數學史與小學數學教師專業發展

汪曉勤

一、引言

小學數學教師專業發展的目標包括知識、信念、能力等方面，其中，教師的知識可以用美國數學教育家鮑爾提出的MKT理論來刻畫。所謂MKT，是Mathematical Knowl-edge for Teaching的簡稱，指的是“完成數學教學工作所需要的數學知識”，其組成成分如圖1所示。

“一般內容知識”是指除教學外，在其他背景下也使用的數學知識和技能；“專門內容知識”是指教學所特有的數學知識和技能；“水平內容知識”是關于整個數學課程中數學主題之間聯系的知識；“內容與學生知識”是指對學生的了解和對數學的了解相結合的知識；“內容與教授知識”（對應于范良火的“教學的內容知識”和“教學的方法知識”）是指對如何教授的了解和對數學的了解相結合的知識；“內容與課程知識”（對應于范良火的“教學的課程知識”）是指關于課程大綱、課程標準、教科書、教學材料以及其他教學資源的知識。

近年來，數學史在小學數學教學中的意義日益受到人們的關注，數學史融入小學數學教學的實踐探索也日益增加。我們在開發HPM教學案例（即“融入數學史的教學案例”）的過程中，確立了“大學研究人員和小學教師密切合作”的模式，使得小學數學教師在沒有受過數學史教育或缺乏數學史材料的情況下，也能走進HPM的世界。本文擬回答以下問題：數學史與小學數學教師的MKT之間有何關系？

二、數學史與MKT

雖然許多一般內容知識是教師在學生時代習得的，但在數學教學中，教師不斷會遇到新的一般內容知識，而數學史往往提供了這樣的知識，如計算兩個正整數乘積的不同方法。圖2所示是16世紀盛行于歐洲的“手指算”，而圖3則給出了古埃及人計算97～79的方法。

為了解決教學中所遇到的各類“為什么”問題，教師需要擁有豐富的專門內容知識。三角形面積公式和三角形內角和定理屬于一般內容知識，但它們的推導或證明方法則屬于專門內容知識。這類知識往往源于數學史。如，中國古代數學家用“出入相補”法證明三角形、梯形面積公式，古希臘哲學家泰勒斯通過拼圖發現三角形內角和定理。圓周率的近似值為3.14，這屬于一般內容知識，但得到該近似值的具體方法則屬于專門內容知識，劉徽的割圓術就是其中之一。至于對諸如“為什么未知數用字母x來表示”“小數是很小的數嗎”之類的問題，教師只能從數學史中尋找答案。

數學的歷史是一面鏡子，前人在數學概念理解過程中所遇到的困難和障礙，往往也是今天數學課堂上學生會遇到的困難和障礙。從數學理解的意義上說，了解歷史，也就了解了學生。盡管在古代中國，數學家出于解方程組的需要而引入了負數，但在西方，18世紀還有人問：“世界上還有什么小于一無所有？”直到19世紀，還有數學家認為負數是“荒謬的”。負數大小比較問題也完全沒有我們想象的那樣簡單。歷史上，笛卡兒、牛頓、歐拉、波爾查諾、阿貝爾等數學家都有不同于今天的理解，他們的觀點都可以歸結為“數軸上離原點越遠的數越大”或“絕對值越大，數越大”。據此有-4>-1。關于負數及其序關系的認識論障礙提示我們：學生在學習負數概念時必會遭遇困惑或出現錯誤。數學史豐富、深化了內容與學生知識。

歷史上，一個概念、公式、定理、法則甚至一個數學分支學科的產生都有其內在或外在的動因，也都有演進的過程。這種動因和過程為教師“怎么教”有關知識點提供了參照。例如，分數有分割分數和度量分數兩類。究竟如何引入分數概念？分數的歷史告訴我們，人類首先是在物品分割的情境中認識和運用分數的，因此，分割分數是理所當然的教學選擇。

