解決力學問題的三條途徑

周建中

摘 要：本文從高中物理力學知識的重要內容出發，以舉例求解的方法對比牛頓定律、動能、動量的運用，以幫助學生找出完整的學習方法并了解它們的共性和特性。

關鍵詞：動量定理；動量守恒；牛頓力學；能量

2016年10月8日，教育部考試中心發布了關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知，將原選修3-5的內容列為必考，選修3-5中重點內容是碰撞與動量守恒。這是能體現物理特色的重要章節，不管是在物理學發展歷史上還是現有的物理體系中，動量和能量都是最為基本的物理量。

一、三種途徑在恒力作用問題中的獨立運用

例1：質量為2kg的物體放在水平面上，它與水平面間的動摩擦因數μ=0.2。施一大小為10N水平力F于物體上，物體從靜止起運動6m后撤去F。求物體運動的總時間和總位移。

解法一（牛頓定律）：物理在水平方向先受到兩個力的作用，可得F合=F-μmg=6N。得加速度a1=3m/s2，運動6m后速度V==6m/s，所需時間t1=2s；撤去F后物體在摩擦力作用下減速，加速度a2=2m/s2，再經t2=3s，運動9m后停下。可求物體運動的總時間為5s，總位移為15m。

解法二（動能定理結合牛頓定律）：物體從受F作用至停下過程列動能定理，有Fs1-μmgs=0，可直接求得總位移為15m。再根據動力學知識求得總時間為5s。

解法三（動量定理結合牛頓定律）：拉力作用時，F合=F-μmg=6N。得加速度a1=3m/s2，運動6m需時間t1=2s，全程動量定理Ft1-ft=0，可得總時間為5s。則勻減速時間為3s，相應位移為9m，總位移為15m。

由例1可以看出，對于恒力作用下的情況，牛頓力學、能量、動量都可求解。動能定理對位移的求解較直接，動量定理對時間的求解較直接。實際問題中可將它們進行綜合運用。但對于變力作用問題，牛頓力學需借助微積分求解，此時動量和能量思路體現出簡潔特色。

二、動量定理分析隨時間變化力問題的簡潔性

例2：將物體從地面以豎直向上的初速度V0拋出，設物體受到的空氣阻力與速率成正比，若物體落回地面時的速度為V，求物體在空中運動的時間。（已知重力加速度為g）

分析：物體在運動中受到變化的阻力，上升中做加速度大小減小的減速運動，下降時為加速度減小的加速運動，此為變加速問題，牛頓力學不易求解。而從動量角度出發，根據動量定理，考慮到阻力的大小與速率成正比，則阻力對時間的平均值與平均速率成正比，而平均速率與時間的乘積為高度h。

上升過程：mgt1+Kh=mV0；

下降過程：mgt2-Kh=mV。

兩式相加可得T=t1+t2=。

例3：如圖所示，水平放置的光滑平行金屬導軌MN，PQ處于豎直向下的足夠大的勻強磁場中，導軌間距為L，導軌的右端接有阻值為R的電阻，一根質量為m，電阻為r的金屬棒垂直導軌放置，并與導軌接觸良好。現使金屬棒以一定初速度向左運動，它先后通過位置a，b后，到達位置c處剛好靜止。ab間距離等于bc間距離。若金屬棒通過a處的速度為Va，求棒通過b處時的速度。

解法一（牛頓定律）：棒在安培力的作用下向右做減速運動，安培力隨速度減小而不斷減小，即棒做變減速運動。速度為V時的加速度a=，而ΔV=aΔt=Δs，考慮ab間距與bc間距相等，有Va-Vb=Vb，即Vb=。

解法二（動量定理）：棒運動過程中所受的合外力即安培力，Ft=mv，有BILt=BIq=Δmv，而q=，且S1=S2，故Va-Vb=Vb，即Vb=。

比較可知，此題中牛頓定律的運用是先將運動分解成極短過程，而后進行累計，這種微積分思路對學生的要求較高。而從動量定理角度考慮安培力的沖量時，因變化電流與未知時間的乘積可化為對磁通量變化量，使得解題過程簡潔明了，彰顯出動量定理的優越性。

三、三種途徑的綜合運用

例4：如圖所示，在光滑水平面上靜置一長為L的木板B，可視為質點的物塊A置于木板B的右端.另有一個與木板B完全相同的木板C以初速度v向右運動與木板B發生正碰，碰后木板B與C立即粘連在一起，A、B、C的質量皆為m，重力加速度為g。若要求物塊A不會掉在水平面上，則物塊與木板問的動摩擦因數μ至少是多大？

解析：此題為典型的力學綜合問題。一般先用牛頓力學分析過程，再結合動量和能量關系進行定量求解。

解：C與B相碰后的瞬間，BC間產生瞬間作用的沖力使B獲得動量，而A受的摩擦力沖量可忽略。設碰后瞬間B速為V1，BC系統動量守恒定律得：mV=2mV1，有V1=0.5V。此后A相對滑動，A受向前的摩擦力而加速，BC整體受向后的摩擦力而減速，達到共同速度后相對靜止，設最終速度為V2。

由動量守恒定律有：mV=3mV2

由功能關系有：2mV12-3mV22=μmgL

解得：μ=

從以上例子可以看出，動量思路回歸高中物理必修內容能讓學生掌握完整的力學分析方法，這是學生物理素養的培養過程中不可缺失的內容。高中學生在分析力學問題時，可先利用牛頓力學進行分析后確定情景，再從能量和動量角度找出規律，將三者綜合運用，養成完整高效的分析和處理力學問題的能力，提升物理素養。