用改進的Chebyshev函數提高干涉圖切趾效果*

江峰，武高衛，盛文，豐驍，馮至

(空軍預警學院， 湖北 武漢 430019)

用改進的Chebyshev函數提高干涉圖切趾效果*

江峰，武高衛，盛文，豐驍，馮至

(空軍預警學院， 湖北 武漢 430019)

針對Chebyshev切趾函數在低旁瓣衰減時功率泄漏率高以及旁瓣衰減的等波動性問題，提出了一種改進的Chebyshev切趾函數。首先通過仿真分析指出Chebyshev切趾函數在光譜復原中存在的缺陷；然后選取Blackman-Harris函數對其進行改進，并與改進前進行了對比分析；最后，用該函數對單色光干涉圖進行切趾處理并仿真驗證，仿真結果表明，改進后Chebyshev切趾函數能夠較好地克服功率泄露率高及旁瓣衰減等波動性的問題，其應用能力也更加靈活。

Chebyshev；切趾函數；Blackman-Harris；干涉圖；光譜復原；仿真分析

0 引言

在傅里葉變換光譜儀光譜復原的過程中，存在傅里葉變換需要無限的積分區間而實際光譜儀只能提供有限光程差的矛盾，這個矛盾會造成復原光譜存在旁瓣效應進而影響鄰近的、微弱信號的測定，此時就需要將光譜儀的干涉圖進行切趾處理，以消除或者減弱虛假的旁瓣，增強有用信號的被檢測率[1-2]。切趾的普遍做法是在信號處理中用切趾函數乘以干涉圖，迄今學界已經提出了眾多的切趾函數，包括三角函數、Hamming函數、Blackman函數、KaiserBessel函數以及各種函數族[3]。切趾函數的選取一般要考慮以下原則[4]：

(1) 切趾函數的形式盡量簡單，切趾計算過程方便，計算量小；

(2) 切趾處理后復原光譜主瓣盡量窄，以保證系統分辨率；

(3) 切趾處理后復原光譜旁瓣盡量低，旁瓣衰減率盡量高。

實際應用中，用形式簡單的切趾函數處理干涉圖容易丟失有用信號，在抑制旁瓣的同時，系統分辨率也會降低，因此，要綜合考慮切趾函數性質以及系統要求，選取合適的切趾函數。在給定旁瓣高度下，Chebyshev切趾函數的主瓣寬度最小，滿足切趾函數的最大震幅比準則[5]，同時其旁瓣衰減量可調節范圍寬，是一種性能優異的切趾函數；但是當干涉圖信號功率較弱，需要小的旁瓣衰減情形時，其主瓣功率泄露嚴重，在頻域上表現為相位誤差增大，并且由于旁瓣衰減的等波動性，旁瓣衰減速率為零，不利于臨近強干擾信號的抑制。文獻[6]對基于傳統Chebyshev函數設計的濾波器相位特性較差的缺點進行了改進，犧牲幅度特性提升其相位特性；文獻[7]針對其旁瓣衰減的等波動性，提出離散傅立葉變換后對旁瓣進行相位旋轉，利用疊加校正的方法使旁瓣干擾降到最低，然而，這種方法在增加計算量、引入誤差的同時，計算精度得不到保證。因此，本文提出一種改進的Chebyshev切趾函數，在保留Chebyshev切趾函數原有優點的基礎上，通過引入Blackman-harris函數改善其旁瓣衰減的等波動性、低旁瓣衰減時主瓣功率泄露嚴重的問題，同時，新切趾函數第一旁瓣衰減的可調節性也更加靈活。

1 Chebyshev切趾函數及其分析

Chebyshev切趾函數是由Chebyshev多項式在單位圓上作等間隔抽樣，再作DFT反變換得到的[8]。Chebyshev多項式定義為

(1)

式(1)可以通過迭代產生：Tk+1(x)=2xTk(x)-Tk-1(x),T0(x)=1,T1(x)=x，其中x∈Z,k∈R且k≥1，令函數長度N=2M+1，則Chebyshev切趾函數在時域的表達式為

wC(n,γ)=

-M≤n≤M,

(2)

(3)

式中：γ為用分數表示的旁瓣與主瓣幅度的比值[9-10]，則第一旁瓣相對于主瓣衰減值m=20lgγ(dB)，在實際應用中，僅需調整γ的值就可以獲得不同的主瓣寬度、旁瓣衰減等指標，Chebyshev切趾函數的性質如表1所示，與其他典型切趾函數的幅頻響應對比如圖1所示。

表1 Chebyshev切趾函數在不同旁瓣衰減時的性質(N=128)

圖1 Chebyshev切趾函數與兩種典型切趾函數在相同旁瓣衰減下的對比(N=128)Fig.1 Comparison of Chebyshev apodization function with two typical apodization functions at the same side-lobe attenuation(N=128)

