自然數的記數

張新春

題外話

前面，我們花了很長時間，把自然數的定義、自然數加法、乘法的定義及性質做了很嚴格的闡述。有人不禁要問：有必要這么做嗎？特別是對小學數學老師有什么意義嗎？以下一段文字引自趙煥光先生《數的家園》一書（科學出版社，2008年5月版），作為題外話。

對于不專門研究數學的人們而言，根本不需要了解得那么細，什么序數、后繼、基數、歸納集，都不是“好東西”，這些“貨色”不經過仔細琢磨，離生活太遙遠了。我們這里所說的話當然是針對抽象理論而言的，但千萬不要把隱藏在它們背后的那些非常深刻而又淺顯的偉大真理跟“污水”一起潑出去了呀！像“就這樣繼續下去”、“一一對應”這些偉大而深刻的思想能用則盡量用，如果你能用得上，一點都不會讓我們吃虧。

對于中小學生來說（大學生不同），認識自然數還是采用“老祖宗”的高招合適。也就是說，利用“有限集”的元素“個數”理解自然數不會有太多的壞處，真正去追問什么叫1，2，3的話，太困難了！中小學生在求學期間應該把寶貴的時間投身到其他更需要應急的東西上，等到將來有一天對這類問題有興趣了，再慢慢探究也不遲！但話又得說回來，中小學生也必須明白自然數具有基數和序數兩重性質的基本道理。

對于創造與傳承數學文化的各個階段的數學老師來說，我們建議你至少要認認真真地了解上述自然數定義中的一種（其實都是相通的），否則一旦碰到“天才”學生追根問底，如果我們不能給他說出個所以然來，我們自己心里會感到不踏實而緊張的！

從今天開始，我們討論新的問題———

自然數的記數

自然數的概念遠在有文字記載之前就已經有了。若考察一下人類認數的歷史，最初應該是“有”和“無”的概念。就遠古人類而言，今天去打獵，回來打到獵物還是沒有打到獵物，可是一件關乎一天甚至更長時間是否要餓肚子的大事，有時甚至是生死攸關的大事。正是在一次次“飽”與“餓”及其他強烈的對比與沖擊中，原始人類形成了“有”和“無”的概念。出去打獵時，每人一件武器（或是石頭，或是木棍），武器夠不夠的問題同樣值得關注。他們解決這個問題的辦法，就是我們今天提到的一一對應：每人發一件，夠與不夠的問題立即得到解決。正是這一次次的體驗，先人們有了“多”和“少”的概念，繼而有了“一”、“二”和“多”的概念。人類學上關于原始民族的研究，讓我們有機會了解到原始人類關于數的認識的“活化石”?！澳戏侵薜牟柬毬˙ushmen）族，除了一、二和多之外，再沒有別的數字了，而這三個數字又是那么語調含糊，那些土人是否賦與了它們以明晰的意義，也還是個疑問……試看各種歐洲語言，幾乎都帶有這種早期局限性的痕跡。英文的thrice和拉丁文的ter，同樣有雙重意義：三倍和許多。拉丁文的tres（三）和trans（超過）之間有著可信的聯系；而法文的très（甚）和trois（三）也是如此。

人類需要的數總歸會越來越多。于是，我們必須學會叫出和寫出任何自然數，不管它大到怎樣的程度。如果每個自然數都有一個特殊的名稱，并用特殊的符號表示，那么，要記住這些名稱和寫法，任何人都是做不到的。于是，幾乎和數的概念產生同步，人類開始了探究如何記數。

結繩記數及其他

正如語言在文字之前就產生了一樣，數的概念也產生和形成于文字之前。有了數的概念，自然就需要把數記錄下來。最開始的記錄方式可能就是用實物記數。所選實物因地制宜———也許有石子、堅果之類。后來即有結繩記數。所謂“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”，“結繩而治”一般解釋為“結繩記事”或“結繩記數”，而“書契”則是物體上的刻痕，后來發展為文字。元朝周伯琦的《六書指訛》中指出“契”是“……像刀刻畫竹木以記事者”。

