Hermite逆矩陣的范數(shù)優(yōu)化和Riccati不等式的等價(jià)性

羅仕樂

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

Hermite逆矩陣的范數(shù)優(yōu)化和Riccati不等式的等價(jià)性

羅仕樂

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

利用矩陣奇異值分解理論，討論了Hermite逆矩陣的范數(shù)優(yōu)化問題和Riccati不等式理論的等價(jià)性.

奇異值分解；范數(shù)；Riccati不等式

矩陣范數(shù)的優(yōu)化在矩陣論［1］中有著重要的應(yīng)用，但因?yàn)樽杂勺兞窟^多導(dǎo)致這類優(yōu)化問題比一般的多元函數(shù)最優(yōu)化問題［2］更難求解.因?yàn)閷?shí)際問題背景的特點(diǎn)，所轉(zhuǎn)化得到的矩陣往往有著一定的結(jié)構(gòu)［3］，針對特定的矩陣結(jié)構(gòu)分析討論從而解決相關(guān)的范數(shù)優(yōu)化問題，是長期以來學(xué)者研究的熱點(diǎn).

本文關(guān)注以下優(yōu)化問題：

問題1設(shè)A=AH∈Cn×m，B∈Cn×(N-m)，X∈C(N-n)×(N-m)，定義：

求X,滿足X=XH,使得：

問題1是一個(gè)Hermite矩陣求逆的范數(shù)優(yōu)化問題，在構(gòu)造求解塊結(jié)構(gòu)線性方程組的并行數(shù)值算法以及魯棒控制中有著重要的應(yīng)用［4］,目前的研究尚不能對問題1的所有解給出完整的解答.代數(shù)Riccati方程是控制理論［5］中的核心問題，關(guān)于Riccati不等式的求解問題已經(jīng)有了較為成熟的討論研究［6］.本文利用矩陣奇異值分解理論［7］建立問題1和Riccati不等式的關(guān)聯(lián)性，并在一定假設(shè)條件下，通過Riccati不等式的求解得到問題1的解.

1基本概念和引理

本節(jié)給出后續(xù)討論中會用到的相關(guān)概念和已知結(jié)果.

AH表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置,如果AH=A,稱矩陣A是Hermite的［8］.設(shè)A,B∈Cn×n是兩個(gè)Hermite矩陣,如果B-A是正定(半正定)的,則記為A＜B(A≤B)［8］.

定義1［9］設(shè)A∈Cm×n.AHA的特征值的非負(fù)平方根稱為A的奇異值；A的奇異值的全體記為σ(A).

引理［7］（奇異值分解定理）設(shè)A∈Cm×n，且rank(A)=r，則存在酉矩……