基于微分求積法分析粘彈性樁基的混沌效應

張繼松 琚宏昌

摘 要：為了更好地研究預制基礎樁的非線性動力特征及其它特性，考慮樁-土之間的摩擦影響，利用kelvin模型，建立在軸向荷載下粘彈性樁基的非線性振動動力學模型，通過力學模型分析得到結構的動力偏微分方程；運用微分求積法（DQM）將偏微分方程在空間域進行網格劃分并離散化，進而導出粘彈性樁基的常微分動力方程；最后用matlab數值模擬得到不同樁基彈性模量下的相平面圖、功率譜圖、龐加萊截面圖和時程曲線圖.結果表明：在軸向荷載作用下粘彈性樁基會發生混沌運動，且樁基彈性模量越大樁基越容易發生混沌運動，同時更加直觀形象地驗證了混沌效應的基本特征.

關鍵詞：粘彈性樁；kelvin模型；微分求積法；混沌

中圖分類號：TU311.3 文獻標志碼：A

0 引言

隨著科技的發展，大量新型材料被廣泛運用到實際工程中，使得傳統結構呈現出粘彈性的性能，并引起了大量的學者對其進行研究.樁基作為工程中常見的結構，建立其非線性動力學模型對研究樁的動力學分析有重要的意義.胡春林等[1-2]研究非線性粘彈性嵌巖樁縱向振動中運用Galerkin方法將非線性偏微分方程進行簡化得到簡化的偏微分-積分動力學方程.劉明等[3]分析樁基軸向振動動力學時運用多時間尺度法對動力學偏微分方程進行近似簡化.駱文和等[4]運用分離變量法對動力學方程簡化分析了樁-土之間的豎向振動.隨后，學者運用復模態法[5]、分數導數微分[6]等方法研究分析了樁基非線性動力學振動.

為了更好地分析樁基的非線性動力學行為，如何建立粘彈性樁的動力學方程就顯得尤為重要.本文采用微分求積法[7-9]對粘彈性樁基的動力學偏微分方程在空間域進行網格劃分離散簡化，得到粘彈性預制基礎樁基的非線性動力學常微分方程模型，最后采用四階Runge-Kutta法運用matlab數值模擬分析樁基在軸向荷載下發生的復雜的非線性動力學行為.

1 力學模型的建立

一個等截面圓形基礎樁.設樁長為l，直徑為d，截面面積為A.材料的密度為ρ，樁在軸向荷載的作用下，截面始終保持為平面.假定樁基向上為正半軸，樁基底部的圓心為坐標系的原點處，如圖1所示.考慮樁-土之間的相互作用力，假定周圍土對樁基的反力大小與位移成正比，且周圍土對樁身的阻力大小與其位移速率也成正比，則預制基礎樁的動力學模型為：

3 數值模擬

采用四階Runge-Kutta法對非線性常微分動力學模型運用matlab數值模擬分析.初始參數為樁的直徑A=0.1 m2，材料的密度ρ=2.5 g/cm3，土的剛度系數k=2.2×105 Pa，阻尼系數C=2.3×103 Pa·s，樁身的粘彈性系數？濁=1×105 Pa·s.外部軸向荷載作用力為F=500 N.

假設材料彈性模量E的變化范圍為2.1×108 Pa～2.1×1010 Pa，以步長為10增加，進而得到3組所對應的相平面圖、功率譜圖、龐加萊截面圖、時程曲線圖，如圖2～圖4所示.

分別對比分析圖2～圖4中所對應的相平面圖、功率譜圖、龐加萊截面圖、時程曲線圖，可發現隨著樁基彈性模量的增加， 樁基將從周期運動進入混沌運動， 彈性模量越大越容易發生混沌運動， 同時圖3和圖4也符合混沌效應的基本特征，具體分析如下：

1）對于相平面圖分析，圖2中的相平面圖形中明顯是個封閉的運動軌線，圖3和圖4的圖形中明顯扭結在一起形成一個不封閉的運動軌跡，具有無限層次的自相似性；

2）對于功率譜圖分析，圖2中功率譜圖中對應尖峰，而圖3和圖4中圖形出現“噪聲背景”和寬峰；

3）對于龐加萊截面圖分析，圖2中的龐加萊截面圖上是個閉合的曲線圖形，而圖3和圖4中的圖形漸漸呈現出成片的密集點，越來越具有層次結構性；

4）對于時程曲線圖分析，圖2中時程曲線圖在一段時間后出現了一定的規律，沒有了跳動性變化，非常穩定，而圖3和圖4中的功率譜圖形隨著時間的推移，一直有跳躍性變動.

4 結論

本文考慮了樁-土之間摩擦影響，建立了在軸向荷載下粘彈性預制基礎樁的動力學偏微分運動學方程.利用微分求積法在空間域進行網格劃分離散對其簡化得到常微分方程，這種方法更加簡潔，在matlab的分析中更為準確.數值分析表明：受軸向荷載作用下的粘彈性樁基可以呈現出周期運動和混沌運動；樁身彈性模量對樁基的混沌運動有影響，彈性模量越大樁基越容易發生混沌運動；同時圖形也更加直觀形象地反映出了混沌運動的基本特征.

參考文獻

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[5] 劉民，陳中學.基于復模態法的粘彈性基樁橫向振動研究[J].長江科學院院報，2010，27（12）：76-78，82.

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[7] 劉靜，朱媛媛，胡育佳.基礎-飽和土地基耦合系統分析的微分求積單元法[J].力學季刊，2014，35（1）：54-65.

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Abstract： To study the nonlinear dynamic characteristics and other characteristics of prefabricated foundation piles better， considering the influence of friction between pile and soil and based on the Kelvin model， nonlinear vibration dynamic model of viscoelastic pile under axial load is established. The dynamic partial differential equation of structure is obtained by the analysis of the mechanical model， the partial differential equations are partitioned and discretized in space domain by differential quadrature method （DQM）， and the ordinary differential dynamic equations of viscoelastic foundation pile are derived. Finally， phase diagram， power spectrum， poincare section and time history curve are gained with numerical simulation of matlab. The results show that the chaotic motion can occur in the viscoelastic foundation pile under axial load； the bigger the elastic modulus of pile foundation， the more prone to chaotic motion； meanwhile， the basic features of chaotic effects are more intuitively and vividly verified.

Key words： viscoelastic foundation pile； Kelvin model； differential quadrature method； chaos

（學科編輯：黎 婭）