播種符號，啟蒙學生“準代數式”意識

楊開文

摘 要：符號思想是小學數學的基本思想，滲透符號意識是學生數學教學的理性回歸。通過播種符號，可以啟蒙學生“準代數式”意識。教學中通過孕育學生的符號意識、啟迪學生的符號思維、催生學生的符號想象，可以豐富學生的符號表象，引領學生從“算術思維”向“代數思維”的過渡。

關鍵詞：播種符號；算術思維；代數思維

《數學課程標準（2011年版）》指出，“要用符號表示數、數量關系和變化規律”。“數學符號”是人們計算、推理和表述問題的重要工具，因此發展學生的符號感，滲透“符號意識”是數學課程與教學的重要目標之一。所謂“符號感”，是指學生對符號意義、作用的駕馭和主動使用符號的意識、能力以及習慣。“數學符號”內蘊著數學知識的抽象美、簡潔美、統一美等。在小學數學教學中，教師可以根據學生的年齡特征和認知心理，播種符號，進而豐富學生的“符號表象”、啟迪學生的“準代數”意識，為學生形成“代數思維”和“關系思維”奠定堅實的基礎。

■一、符號意識：學生數學教學的理性回歸

在數學中，通常有兩種思維范式：一是程序性思維，二是關系性思維。其中，算術思維屬于程序性思維，而代數思維則屬于關系性思維。小學數學側重于算術思維，而初高中數學側重于關系思維。“準代數意識”和“準代數思維”則是介于算術和代數之間的意識過渡、思維過渡。從算術思維轉向代數思維是學生數學學習中必須經歷的理智跨越。

1. 基于教材，發掘知識中的符號因子

在小學數學教材中，有許多數學知識內蘊著符號因子，教學中教師要善于發掘。根據數學知識內容的特質相機滲透、鋪墊。例如，教學《認識10以內的數》（蘇教版小學數學一年級上冊），如對于認識“6”中的數字符號，在教材情境圖上，從6個人、6盆花、6只鳥……可以引導孩子們展開形象思維：6像勺子，進而抽象、提煉出符號“6”。在教學中，教師不可以輕視這樣的過程，因為這是學生從具體形象思維到抽象邏輯思維的發端。通過數字“6”，學生能夠具體化為一系列用“6”表示的物體，而通過許多的用“6”表示的物體，學生能夠抽象成數字符號“6”。在這個過程中，學生情不自禁地感受到，“6”的本領真大啊！不僅如此，在教學中，教師還必須進一步豐富學生的符號認知，即符號“6”不僅可以表示“有6個”，而且還可以表示“第6個”。如此，符號“6”的基數與序數意義被有效地滲透進學生的心靈。

2. 基于學生，把脈符號滲透的心理起點

在滲透符號意識的數學教學中，教師要遵循學生的認知規律和心理狀態，努力把脈學生的符號認知心理，找準對學生進行符號滲透的心理起點，提升學生對符號的敏感度。對于學生而言，符號意識最為重要的表征就是學生能夠主動運用符號進行初步地數學思考、數學表達，能夠主動地運用符號展開數學化活動。在教學中，教師既不能運用“代數意識”“代數思維”要求學生，也不能始終將教學停留于學生算術思維的培養上。例如，對于初次教學《方程的認識》（蘇教版小學數學五年級下冊），學生在初次書寫方程、解方程時總是容易在方程前面加上“等號”，許多教師簡單地認為這是學生的書寫錯誤，歸結于學生的粗心。對此，如果我們分析學生的符號學習心理，就會產生獨特的發現。因為在孩子們的心中，“等號”總是用來表示“做某事”，表示一個計算的過程，指示著一種過程操作，而“等號”的關系性質總是被學生遺忘。教學中教師要理解學生、寬容學生，通過前反饋強化“等號”的關系性質，將學生的錯誤消滅在萌芽狀態。

■二、符號啟蒙，引領學生符號意識自然生長

學生的符號意識的培養不是一蹴而就的，而是一個從“具體事物的認識”到“個性化的符號表示”再到“學會數學表示”的循序漸進的過程，這是一個符號萌芽、開花、結果的過程，教師要引領學生經歷這樣的符號化、形式化的過程。對于小學數學教學而言，學生符號意識的啟蒙主要有兩個方面的內涵：一是理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律，在蘇教版教材中集中安排在五年級上冊；二是學生能用符號進行運算和推理，在蘇教版教材中集中安排在五年級下冊。然而，培養學生的數學符號意識，讓學生初步學會用數學符號表達、用數學符號思維，養成學生的符號化素養卻是整個小學階段數學教學的重要任務。

