淺談不等式證明的幾種方法

楊英杰

【摘 要】不等式的證明是數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，有很強(qiáng)的技巧性，學(xué)生往往無從下手。其實，在不等式證明的過程中，要注意從整體上把握不等式的特點(diǎn)，再選擇合適的方法便可以將問題圓滿的解決。本文主要介紹不等式證明的3種方法。分別為：①變量代換法，②判別式法，③構(gòu)造法，其結(jié)構(gòu)采用定義、例題、點(diǎn)評方式予以闡述。

【關(guān)鍵詞】不等式證明 變量代換法 構(gòu)造法

不等式理論是從C.F.Gauss，A.L.Cauchy奠定近似方法的理論基礎(chǔ)時開始發(fā)展起來的[1]。不等式經(jīng)過近百年的蓬勃發(fā)展已經(jīng)成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中舉足輕重的一部分。不等式的證明是數(shù)學(xué)證題中的重點(diǎn)，同時也是難點(diǎn)，許多學(xué)生對它望而止步。追其原因是證明方法無固定程序可循，方法多種多樣，比較復(fù)雜，技巧性極強(qiáng)，學(xué)生很難把握.因此，不等式證明方法、技巧在不等式證明過程中就顯得尤為重要。

1 變量代換法

變量代換法：往往是對一些不等式證明感到難以下手或思路一下子打不開的時候，通過巧妙的代換能簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種變通與轉(zhuǎn)化，從而打開解題思路，找到解決問題的途徑[2]。

例1 設(shè)，求證：.

證明：令，

則

.因此原不等式成立。

點(diǎn)評：變量代換法技巧性十分強(qiáng)，因此選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知函數(shù)顯得尤為重要，選擇不當(dāng)，反而會使計算更加繁瑣，所以選擇時要更加慎重。

2 判別式法

判別式法：指當(dāng)已知條件與一元二次方程相關(guān)，或雖無關(guān)但卻可以構(gòu)造出一元二次方程，且在轉(zhuǎn)化過程中，未知數(shù)的取值范圍沒有發(fā)生改變時，可借助一元二次方程根的判別式非負(fù)實現(xiàn)等與不等的矛盾轉(zhuǎn)化的方法[3]。

例2 設(shè)在內(nèi)均可積，則求證

.

證明：構(gòu)造關(guān)于的二項三項式

==

.

若可積，則對任何，也可積，且，即，.由一元二次方程根的判別式法可知：，即

故，.因此，原不等式成立。

點(diǎn)評：本題采用判別式法進(jìn)行證明。此法有一定的巧勁，通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。

3 構(gòu)造法

構(gòu)造法：當(dāng)條件與結(jié)論相距較遠(yuǎn)，直接溝通不容易時，則有必要構(gòu)造出能將條件與結(jié)論相聯(lián)系的輔助問題，以便借助它的橋梁作用實現(xiàn)條件與結(jié)論間的轉(zhuǎn)化[4]。

由欲證形式構(gòu)造“形似函數(shù)”。

例3 求證：.

證明：令，則，可知在時為單調(diào)遞增函數(shù)。又，則，

即，

故.

點(diǎn)評：本題采用構(gòu)造法進(jìn)行證明。構(gòu)造法是間接證法中的一種，重在通過分析找出條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，來構(gòu)造函數(shù)圖形，技巧性十分強(qiáng)。

4 結(jié)語

本文探討了3類不等式的證明方法，并用例子加以說明。每種方法都有其最適合的情況，我們應(yīng)針對不同的情況選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒?。但是，此能力的形成，是需要在長期的實踐中摸索的。因此，希望學(xué)習(xí)者能多多練習(xí)，熟練掌握每一種方法，使不等式的證明問題得以輕松解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]李玉琪.初等代數(shù)研究[M].北京：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，1993.

[2]方初寶，等編.數(shù)學(xué)猜想法淺談[M].重慶：科技文獻(xiàn)出版社重慶分社，1988.

[3]吳德風(fēng).不等式與線性規(guī)劃初步[M].北京：科學(xué)普及出版社，1991.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1991.