字斟句酌找問題

師者，傳道授業解惑也?；笳撸瑔栴}也。可以說我們的教學就是在不斷地發現問題和解決問題的過程中進行和發展下去的。教學中，應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與。既要有教師的講授和指導，也有學生的自主探索與合作交流。教師要創設適當的問題情境，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識形成的過程。問題是最好的老師，我們作為老師首先要引領學生學會去發現問題，進而解決問題，最高層次讓學生自己去發現問題并解決問題?？梢哉f培養學生發現問題比解決問題更重要。如何發現問題，就需要我們在字里行間去字斟句酌地找問題。

例如在講授函數的概念時，首先要讓學生理解函數的定義：一般地，設A，B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A。在函數y=f（x），x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域。顯然，值域是集合B的子集。這里引導學生思考問題：為什么A，B是兩個非空的數集？集合A中任意的數都有唯一的像，那么A中的不同元素（數）的像相同嗎？會不會出現A中多個元素同時對應B中的某一個元素的情形；如何理解某種對應關系？再有我們在講這個問題時是從A來著眼的，那么對于集合B有無特別的要求？比如集合B中有沒有元素（數）不被A中元素所對應？如果再能從這個方向加以闡釋，就更能加深對概念的理解。為更好的理解概念，舉一例：已知集合A={1，2，3，4}，集合B={1，2，3，4，5}，問從A到B能構成多少個不同的函數？顯然在函數的定義下，集合A中任意一個數在集合B中都有唯一確定的數與之對應，那么集合A中的數1可以對應集合B中的任意一個數，即有5種不同的選擇，同樣另外三個數每個也都有同樣的5種不同的選擇，從而構成了5×5×5×5=54=625個不同的函數。即若1對應5，2，3，4也可以對應5，當然也可以對應其它的任何一個數，但只能對應一個數。在這個定義下，集合B中的5個數中最多有4個數能被A中的元素對應，最少有一個。這里我們就可以理解為A中元素都有唯一的像，B中元素不一定的原像，若有，可能不唯一。另就對應關系而言，“某種確定的”就意味著可能這種關系是確定的，是存在的，能不能準確的寫出來不一定。如上例A中1，2，3，4分別對應B中的1，2，3，4時，這個對應關系可以寫成y=f（x）=x，x∈A，而如果打亂這種對應，如1對應2，2對應1，3對應4，4又對應2，這時這種對應關系就不易用一個明確的表達式寫出來，但這種對應關系是確定的，存在的，只不過無法寫出來罷了。這里引導學生去對概念進行逐字逐句，準確、細致的分析，有助于培養學生的問題意識，有助于學生思維能力的培養和提高。

再如問題：若函數y=lg（x2+2ax+3）的定義域為R，求a的取值范圍，若值域為R呢？顯然定義域為R時，學生理解對數式中真數所對應的內函數u（x）=x2+2ax+3只須△<0即可，從而可求出a的取值范圍為{a|-[32}，值域為R，而函數②的定義域為R，但值域卻為[0，+∞），不為R，為什么？函數①中的內函數x2-3x+2的本來的范圍是[-[14]，+∞），但由于它作為對數式的真數，只能為正數，故這個范圍中的所有負數和零被定義域限制掉了，只剩下了所有的正數，即它取到了所有的正數，這樣值域才是R的，而函數②中的內函數x2-4x+5的范圍是[1，+∞），雖然都是正數，但不是所有正數，故值域只能是[0，+∞）。這兩個函數的定義域和值域能不能看出所求函數y=lg（x2+2ax+3）的值域為R需要什么條件？到這里相信學生應該能夠理解只須△≥0即可，則可求出a的取值范圍為{a|a≤-[3或a≥3]}。

又如函數周期性定義中：對于函數y=f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f（x+T）=f（x），那么就稱y=f（x）為周期函數，稱為T這個函數的周期。在這個定義中我們要關注幾個關鍵詞“定義域”，“存在”，“非零常數T”。在這里我們討論函數的周期性，一般指的是連續函數。第一個詞“存在”，就意味著有的函數有，有的函數沒有，并不是所有函數都是周期函數。第二個詞“非零常數T”，既然是非零常數，那么這個常數T是正是負還是可正可負？又由什么來決定的呢？第三個詞是定義域，定義域是什么形式的，是（-∞，+∞），還是（a，+∞）還是（-∞，a），還是（a，b）？在高中階段，周期問題要求不高，了解就行，但還是需要分析一下，當非零常數T為正時，定義域不能是（-∞，a），而應為（-∞，+∞）或（a，+∞），為什么？當T為負時，定義域不能為（a，+∞），而只能為（-∞，+∞）或（-∞，a），這里可以說定義域與這個常數T是相互制約的。例如函數y=f（x）的定義域為（3，+∞），這時周期只有為正數時才能使對定義域內的任何數x，f（x+T）=f（x）才能成立，而如果這個周期為負值，如T=-2，那么對定義域內的數4，就會有f（4+（-2））=f（4）出現，由定義域為（3，+∞），f（-2）是沒有意義的。從這點來說，平時我們說的若T是一個函數的周期，那么T的整數倍也是函數的周期，就是假命題了。

從以上三例可以看出，要想發現問題進而解決問題，首先就需要我們深刻理解問題，充分理解它的本質，發掘它的深層含義。唐人盧延讓《苦吟》中有“吟安一個字，捻斷數根須”，我們現在雖然不需去捻斷數根須，但也要努力做到在字里行間去思考，逐字逐句去分析，也就是所謂的字斟句酌找問題。

作者簡介：

常坤（1974.10—），性別：男；籍貫：安徽省蚌埠市懷遠縣；最高學歷：本科；郵編：233400；單位：安徽省懷遠縣第三中學。