1. 找準生發點，孕育符號意識

學生的數學符號意識形成不是突兀性的。因此，學生數學符號意識的啟蒙，早期的孕育十分重要。啟蒙學生數學符號意識的數學教學也不應該是斷裂的，而應該是一種連續性的教學。在學生的豐富生活經驗、活動經驗中，就蘊含著豐富的符號因子。

例如，在教學《兩、三位數的加法和減法》（蘇教版小學數學二年級下）時，筆者經常發現有學生在計算時因為對數學整體感知的局限，將其中的一個加數的百位或者十位或者個位看多或者看少了，于是學生想出了多加幾十就再減去幾十，少加幾十就再加幾十的做法。筆者曾經問其中的一位學生這樣做的理由，學生的回答令人驚訝，“我在商店買東西時營業員阿姨通常讓我多給點錢，這樣便于她找給我錢時是整元數。”顯然，學生在生活中遭遇到許多這樣的問題。因此，在教學《用計算器計算》（蘇教版小學數學四年級下冊）時，教材中有這樣的一道題：小剛的計算器上的數字鍵“3”壞了。你能用小剛的計算器算出下面各題的得數嗎？筆者充分利用學生的這些生活經驗，引領學生想出多種多樣的方法，將之提煉概括形成這樣的代數關系與結構：“a-b=（a+c）-（b+c）”或“a-b=（a-c）-（b-c）”。這種對符號意識的孕育，可以讓學生逐步形成運用符號進行數學思維的能力。

在數學教學中，教師要培養學生對數學符號的敏感度，包括對數與數之間的關系、式與式之間的關系、數與式之間的關系、數學圖表符號、數學結構符號以及模型符號等的敏感。學生的數學符號感能夠讓學生在數學學習、生活中主動用符號化眼光去打量，用符號化思維去思考。

2. 找準生長點，催生符號思維

從符號意識到符號思維是學生數學符號感的升華。在小學數學教學中，教師播種符號意識要找準生長點，以便能夠催生學生的符號思維。要豐富學生的“符號表象”，巧搭臺階，引導學生運用符號分析問題、解決問題。

例如，教學《表內除法》（一）（蘇教版小學數學二年級上冊），教師要讓學生充分經歷“符號”——“除號”的誕生過程。在大量的感性材料面前，引領學生展開操作性活動，通過操作，抽象出數量關系，理解符號所蘊含的數學內涵。把8個圓紙片分成兩堆，可以怎樣分？8個圓紙片，每個小朋友分2個，可以分給幾個小朋友？盡管類型不同（過去，我們分別將之稱為平均除和包含除），但這些都是把許多物體分成相等的部分，都可以用除法算式8÷2=4來表示。在教學中，要讓學生反復操作，讓他們逐步由外在物質化操作內化生成出內在的數量關系，并進而形成除號。如此，不僅突出了除法的數學本質，而且讓學生經歷了符號化的過程，生長并發展了學生的符號思維。符號的簡潔、符號的功能充分體現了運用符號的優越性，如此增強了學生的符號感。

學生經過數學知識的形式化過程，生成了數學符號。通過符號，學生建立了“符號模型”，即運用“除號”解決問題的數學模型。這種符號能夠幫助學生展開符號思維，激活學生的符號生長，助推學生的數學問題分析和數學問題解決。

3. 找準生成點，培植符號想象

學生對數學知識有多種表征方式，如文字表征、圖像表征、圖形表征、符號表征等。在教學中，要引領學生展開符號想象，滲透數學的符號語言；要給學生提供符號想象、符號創造的機會，逐步豐盈學生的符號表示范疇，讓學生感受、體驗到數學符號的內在魅力。例如，教學《加法交換律》（蘇教版小學數學四年級下冊），筆者運用“朝三暮四”的故事激發學生的學習興趣。通過系列算式計算，學生感受、體驗到不同算法之間的關聯，他們紛紛用自己喜歡的方式表示這種交換關系。有學生用“△+☆=☆+△”表示，有學生用“甲+乙=乙+甲”表示，有學生用“a+b=b+a”表示……學生的符號想象、符號創意令人驚喜，他們的表達準確、簡明，充分體現了用符號表達的優越性。

西方思想家、數理學家羅素說：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”在數學教學中，有些符號關系是顯性的，有些符號關系是隱性的，教學中教師要敏銳學生的“符號感覺”，顯現數學符號之間的關系；要引領學生豐富符號表象，激發學生的符號思維，催生學生的符號想象，引領學生經歷數學知識符號化的過程，進而建構符號模型。在這個過程中，學生逐步能夠感受到數學符號的意義、價值，體驗到數學符號的作用、力量。學生能夠從被動接受符號、被動適應符號轉變為主動理解符號、運用符號、創造符號。通過播種“符號”，啟迪學生的“準代數式”意識，逐步發展起學生的“代數思維”。