Hermite逆矩陣的范數優化和Riccati不等式的等價性

羅仕樂

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

Hermite逆矩陣的范數優化和Riccati不等式的等價性

羅仕樂

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

利用矩陣奇異值分解理論，討論了Hermite逆矩陣的范數優化問題和Riccati不等式理論的等價性.

奇異值分解；范數；Riccati不等式

矩陣范數的優化在矩陣論［1］中有著重要的應用，但因為自由變量過多導致這類優化問題比一般的多元函數最優化問題［2］更難求解.因為實際問題背景的特點，所轉化得到的矩陣往往有著一定的結構［3］，針對特定的矩陣結構分析討論從而解決相關的范數優化問題，是長期以來學者研究的熱點.

本文關注以下優化問題：

問題1設A=AH∈Cn×m，B∈Cn×(N-m)，X∈C(N-n)×(N-m)，定義：

求X,滿足X=XH,使得：

問題1是一個Hermite矩陣求逆的范數優化問題，在構造求解塊結構線性方程組的并行數值算法以及魯棒控制中有著重要的應用［4］,目前的研究尚不能對問題1的所有解給出完整的解答.代數Riccati方程是控制理論［5］中的核心問題，關于Riccati不等式的求解問題已經有了較為成熟的討論研究［6］.本文利用矩陣奇異值分解理論［7］建立問題1和Riccati不等式的關聯性，并在一定假設條件下，通過Riccati不等式的求解得到問題1的解.

1基本概念和引理

本節給出后續討論中會用到的相關概念和已知結果.

AH表示矩陣A的共軛轉置,如果AH=A,稱矩陣A是Hermite的［8］.設A,B∈Cn×n是兩個Hermite矩陣,如果B-A是正定(半正定)的,則記為A＜B(A≤B)［8］.

定義1［9］設A∈Cm×n.AHA的特征值的非負平方根稱為A的奇異值；A的奇異值的全體記為σ(A).

引理［7］（奇異值分解定理）設A∈Cm×n，且rank(A)=r，則存在酉矩陣U∈Cm×m，V∈Cn×n，使得：

其中Σr=diag（σ1,…,σr），σ1≥…≥σr＞0.

定義2［10］如果A∈Cn×n，B∈Cn×(N-n)，C∈C(N-n)×n，D∈C(N-n)×(N-n)且A,D非奇異,則稱D-CA-1B和A-BD-1C分別是A和D的Schur補.

問題2(Riccati不等式)沿用問題1的記號,設0＜α＜σn([A,B]),求解：

其中：

2主要結果

這里假設0＜σn([A,B]),是為了保證F（X）對于任意的X是可逆的.

定理設α不是矩陣A的奇異值,那么問題2一定有解,并且：

是其中的兩個解,問題2的通解形式為X*=X1+Y或X*=X2-Y,其中Y滿足：

證據已知,A2-α2I是可逆的,由Sherman-Morrison-Woodbury公式［10］可得：

先考慮問題2的一個等價問題：

問題3設0＜α＜σn([A,B]),求矩陣X,使得：

設X*=X1+Y,進而有：

因此Y滿足：

當且僅當：

同理對X*=X2-Y可以得到同樣的結論.

接下來證明問題3和問題2是同解的.

設X滿足‖F（X）-1‖≤可得：

因為0＜α＜σn([A,B]),所以A2+BBH>α2I，考慮F（X）的Schur補，即有：

這表明X是問題2的解.

證畢.

考慮問題3的極限情形，可以得到以下推論.

推論延用定理中的相關記號和假設,有：

更進一步的,如果σn([A,B])不是A和-A的特征值,那么存在Hermite矩陣X,使得：

證由特征值分離定理［9］,對任意的Hermite矩陣X,有：

結合定理就有：

因為σn([A,B])不是A和-A的特征值,令α→σn([A,B])-,從定理的結論可見,存在Hermite矩陣X,使得：

證畢.

注：定理和推論表明,X*=X1+Y或X*=X2-Y即為問題1的解.這意味著從Riccati不等式的角度得到了問題1的解.

3結語

本文針對Hermite矩陣求逆的范數優化問題，通過運用矩陣奇異值分解理論，結合矩陣的結構特殊性，分析了該優化問題與Riccati不等式的等價性，并從Riccati不等式的角度得到了問題1的部分解.但本文的局限性在于還不能得到問題1的所有解,這是有待今后進一步研究的課題.

［1］戴華.矩陣論[M].北京：科學出版社，2007.

［2］袁亞湘，孫文瑜.最優化理論與方法[M].北京：科學出版社，1997.

［3］黃廷祝，楊傳勝.特殊矩陣分析及應用[M].北京：科學出版社，2007.

［4］Bunse-Gerstner A,Mehrmann V，Nichols N K.Regularization of descriptor systems by derivative and proportional state feedback [J].SIAM Journal Matrix Analysis and Applications,1992（13）：46-67.

［5］徐樹方.控制論中的矩陣計算[M].北京：高等教育出版社，2011.

［6］Willems J C.Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation[J].IEEE Transactions Automatic Control, 1971（16）：621-634.

［7］徐樹方，錢江.矩陣計算六講[M].北京：高等教育出版社，2011.

［8］丘維聲.高等代數[M].北京：科學出版社，2013.

［9］徐樹方.矩陣計算的理論與方法[M].北京：北京大學出版社，1995.

［10］許以超.線性代數與矩陣論[M].北京：高等教育出版社，2008.

（責任編輯：邵曉軍）

On the Norm Optimization of the Hermite Matrix’s Inverse and the Equivalence of Riccati Inequalities

LUO Shi-le
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

With the theory of singular value decomposition,the Hermite matrix’s inverse and the equivalence of of Riccati inequalities are discussed.

singular value decomposition;norm;Riccati inequalities

O151.21%

A%%%

1007-5348（2017）03-0001-04

2017-01-08

韶關學院科研項目(SY2016KJ15).

羅仕樂（1964-），男，廣東韶關人，韶關學院數學與統計學院副教授；研究方向：應用數學.