圖1中，a)是Chebyshev切趾函數與Hamming函數(形式簡單、切趾性能不可調)的對比，b)是Chebyshev切趾函數與Gausswin函數(形式復雜、切趾性能可調)的對比。通過圖1可以發現，在相同第一旁瓣衰減情況下，Chebyshev切趾函數具有更窄的主瓣寬度，這使得干涉圖經過Chebyshev切趾后光譜分辨率更高；同時，Chebyshev切趾函數第一旁瓣衰減可調節范圍寬，具有更強的工程實用價值。然而通過表1可以發現，當旁瓣衰減較小時，Chebyshev切趾函數主瓣功率泄露嚴重，并且其旁瓣衰減率為零，不利于臨近強干擾信號的抑制。為了更好地利用Chebyshev切趾函數的優點，對Chebyshev切趾函數的改進顯得十分有必要。

2 改進的Chebyshev切趾函數及其分析

通過第1節對Chebyshev切趾函數的分析，在眾多切趾函數中選取Blackman-Harris函數用于對Chebyshev切趾函數的改進。Blackman-Harris切趾函數是一種具有良好旁瓣性能的四項系數三階余弦函數，與其他切趾函數相比，它具有以下優點：第1，作為一種余弦函數，其切趾運算簡單易行[11]；第2，在同步誤差較小時，旁瓣抑制能力強，通過在Matlab中調用Wvtool函數對其幅頻響應進行分析，發現其旁瓣電平相對于主瓣可降低-92 dB[12]，能較好的適應Chebyshev切趾函數旁瓣衰減調節范圍寬的特點；第3，Blackman-Harris函數有一定的旁瓣衰減率，對Chebyshev切趾函數旁瓣衰減率的提高具有改善作用。Blackman-Harris函數表達式可由余弦窗的一般表達式推導得出：

(4)

式(4)為余弦窗的一般表達式，其中0≤n≤N-1，k為項數。當k=0時，式(4)為矩形切趾函數，當k=1時，為漢寧切趾函數，當k=2時，為Blackman切趾函數，k=3時，為Blackman-Harris函數。長度為N的Blackman-Harris函數其時域表達式為[12-13]

(5)

式中：a0=0.358 75,a1=0.488 29,a2=0.141 28,a3=0.011 68。為此，在原有可調參數γ的基礎上，增加了可調參數L(0≤L≤N)，對Chebyshev切趾函數進行改進：

wC_B_H(n,γ,N,L)=

(6)

式(6)為改進后的Chebyshev切趾函數時域表達式，其波形如圖2所示(N=128,L=80)，改進的Chebyshev切趾函數同時擁有Chebyshev與Blackman-Harris函數的優點，通過Matlab計算，其性質如表2所示。

圖2 改進的Chebyshev切趾函數Fig.2 Improved Chebyshev apodization function

表2 改進的Chebyshev切趾函數在不同旁瓣衰減時的性質

Table 2 Property of improved Chebyshev apodization function at different side-lobe attenuation

m/dBL實際第一旁瓣衰減/dB功率泄露系數(%)歸一化主瓣寬度旁瓣衰減率/(dB/otc)-2510-48．20．010．02930-6-2560-18．61．640．02340-12-25120-21．71．060．01563-10-5010-51．300．02930-6-5060-23．70．440．02340-12-50120-41．80．020．01953-10-802-80．800．02930-6-80126-77．300．02539-10

通過表1和表2的對比可以發現在實際旁瓣衰減較小時，改進后切趾函數功率泄露系數得到了明顯的改善，同時通過調節參數L，其仍可以保留Chebyshev切趾函數歸一化主瓣寬度較窄、第一旁瓣衰減調節范圍寬等優點，并且旁瓣衰減率得到了增加。改進的切趾函數與原Chebyshev切趾函數的幅頻響應對比如圖3所示。

圖3中，a)為改進的切趾函數與Chebyshev切趾函數在第一旁瓣衰減43 dB時的比較，其中L=127，m=-46 dB,改進的切趾函數功率泄露系數為0.07%，原Chebyshev切趾函數為0.23%。b)為改進的切趾函數與原Chebyshev函數在第一旁瓣衰減25 dB時的比較，其中L=127，m=-27 dB，改進的切趾函數功率泄露系數為5.89%，原Chebyshev切趾函數為16.01%。c)為改進的切趾函數與原Chebyshev函數在第一旁瓣衰減25 dB時的比較，其中L=101，m=-38 dB, 改進的切趾函數功率泄露系數為0.4%，原Chebyshev切趾函數為16.01%，改進后函數旁瓣衰減率達到了12 dB/otc。

圖3 改進的切趾函數與原Chebyshev切趾函數在相同旁瓣衰減下的比較(N=128)Fig.3 Comparison between the improved apodization function and the original Chebyshev apodization function under the same side-lobe attenuation (N=128)