原始的實物記數、結繩記數或刻痕記數，大多是“有多少記多少”，是多少數就撿多少石子，或打多少繩結，或刻多少道痕。可以想象，當數比較大時，這種記數法將十分麻煩。明代劉無卿撰寫的《應諧錄》中有這樣一個“奈何姓萬”的故事：汝有田舍翁，聘楚士訓其子。書一畫，訓曰：“一字?！睍?，訓曰：“二字?！睍嫞栐唬骸叭??！逼渥訑S筆歸告其父曰：“兒得矣！請謝去?！庇鈺r，其父擬征召萬姓者飲，令子于晨起治狀。久之，其子恚曰：“天下姓字多矣，奈何姓萬？自晨起至今，才完五百畫也！”按刻痕記數的辦法，“萬”就得畫10000橫，難怪田舍翁的兒字要埋怨———有這么多姓，為什么偏偏要姓萬呢？

順便說說，從數學教育的角度看，這個笑話至少有兩個意義：一是說明改進記數方法的必要性———不能是幾就畫幾橫；二是不完全歸納法有時候靠不住———由“一字一橫，二字二橫，三字三橫”推得“幾字就是幾橫”是一種不完全歸納法，是合情推理，結果可能靠不住。

正因為實物記數、結繩記數或刻痕記數的局限性，先人們需要發明新的記數法。新的記數法有一個共同的特點，那就是使用符號，不同的符號表示不同的數，而不僅僅是同一個符號重復幾次就表示幾。

某教師教學“認識角”時，為了讓學生感知數學與生活的聯系，配合設計的“我們去旅游”的情境線索，出示了一系列與交通標志相關的實物：出口指示牌（長方形），轉彎指示牌（三角形），限速警示牌（圓形）等，讓學生比較它們的不同（長方形、三角形都有角，而圓形沒有角）。接著師生之間有了如下的對話———

師：這些是什么？

生：交通標志。

師：它們有什么不同？

生1：有些是圓的，有些是方的。

師：還有嗎？

生2：它們表示的意義不同。

師：什么不同？

生2：轉彎指示牌表示……，限速警示牌表示……

生3：我不同意……

學生爭論起來。

在這種滿堂問的課堂里，教學氣氛是活躍了，但時間浪費了，新知卻未呈現，教學效果自然不好。一些教師總是想讓學生體會數學與生活的聯系，千方百計創設情境，引出問題，結果拋出了一些與教學內容無關的問題。案例中，當生1已經講到“要害”時，教師的那句“還有嗎？”本是想讓更多的學生來敘述，提高課堂的參與度，未料這一發問是畫蛇添足?？梢姡處煹奶釂柸绻麤]有明確的目的，就不能發揮相應的作用。教師的問提得好，學生才不會偏離思維方向，課堂才會精彩。

課始問應該明確教學內容和方向。上述案例

中教師之所以失敗，正是因為提問沒有明確的目的，隨意提問。本堂課的教學內容是角的認識，教師在出示圖片后，提問應該直指數學圖形———角。這樣學生的回答才不會天馬行空，不知所云。

課中問應有利于突破難點。數學教材每章節

都有重難點，教學中處理重難點時，教師的提問應該有利于學生突破重難點，使復雜問題簡單化，讓學生迅速掌握新知。

如，上“圓”的練習課時，教師出示：一個圓的半徑擴大3倍，它的直徑擴大（）倍，周長擴大（）倍，面積擴大（）倍。

然后提問：假設圓的半徑是1厘米，你能完成表格的填寫嗎？如果一個圓的半徑擴大4倍，它的直徑、周長、面積會怎么變化？如果圓的直徑擴大5倍，你能想到什么？如果圓的周長擴大a倍呢？

由于習題中沒有具體的數據，學生思考時找不到解決問題的突破口。于是教師在難點處層層設問，步步引導。學生最終找到突破口，順利解決了問題。

課尾問應畫龍點睛。課堂小結在課堂教學中往往起著提綱挈領、畫龍點睛的作用。教師在結尾處可以提出本節課還沒有完全解決的問題，或者提出與本節課相關的后續性問題，或者提出與下節課學習相關的前瞻性問題，讓學生帶著問題，進行下一步的學習。

如，一位教師上“同類項”這一節，在課后小結時，先舉了一個例子：“上一節課我們學習了降冪排列，如果說降冪排列好比是同學們按照個子高低排隊，那么今天學習的同類項可以比作什么？”學生們立即開展了討論，小結時發言異常踴躍：“同類項好比是按照男生、女生來排隊。”“同類項好比是賣水果時橘子歸一類，香蕉歸一類，蘋果歸一類?！苯處熥穯枺骸澳敲赐愴椀姆诸悜撟⒁庑┦裁茨?？”我想學生們一定會對同類項的分類留下深刻的印象。

（作者單位：永州市零陵區徐家井小學）