數學史是一座寶藏，其中含有取之不盡、用之不竭的教學素材和思想養料，因而是數學教師的重要教學資源。針對某一個特定的知識點，教師關于相關數學史素材的知識是內容與課程知識不可或缺的一部分。另一方面，數學史知識也有助于教師對小學數學知識體系的理解。例如，關于教科書中“小數和分數孰先孰后”的爭論，需要參照數學史加以研究。

三、HPM教學案例分析

1.角的初步認識。在數學史上，“角”是一個具有多重屬性、爭議很多、很難刻畫清楚的幾何概念。古希臘哲學家泰勒斯曾將“相等的角”稱為“相似的角”。后來，亞里士多德將“角”視為“彎曲的線構成的圖形”，并且也將兩個相等的角稱為“相似的角”。可見，早期哲學家是從“形”的角度去看待“角”的，即賦予“角”以“質”的屬性。

在《幾何原本》中，歐幾里得從兩線之間位置關系的角度去刻畫“角”：“角是平面上相遇且不在同一直線上的兩條線彼此之間的傾斜度”。另一方面，歐幾里得分別將“直角”“銳角”“鈍角”定義為：

若一直線與另一直線構成的兩個相鄰的角相等，則稱這兩個角為直角；

鈍角是大于直角的角；

銳角是小于直角的角。

用“等于”“大于”和“小于”來比較兩個角，歐幾里得又賦予“角”以“量”的屬性。而徐光啟在翻譯《幾何原本》時創用“直角”“鈍角”“銳角”三個名稱，又賦予角以“質”的屬性。普羅克拉斯認為，必須同時從質、量和關系三個方面來定義角，因為單獨采用某一個方面，都未能完善地刻畫該概念。

在二年級教學案例“角的初步認識”中，教師借鑒角概念的發展歷史，按照從“質”到“量”再到“關系”的順序展開教學（如圖5）。首先，讓學生列舉生活中的角的實例，并描述什么是角。學生提到“尖尖的”“像屋頂一樣”“像L一樣”，等等，他們顯然都是從“質”的角度來認識“角”。接下來引入情境：“鳥媽媽對鳥寶寶們說，誰的嘴巴張得大，就把小蟲喂給誰吃。”讓學生判斷，圖中哪一只鳥寶寶能吃到小蟲。在學生說出鳥寶寶嘴巴大小順序之后，教師讓他們說出角的大小比較方法，從而引導學生從“量”的角度來認識角。接著，讓學生對不同大小的角進行分類，并探討：為什么小于直角的角稱為“銳角”，大于直角的角稱為“鈍角”？學生從“質”的角度，用“銳利”“遲鈍”“扎人疼”“扎人不疼”等來解釋。在練習之后，教師通過將不同的角的頂點和一邊重合，引導學生發現，角可以通過將一邊旋轉得到，從而讓學生從“關系”（即兩條邊之間的位置關系）的角度來認識角。

HPM視角下的“角的認識”的教學，讓學生經歷了角概念的產生和發展過程，在課堂上獲得探究機會，感受成功的喜悅；當教師總結，學生比較角的大小的方法、關于銳角和鈍角的解釋，都與歷史上數學家的想法相似，這大大增強了學生的自信心，讓他們感受到自己也是小數學家。

本案例中，角概念的歷史為教學設計提供了參照，是教師在HPM教學設計與實施過程中所學到的內容與教學知識；同時，對于角的三重屬性（質、量、關系）的認識，使教師關于角的一般內容知識得到了擴充與完善。數學教育研究表明，學生對于角的認識具有一定的歷史相似性，古人在對角的認識方式以及認識過程中所遭遇的困難（角的多重屬性、特殊角（零角和平角））會再現于今日的數學課堂中，因而角的歷史對教師而言是一種內容與學生知識。在教師接觸HPM之前，并未思考過“銳角”“鈍角”的辭源問題，角概念的歷史為教師彌補了專門內容知識。此外，以角的歷史為參照，教師開始審視課本上的內容，拓展了自己的內容與課程知識。

