初探初中數學開放性題目

曾令山

內容摘要：數學開放題指思維多向、答案不唯一的數學問題，它的特征是題目條件不充分或結論不確定。它作為考查學生創新意識的渠道之一，是全國各地的中考試題的一個亮點。也是競賽題的一個考點，主要開發學生的創新能力。

關鍵詞：開放題；題型；編制

G633.6

創新是科學的本質，是社會發展的不竭動力，培養學生的創新意識和創新能力，對一個國家和名族具有十分重要的作用，新課程標準強調“通過義務教育的數學學習，學生具有初步的創新精神和實踐能力……”；同時強調要關注學生的個性差異，面向全體，有效地實施有差異的教學，使每個學生在教學上都得到充分的發展。

分的體現，也成為命題的一個亮點。開放性試題所表現出來的開放性和創新性，體現了素質教育的宗旨和新課程改革的基本理論，符合新課程改的要求，有利于尊重學生個性、自主發揮。同時在一些開放題中還設置了可“活想活做”的情景，讓考生“有話可說”，表達自己的思想見解，也有利于學生創造性的發揮，讓部分考生考出精彩并脫穎而出。同時開放題所涉及的內容非常廣泛，無論是生活現象，還是可學前沿都成了命題內容，內容的開放要求學生必須具有豐富的涉獵領域和靈活的思維能力。

一、什么是數學開放題

數學開放題指思維多向、答案不唯一的數學問題，它的特征是題目條件不充分或結論不確定。它要求學生充分利用題中所提供的信息，通過觀察、比較、分析、猜想、概括、推理、判斷等一系列探究活動尋得正確答案。開放題為學生提供了更多的表述機會，而“數學地交流”是數學教育的基本目標之一，開放題也為教學基本模式的改變，及創造出一種不同于傳統的“教育文化”的新的教學氛圍提供了現實可能性，最后，開放題的教學并有助于學生對于教學本身性質的正確理解。這就是指，數學主要地應被看作人類的一種創造性活動，從而就包括了探索、嘗試、比較、交流、改正與錯誤糾正等各個環節。

二、數學開放題解決辦法無固定模式，解決過程帶有較強的探索性，初中數學開放題一般有以下幾種類型：

1.自編問題型 2.閱讀理解型

3.決策運籌型 4.數學建模型

5.方案設計型 6.信息遷移型

7.單一判斷型 8.條件開放型

9.題設取合型 10.探索結論型

11.過程動態型 12.分類討論型

比較典型的一般有自編問題型，條件開放型，過程動態型和探索結論型，下面分別進行說明。

（一）自編問題型：指給定一定條件，要求根據條件編制符合題意的數學類型的題目，自編問題型給學生提供了最大的發揮空間，要求學生根據自己的學習生活經驗，探索符合題意的題解。

例1、有一個二次函數的圖象，3位同學分別說出它們的一些特點。

甲：對稱軸是x=4

乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數

丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以3個交點，為頂點的三角形面積為3

請寫出滿足上述全部特點的一個二次函數解析式

此題所涉及的內容涵蓋了二次函數，學生在理解了對稱軸，與坐標軸交點坐標及三角形面積公式等概念基礎上即能正確解答，學生尋找解題途徑的過程，實質上就是探索驗證的過程。

（二）條件開放型：給定明確結論，需探索使結論成立的多個充分條件中的一個或者幾個條件的題目。

例2、當平面四邊形ABCD滿足____________________時，四邊形ABCD是平行四邊形（注：填上你認為正確的一種條件即可）本題要求學生探索使四邊形ABCD成為平行四邊形的一種充分條件，學生只要明確平行四邊形的概念，判定定理即可輕易作答，填上“AB=//CD”或“AD=//BC”或“AB=CD且AD=BC”或“AC與BD相交且相互平分”均可，同時用文字敘述如“兩組對邊分別平行”也可。

（三）過程開放型：指給定條件求結論，需探索不同解決方案的一個或幾個方案的題目

例3、某工廠有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件，已知生產一件A種產品需用甲種原料9千克，乙種原料3千克，生產一件B種產品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克。

請根據要求安排A、B兩種產品的生產件數，請你設計出至少兩種生產方案。

本題是生產調度問題，學生只要能根據不等式組的性質求解即可。

解：（1）設安排生產A種產品X件，則生產B種產品（50-X）件。

由 9X+4（50-X）≤360

3X+10（50-X）≤290 得30≤X≤32

∵X為整數 ∴X取30，31或32

∴X生產方案有三種；①生產A種產品30件，B種產品20件，②生產A種產品31件，B種產品19件，③生產A種產品32件，B種產品18件。

（四）、結論開放形：指給定明確條件，需探索滿足條件的各個結論中的一個或幾個結論的題目。

例4 設拋物線y=x?-（m-1）x+m+2與y軸相交于點C、與X軸交于A、B兩點（A在B的左側），0為坐標原點，以OA、OB為直徑作⊙01⊙02且這兩個圓外切（1）求m得取值范圍（2）這兩個圓的半徑是否相等？若相等，求出其半徑；若不等，請指出哪一個圓較大？（3）是否存在這樣的m值，使OC?=OA?OB？如果存在，判定△ABC的形狀；并證明你的結論，若不存在，請說明理由。

解：設A（X?，0），B（X?，0），X?

（1）由 △>0

X??X?<0得m<-2

（2）由X??X?=m-1<-3≠0得兩圓半徑不等且以OA為直徑的圓較大

（3）假設存在m使OC?= OA?OB 則（m+2）?=-（m+2）

∴m=-3

此時△ABC是直角三角形，證△COA∽△BOC即可。

開放題類型較多，一種類型單獨成題，有時也可能多型合題，解答這些題目要求學生善于探索、猜想有厚實的基本功和一點的數學思想方法，同時也要求學生具有較多的收獲思維能力和創造新精神。

參考文獻：

[1]李昭平《對21世紀初中數字教育的幾點思考》、《教育實踐與研究》（石家莊）

[2]孟祥東、謝印智《2004年各地中考試題新特點》、《中學數學雜志》

[3]梁祥居《初中數學開放題合議》、《福建中學教學》

[4]曾沐斌《開放性數學型及解法探究》、《中學教學月刊》

[5]鄭敏信《再論開放題與開放式教學》、《中學數學教學參考》