從圖3a)，b)，c)的結果可以看出，通過對參數γ及參數L的調節，新的切趾函數在功率泄露系數、旁瓣衰減率方面得到了很大的改善，從圖3b),c)可以看出，不同的γ及L值可以得到相同的第一旁瓣衰減，但功率泄露系數、旁瓣衰減率和主瓣寬度會有相應的增減，這使得改進的Chebyshev切趾函數可以適應不同的切趾要求，應用能力更加靈活。在一般情況下，其主瓣寬度較原Chebyshev函數有所增寬，但是當取L=N時(圖3d)，改進的切趾函數恢復原Chebyshev函數的效果，主瓣寬度最窄。

3 仿真與討論

為進一步驗證改進型切趾函數的性能，選取余弦波模擬單色光的干涉圖，首先在Matlab中生成余弦信號，對此信號采樣(采樣頻率100 Hz，采樣點數512點)，然后進行切趾、光譜還原處理。則系統理想干涉圖為

IR(x)=100 cos(2π·4x).

(7)

限制于干涉儀只能提供有限的光程差，實際截斷干涉圖為

(8)

式(8)經過反傅里葉變換，即可得到矩形函數切趾后的光譜圖[14]：

(9)

式中：σ為光譜波數；BR(σ)表示波數σ處的光譜強度。

然后用改進的切趾函數和4種典型切趾函數乘以式(8)，對實際干涉圖切趾后進行式(9)的變換，得復原光譜如圖4所示。

圖4 幾種典型切趾函數對單色光干涉圖切趾還原后光譜圖效果對比Fig.4 Contrast effect of restored spectrum of monochromatic light from several typical apodization functions

圖4中，a)為模擬原始干涉圖及其未經切趾處理的復原光譜，b)為矩形切趾及三角切趾后的復原光譜，實際應用中，限制于光譜儀只能提供有限的光程差，矩形切趾后的干涉圖即為一般意義上的原始干涉圖[15]，從圖b)可以看出，經矩形切趾后的復原光譜旁瓣衰減不足，經三角切趾后的復原光譜旁瓣雖然得到了一定的抑制，但是主瓣寬度增加較多，光譜分辨率下降明顯；c)為布萊克曼與漢明切趾后的復原光譜，旁瓣抑制能力進一步增強，但仍然存在主瓣寬度增加明顯的問題，切趾處理后光譜還原效果并不理想；d)中，2種切趾函數在相同的第一旁瓣衰減下(-25 dB)，改進的Chebyshev切趾函數旁瓣抑制能力較強，旁瓣衰減率得到了提高的同時，主瓣寬度增加并不明顯，因此，改進后的Chebyshev函數是一種性能優異的切趾函數。

4 結束語

本文對傅里葉變換光譜儀干涉圖切趾函數進行了研究，提出了改進的Chebyshev切趾函數，利用Chebyshev切趾函數切趾處理后光譜圖主瓣寬度窄、旁瓣衰減可調節的優點與Blackman-Harris切趾函數旁瓣衰減能力強，具有一定旁瓣衰減率的特點相結合，對Chebyshev切趾函數進行了改進。將改進后的切趾函數進行分析與仿真驗證，結果表明：①改進后的Chebyshev切趾函數較正了原切趾函數旁瓣衰減較低時，功率泄露嚴重的問題；②改進后的Chebyshev切趾函數較正了原切趾函數旁瓣等波動性，旁瓣衰減率為0的問題；③改進后的Chebyshev切趾函數相比于原切趾函數更加靈活，可以在相同第一旁瓣衰減量下得到不同的功率泄露效果、旁瓣衰減率和主瓣寬度。

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Improved Chebyshev Function to Raise the Effect of Interferogram Apodization

JIANG Feng, WU Gao-wei, SHENG Wen, FENG Xiao, FENG Zhi

(Air Force Early Warning Academy, Hubei Wuhan 430019, China)

In order to rectify the shortcomings of high power leakage rate at low side-lobe attenuation and identical fluctuation of side-lobe attenuation of Chebyshev apodization function, an improved Chebyshev apodization function is put forward. Firstly, the defects of Chebyshev apodization function in spectrum restoration is analyzed by simulation; and then, the Blackman-Harris function is selected to improve it and compared with the previous one; at last, the function is used for monochromatic interferogram apodization process and simulation. The simulation results show that the new Chebyshev apodization function can solve the problems of high power leakage rate at low side-lobe attenuation and identical fluctuation of side-lobe attenuation, and its application ability is more flexible.

Chebyshev; apodization function; Blackman-Harris; interferogram; spectrum reconstruction; simulation analysis

2016-04-05；

2016-07-10 作者簡介：江峰(1992-)，男，四川眉山人。碩士生，主要研究方向為紅外光譜復原技術研究。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.02.025

TN911.1；TH744.1

A

1009-086X(2017)-02-0160-06

通信地址：430019 湖北省武漢市江岸區黃浦大街288號空軍預警學院研究生管理大隊21隊E-mail：969656256@qq.com