2.一位數與二位數的乘法。歷史上，求兩個正整數乘積的算法很多。1430年左右，在意；kN的一份數學手稿中，出現了一種名為“格子算”的乘法。圖6是世界上第一部印刷出版的算術教科書《特雷維索算術》（1478年）中的格子算。

在三年級教學案例“一位數乘二位數”中，教師通過實際情境，引入32×5，讓學生獨立給出自己的算法；在學生給出各種各樣的算法之后，教師引入圖7所示的格子算，讓學生加以解釋，并與豎式算法進行比較。在課堂小結部分，教師讓學生思考：為什么格子算現在不用了？

格子算的引入促進了學生對乘法算理的理解，也開闊了他們的視野，感悟到自己的解法只是很多解法中的一種。在古今方法的對比中，學生體會到現代豎式算法的優點，但也有許多學生更喜歡格子算。對于“為什么現在不用格子算”這一問題，有學生給出的解釋是：“格子算傳著傳著就失傳了”，不知不覺中，學生對于數學知識已經有了歷史感，這種歷史感讓他們更加親近數學。

在本案例中，格子算拓寬了教師關于乘法的一般內容知識。對于格子算背后的算理、格子算與豎式算法之間聯系的認識，豐富了教師關于乘法的專門內容知識。在教學設計過程中，教師在大學合作者的指導下，查閱有關乘法的歷史文獻，豐富了自己的內容與課程知識。

3.圓的面積。歷史上，古希臘數學家阿基米得（Archimedes，公元前287-前212）最早給出圓面積的準確公式：圓面積等于一條直角邊長為圓半徑、另一條直角邊長為圓周長的直角三角形面積。這里，阿基米得將圓“轉化”為更簡單的三角形，從而得出了圓面積公式。

雖然阿基米得最終借助窮竭法來證明關于圓面積的命題，但他一開始是如何將圓和三角形建立聯系的呢？從微積分的角度看，圓面積的不同解決方法取決于“微元”的不同選擇，如圖8所示。

阿基米得可能使用了第一種方案。如圖9，想象圓由一些長短不同的細繩圍成，將圓“剪開”，并將各繩“拉直”，一端對齊，得到一個直角三角形，其長直角邊等于圓的周長，短直角邊等于圓的半徑。

17世紀德國數學家開普勒（J.Kepler，1571-1630）則選擇第二種方案建立起圓與三角形之間的聯系：將圓分割成無數個頂點在圓心、高為半徑的小“三角形”（實為小扇形，但將圓分得越細，小扇形越接近三角形）。將這些小“三角形”都轉變成等底等高的三角形，最后，它們構成了一個直角三角形，如圖10所示。

在六年級教學案例“圓的面積”中，教師講述開普勒求圓面積和酒桶體積的故事，并采用開普勒的方法來推導圓面積公式：先讓學生回顧“等底等高的三角形面積相等”的事實；再作圓內接正十二邊形，利用幾何畫板（PPT展示），依次對其中的12個小三角形進行等積變換，從而將其變成等積的直角三角形；然后作正二十四邊形、四十八邊形、九十六邊形，相應得到等積的直角三角形，讓學生直觀感受并猜想這些直角三角形與圓面積之間的關系。

開普勒求圓面積的方法引起學生濃厚的興趣，而開普勒的故事則讓學生感受到數學背后的人文精神。

在本案例中，開普勒的方法拓展了教師的專門內容知識和內容與教學知識；同時，該方法建立了圓面積公式和三角形面積公式之間的聯系，豐富了教師的水平內容知識。

以上我們看到，數學史不僅有助于發展和完善教師的MKT，而且在很多情況下就是教師MKT的不可或缺的一部分；數學史融入數學教學的實踐對于小學數學教師的專業發展有著巨大的促進作用。

我們期待，“數學史與數學教育”能夠成為小學數學教師在職培訓的重要課程，我們也期待，有更多的小學數學教師走進HPM、實踐HPM，讓他們的數學課堂洋溢數學文化的芬芳。