為滿足埃爾米特方程的解.能看出每一項的系數正負交替且以的比例減小。

這是前幾階的埃爾米特對稱張量：

關于埃爾米特多項式的遞推關系和微分性質同樣有張量的形式：

（2.3）

證明：由（2.2），

（偶數情形，奇數同理.），

而

，

通過計算每個括號中相同張量的個數，并利用恒等式，可得證.□

（2.3）式可得出關于相鄰的3階埃爾米特對稱張量的遞推公式：

（2.4）

證明：將（2.3）式，

寫成，同時將（2.1）變換為

，

將這三式整理，

得

，

雖然張量積的運算一般不滿足消去律，但對單位矩陣I成立，從而QED□

最后通過搭配系數，埃爾米特多項式和埃爾米特對稱張量的關系可表示為：

（2.5）

是方向的單位向量，坐標表示為（1，0…，0），分量表示為。

3 結語

利用張量級數表示特殊函數，其數學規律更容易記憶，物理意義或幾何意義更為鮮明，這是一種新的思路和方法，缺陷在于實際計算中并不易于使用。

注：文中關于張量運用了多種不同的符號，在不同的計算情形下選擇了不同的表示方法，例如張量就表示這個n階張量的整體，而是這個張量的一個分量，當指標確定了表示哪一個分量也就確定了，比如就是第一纖維取1，第二纖維取2…，第n纖維取n的這個分量（第幾纖維相當于矩陣中行與列的推廣）.文中出現的所有張量都是方形張量，即所有纖維上的指標所可能取的個數都是相等的（相當于矩陣中方陣的）.可寫成關于空間中選定基底的線性組合的形式：，當然可用愛因斯坦求和約定省略求和符號。

參考文獻

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