基于搜索算法的太陽影子變化建模

劉嬋 江偉

摘 要：如何確定視頻的拍攝地點和日期是視頻數據分析的重要方面。本文旨在2015年數學建模A題數據資料前提下建立基于搜索算法的太陽影子變化模型。首先通過建立地平坐標系，利用太陽高度角和太陽方位角來定位太陽的影子，并聯立太陽高度角，太陽方位角，赤緯角，時角等的計算公式，得到影子長度的變化模型一，使用MATLAB軟件編程求解模型，計算出影子長度以及變化的曲線圖。然后對數據進行分析發現影子的長度是先減小后增大，在11時44分達到最小值3.8411m，在15時達到最大值7.7393m，太陽高度角則先增大后減小并與影子長度呈相反的增長過程，影子長度最短時太陽高度角達到最大值37.991°，影子長度最長時達到最小值21.1878°，而太陽方位角則隨時間增長而變大，最后對影子長度的變化曲線圖進行了擬合，誤差（MSE）不超過10-2。

關鍵詞：太陽影子；太陽高度角；太陽方位角；MATLAB

1 問題的提出與分析

確定視頻的拍攝地點和拍攝日期是視頻數據分析的一個非常重要的技術，太陽影子定位技術就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化規律來確定視頻拍攝的地點和日期的一種方法。如何建立影子長度變化的數學模型來計算出某固定地點直桿太陽影子的變化曲線，并找到影子長度關于各個參數的變化規律。

由于太陽和地球半徑差別很大，故在可假定地球是一個球體，位置不動，僅僅考慮太陽公轉來建立地平坐標系，根據公式的推導借助軟件計算影子的長度以及畫出曲線圖并分析。

2 定義與符號說明

3 模型的建立與求解

3.1 模型假設

1）地球自轉忽略不計，僅考慮地球公轉。

2）地球為規則球體。

3）附件數據真實無誤差。

3.2 地平坐標系的建立

盡管地球繞著太陽運行，但由相對運動，在地球上看卻是太陽在天空中運動。為了精確描述太陽在天空中的運動和位置，由于太陽和地球半徑差別很大，故在本文中假定地球是一個球體，位置不動，僅僅考慮太陽公轉來建立地平坐標系，以地平面為xoy平面，以直桿底端的端點為原點，以直桿的方向為z軸，這樣就可以用太陽高度角和太陽方位角來確定太陽天空中所處的位置，如下圖所示：

其中xoy面表示地平面，原點o為直桿底部頂點，h為太陽高度角（即太陽直射光線與地平面間的夾角），A為太陽方位角（即太陽直射光線與地平面正北向所夾的角）。

3.3 分析與建模

模型的分析和建立分為以下幾個步驟：

3.3.1太陽高度角h的計算

其中，

φ表示緯度，即某點與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角，其數值在0至90度之間；

δ表示太陽赤緯角，即地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角；

Ω表示時角，即在地球赤道平面上的投影與當地時間12點時、地中心連線在赤道平面上的投影之間的夾角。

3.3.2太陽方位角A的計算

其中δ表示太陽赤緯角；Ω表示時角。

3.3.3太陽赤緯角δ的計算

其中n表示積日，例如從2015年1月1日到2015年10月22日之間的積日n=295天。

3.3.4時角Ω的計算

其中真太陽時ST=北京時間t+時差，時差=（120-當地經度）/15。

3.3.5影長與直桿長度的關系

圖一中直桿的高度為H=3m，太陽影長為L，滿足如下關系式：

3.3.6太陽影子投影分量之間的關系

影子長度在x、y軸方向上的投影分別為x、y，則有：

將以上（1）至（6）式聯立，可建立由當地時間、經度、緯度計算太陽影子長度的模型一，如下所示：

3.4 模型的求解

將2015年10月22日9：00——15：00這一時間段按3分鐘為單位進行劃分（參考了附件中時間的劃分方式），通過如下MATLAB程序對模型一進行求解（軟件版本號為7.0.1.），畫出隨時間變化的影子長度圖如下圖所示：

為了便于分析各個參數對影子長度的影響，同時將太陽高度角和太陽方位角隨時間變化的曲線與圖二曲線放在一起進行分析：

從圖三很容易觀察到：隨著時間的推移，影子的長度是先減小后增大，在11時44分達到最小值3.8411m，在15時達到最大值7.7393m，太陽高度角則先增大后減小并與影子長度呈相反的增長過程，影子長度最短時太陽高度角達到最大值37.991°，影子長度最長時達到最小值21.1878°，而太陽方位角則隨時間增長而變大。

3.5 影子長度曲線擬合

從圖三可以看出，由影子的軌跡圖像，關于最低點是左右對稱的，從以下的影子軌跡線形成圖四中也可以觀察出來，也就是說影子的軌跡圖像與某個拋物線的形狀很接近，因此，可對影子曲線軌跡進行二次函數擬合。

以時間t為自變量，以影子長度為因變量，使用MATLAB程序對影子曲線圖進行二次函數擬合，得出擬合函數為：

擬合圖如下所示：

由于樣本數量較多，故在誤差估計時計算的是均方差的數值，均方差（MSE）=8.9*10-3，擬合效果較好。

l（t）是一個拋物線，關于時間11時45分對稱，即為擬合出的當地正午時間，與圖二的真實正午時間相差一分鐘，說明擬合的效果比較好，符合實際情況。

參考文獻：

[1] 鄭鵬飛，林大鈞，劉小羊，吳志庭.基于影子軌跡反求采光效果的技術研.自然科學版，2010，8.

[2] 王國安，米鴻濤，鄧天宏，李亞男，李蘭霞.太陽高度角和日出時刻太陽方位角一年變化范圍的計算.氣象與環境科學，2007，9.

[3] 汪曉銀，周保平.數學建模與數學實驗.科學出版社，2012，8.

通訊作者：江偉